Часть 2_2507

Если статистическая оценка характеризуется одним числом, она называется

точечной.

К

числу

таких

оценок

относятся выборочная средняя

и

выборочная

дисперсия.

Г

Выборочная

средняя

определяется

как

среднее

арифметическое

n

А

НИ

полученных по выборке значений:

хв

= å

ni

xi

,

где х i - варианта выборки;

i=1 n

ка

n i - частота варианты;

n – объём выборки.

Замечание. Выборочная средняя будет также обознач ться и без нижнего

индекса:

х

Выборочная дисперсия представляет собой среднюю арифметическую

квадратов отклонений вариант от их выборочной ср дн й:

е

m

ni (xi - xв )

2

D в = å

; или

D в = х2

- (

хв

)2 ,

i=1

n

где

- выборочная средняя квадратов вариант выбтрки.

х2

Статистическая

оценка

является

и

величиной

и

меняется в

случайн й

л

зависимости от выборки. Если математ ческоео

ожидание

статистической

оценки равно оцениваемому параметру генера ьной совокупности, то такая

б

оценка называется несмещённой, ес и не равно- то смещённой.

и

1.

Выборочная

средняя

хв

есть

несмещённая

оценка

для

генерального

математического ожидания.

б

2. Выборочная

дисперсия

D в

есть

смещённая

оценка

для

генеральной

дисперсии.

ая

n

3.

Исправленная выборочная дисперсия

S 2 =

Dв

есть несмещённая

n -

1

оценка для генеральной дисперсии.

Замечания.

н

1)

Если вариа ты хi -

большие числа,

то переходят к условным вариантам

u i = xi - c ,

где

с – произвольно выбранное число, такое, при котором

условные вариа ты принимают небольшие значения. Тогда

k

р

н

åni ui

åni ui

2

æ åni ui

ö

2

i 1

2

2

хв

= с +

=

, D в = Dв(u) = u - (u) =

-

ç

÷

n

n

ç

n

÷

о

è

ø

2) Можно ввести также условные варианты ui = cxi , где с = 10

k

е

положительным или отрицательным целым числом), тогда

( k- выбираетсят

л

к

D в =

Dв(u)

;

11

Э

c2

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Пример 1. Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки:

хi

1450

1480

1490

Г

НИ

n i

3

5

2

Решение. Так как выборочные значения – большие числа, то введём

условные варианты: ui = xi -1470, где с = 1470.

А

ка

u i

-20

10

20

n i

3

5

2

Определяем выборочную среднюю

=

- 20 ×3 +10 ×5 + 20× 2 = 3 .

u

Тогда

= 1470+3 = 1473.

3 + 5 + 2

т

е

xв

Отв т:

= 1473

о

хв

Пример 2. Найти несмещённую оценку дисперсии случайной величины Х

и

на основании данного распределения выб рки:

хi

2

7

9

10

л

n i

8

14

10

18

Решение. Находим

= 8× 2 +14× 7 +10× 9 +10 ×18 = 7,68

хв

50

бD в =

= 8× 4 +14× 49 +10 ×81+18×100 = 66,56 ;

- (

)2 . Следовательно,

х2

х2

х

50

б

и

n

50 × 7,58

D в =

66,56 - 7,68 2 = 7,58.

S 2 =

Dв , S 2 =

= 7,73

n -1

49

ая

н

Ответ: 7,73.

Пример 3. Найти выборочную дисперсию по данному распределению

выборки

н

хi

0,01

0,04

0,05

n i

3

2

5

Решение. Перейдём к условным вариантам ui = 100xi

р

о

u i

1

4

5

к

т

n i

3

2

5

Найдём выборочную дисперсию условных вариант:

Э

л

е

12

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

3

æ

3

ö2

НИ

åni ui2

ç

åni ui

÷

3×1+ 2 ×16 + 5× 25

æ 3 + 8 + 25

ö

2

Dв(u )

=

i=1

- ç

i=1

÷

=

-

= 16

-12,96 = 3,04

ç

÷

n

n

10

10

ç

÷

è

ø

ç

÷

è

ø

Dв

=

Dв(u )

=

3,04

= 0,000304 = 3,04 ×10−4

1002

1002

Ответ: 3,04Г×10−4

Пример 4. По выборке объёма n=51 найдена смещённая оценка генеральнойА

дисперсии Дв = 5. Найти несмещённую оценку дисперсии

генеральной совокупности.

