Часть 2_2507

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

где n- общее число испытаний, m –число появлений события,

Г