е

ка

Решение. S

2 =

n

Dв

;

S 2 =

51 × 5 = 5,1

т

n -1

50

Ответ: 5,1

Пример 5.

Задано статистическое распределение выборки. Найти:

точечные

оценки

параметров

о

выборочное среднее,

распределен я:

исправленную дисперсию, исправленное среднеквадратическоеи

отклонение.

л

хi

13

14

16

20

ni

4

2

б

1

3

Решение:

б

и

Выборочные числовые характеристики вычислим по формулам:

1

k

в =

å xini

– выборочное среднее;

x

n i=1

ая

D = 1

k

x2

2

n − (xв )

– выборочная дисперсия

в

å i

i

н

n i=1

и х2i×ni

вычислим с помощью таблицы:

Для удобства произведе ия хi×ni

р

о

н

т

xi

ni

xi ni

xi2 ni

к

13

4

52

676

14

2

28

392

е

16

1

16

256

л

20

3

60

1200

å

10

156

2524

13

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Э

в = 156 = 15,6

D = 2524 − (15,6)2 = 252,4 – 243,36 = 9,04

НИ

x

10

в

10

Исправленную дисперсию s2 найдем по формуле

s2 =

n

D = 10

9,04 = 10,04

n −1

в

9

Исправленное среднее квадратическое отклонение s равно квадратному корню

из исправленной дисперсии

А

Г

s =

s2

=

= 3,17.

10,04

ка

Пример 6.

Задано статистическое распределение выборки. Найти:

а) эмпирическую функцию распределения F (x);

е

б) точечные оценки параметров распределения: выборочное среднее,

исправленную дисперсию,

исправленное среднеквадратич ское отклонение.

хi

–7

–5

–4

т

–1

ni

3

1

2

о

4

Решение:

л

и

а)

xi

ni

б

wi= ni /n

F*

–7

3

0,3

0,3

–5

1

и

0,1

0,4

–4

2

0,2

0,6

–1

б

0,4

1,0

4

Σ

n = 10

1,0

Таким образом, эмпирическая функция распределения F(х) имеет вид:

F (x) = í0,4

при - 5 < x £ -4 ая

0,5

1,0

н

0,9

ï

при

x £ -7

0,8

ì0

0,7

ï

при - 7 < x £ -5

0,6

ï0,3

ï

н

ï0,6

при - 4 < x £ -1

0,4

ï1

при

о

x > -1

0,3

î

р

0,2

0,1

0,0

к

Dв = 6,36

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

б) xв = −3.8

е

s2 = = 7,07т

s = 2,66

Э

л

14

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

		Задания для самостоятельной работы																																	НИ
		1.Из генеральной совокупности извлечена выборка.																														Найти несмещённую
		оценку генеральной средней.																																Г
																																	А
													xi			2			5				7		10
													ni			16			12				8		4
																																ка	Ответ: 5,76.
		2. Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению
		выборки:
													xi		0,01				0,05						0,09
													ni		2						3				5				т
																																	Ответ: 0,0085.
		4.	Из генеральной совокупности извлечена выборка. Найти несмещённую
			оценку генеральной средней.																								о			е
													xi			1		3			6				26
																									и
													ni			8		40			10				2
																							л										Ответ: 4.
		5.	Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки.
												xi			1250				1270						1280
												ni			2		и		5						3
		6.													б				б														Ответ: 1269.
			Найти выборочную среднюю по данному распределению выборки.
										ая
								xi		2560					2600				2620						2650				2700
								ni		2					3				10						4				1
								н																									Ответ: 2621.
		7.	По выборке				объёма n = 41найдена																		смещённая							оценка генеральной
			дисперсии			Dв	= 3 .		Найти несмещённую оценку дисперсии генеральной
						н
			совокупности.																														Ответ: 3,075.
		8.	В итоге пяти измерений длины стержня одним прибором получены
			результаты: 92; 94; 103; 105; 106. Найти: а) выборочную среднюю длину
			стержня; б) выборочную и исправленную дисперсии ошибок прибора.
		9.		т	о																									Ответ: а) 100; б) 34; 42,5
			В и оге четырёх						измерений физической величины одним прибором
		е	полученыр			результаты: 8; 9; 11; 12.																			Найти:				а) выборочную среднюю
			результатов измерений; б) выборочную и исправленную дисперсии
	л		ошибок прибора.																15
			к																											Ответ: а) 10; б) 2,5;					10
Э		10.Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:																																	3

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

					Г	НИ
	xi	186	192	194
	ni	2	5	3
					Ответ: 8,04.
11.Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:

											xi			340						360					375			380											А
											ni			20						50					18					12									ка
									ni					8				30							60							2
																																							Ответ: 167,29.
		12.Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:
																																						е
									xi		2502							2804							2903						3028
																																	о			т			Ответ: 12603.
		13.Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:
												xi				0,01							0,04					и
																										0,08
												ni						5					3		л			2
																																							Ответ: 0,0007.
		14.Найти выборочную дисперсию по данному распределению выборки:
																					и
											xi				0,1						0,5				0,6			0,8
																б					15 б				20			10
											ni				5
																																							Ответ: 0,0344.
		15.Найти исправленную вы орочную дисперсию по данному распределению
			выборки:					ая
							н			xi		18,4							18,9						19,3					19,6
										ni				5					10						20							15
																																							Ответ: 0,1336.
		16.Найти исправле ую выборочную дисперсию по данному распределению
			выборки:		о	н
													xi				102						104			108
			к т	р									ni					2					3			5
																																							Ответ: 6,93.
		17.Най и исправленную выборочную дисперсию по данному распределению
		е	выборки:
	л
									xi		1250							1275							1280						1300
																		16
Э									ni		20							25							50							5
																																							Ответ: 168,88.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

																																	НИ
		18.Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределению
				выборки:
														xi			0,1		0,5			0,7	0,9
														ni			6		12			1	1									А
																																Ответ: 0,0525.
		19.Найти исправленную выборочную дисперсию по данному распределениюГ
				выборки:																											ка
													xi		23,5			26,1				28,2		30,4
													ni			2				3		4				1				е
																										о		т				Ответ: 4,89.
		20.Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети.
																							и
				Результаты измерений в вольтах представлены в виде статистического
				ряда:																		л
			i			1		2			3	4				5				6		7				8				9	10	11	12
			xi			222		219			224	220				218			и			221			220				215		218	223	225
																			217б
																	б
			i			13		14			15	16				17				18		19				20				21	22	23	24
			xi			220		226			221	216				211			219			219			221				222		218	221	219
									н		н
				На основании опытаяых данных найти D(X); σ (Х ) случайной величины X
	– напряжения тока.
					т			о																				Ответ: D = 7,06; σ = 2,65.
		21. По воздушной цели ведётся стрельба независимыми очередями, каждая из
				к		соср											выстрелов. Случайная величина Х
	которых						оит			из четырёх																							– число
		е
	попаданий в цель для одной очереди. Произведено 30 очередей. Результаты
	опытов представлены в виде статистической совокупности:
Э	л																			17
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

																																													НИ
																xi				0							1			2					3				4
																mi				3							6			12					6				3
																pi*				0,1							0,2			0,4					0,2				0,1					Г
	Построить статистическую функцию распределения и определить дисперсию
	случайной величины Х.																																										А
																																										Ответ: 1,24.
																																									ка
	2.2. Метод произведений вычисления выборочных средней и дисперсии
	( равноотстоящие варианты)																																						т
	Пусть выборка задана в виде распределения равноо стоящих вариант и
	соответствующих им частот. В этом случае выборочные																																							есреднюю и дисперсию
	удобно находить по формулам																											Dв = [М 2							и		]× h2 ,
													= М1 × h + C ,
											хв																						- (М1 )2
	где h – шаг (разность между соседними вар																															л
																																	антамио),
	С – ложный нуль,																													б
	u i =			xi - c				- условная варианта;																				и
					h	n
	М1		=		åni ui						- условный момент первого порядка;
						n
																									б
					åni ui2
			=									- условный момент второго порядка.
	М 2
																	аяn i					2					5		25				15		3
	Пример 1. Найти методом произведений выборочную среднюю и выборочную
								дисперсию по заданному распределению выборки.
														н						хi			65					70		75			80			85
																		xi		- 75
	Решение. h = 5, c = 75,нu i =																							.				Составим расчётную таблицу:
									р	о										5
							т							хi			n i					u i					n i ui					n i ui2						n i (ui +1)2
					к									65			2					-2					-4						8				2
														70			5					-1					-5						5				-
		е												75			25					0					-						-				25
														80			15					1					15						15				60
	л													85			3					2					6						12				27
																	å= 50										18					å= 40					å= 114
Э
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Контроль: åni (ui +1)2

= åni ui2 + 2åni ui

+ n .

НИ

40+2×12 + 50 = 114 ,

114 = 114.

Вычислим условные моменты первого и второго порядков:

Г

М1 =

12

= 0,24; М 2 =

40 = 0,8.

50

50

Вычислим выборочные среднюю и дисперсию, учитывая, что с=75, h=5.

хв

= 0,24× 5 + 75 = 76,2;

Dв = (0,8 - 0,0576) × 25 = 18,56.

= 76,2

Ответ:

х

в

А

е

Dв = 18,56

2.3.

Начальные и центральные эмпирические мом нтыка

о

Эмпирическими моментами порядка k называют среднее значение k-х

степеней разностей (х i -c ):

r

и

т

åni (xi - c)k

;

М к =

i=1

n

л

где ni - частота варианты;

и

r

n= åni - объём выборки;

i=1

с – произвольное постоянное ч сло (ложныйб

нуль).

Начальным эмпирическим моментом порядка k называется эмпирический

ая

б

r

момент порядка k при с=0:

åni xik

;

М к =

i=1

r

n

если k =1, то

åni xi

.

н

M1 =

i=1

=

xв

r

Центральным эмпирическимн

n

моментом порядка k называется эмпирический

момент при с =

.

хв

р

о

åni

(xi - xв )k

;

mk

=

i=1

к

n

r

е

åni (xi - xв )

2

еcли kт=2,

m2 =

i=1

= Dв .

л

n

Э

19

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

2.4.Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения

Асимметрия

и

эксцесс

эмпирического

НИ

распределения определяются

равенствами

m3

m4

Г

as =

;

ек

=

- 3;

3

4

σ в

σ в

σ в

- выборочное

среднее

квадратичное

отклонение;

ка

m3 , m4

- центральные эмпирические моменты

третьего

и четвёртогоА

порядков :

åni (xi

åni (xi -

m3

- xв )3

m4

xв )4

е

=

;

=

n

n

т

Эти моменты в случае равноотстоящих вариант с шагом h(шаг равен

разности между любыми двумя соседними вариантами) удобно вычислять

по формулам:

л

и

о

m3 = [M 3 - 3M1 × M 2 + 2(M1 )3 ]× h3

;

б

m4 = [M 4 - 4M1 × M 3 + 6(M1 )2 × M

2 - 3(M

1 )4

]× h4 ;

åniuik

и

где

M k

=

-

условный

k

- го

порядка,

n

момент

б

ui

=

(xi - c)

- условные

h

варианты,

xi

- первоначальные

варианты;

ая

с - ложный нуль, т.е. варианта, имеющая наибольшую частоту.

Пример 1. Найти методом произведений асимметрию и эксцесс по заданному

н

распределению выборки объёма n=100:

н

х i

1

6

11

16

21

о

n i

5

25

40

20

10

Решение. С ставим расчётную таблицу

т

хi

n i

u i

n i u i

n i

u i2

n i

u i3

n i u i4

n i (u i +1)4

1

к

5

р

-2

-10

20

-40

80

5

6

25

-1

-25

25

-25

25

0

11

40

0

0

0

0

0

40

л

20

1

20

20

20

20

20

320

16

Э

21

10

2

20

40

80

160

810

еåni

= 100

åni ui

= 5

åni ui2 = 105

åni ui3 =35

åni ui4 = 285

å= 1175

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com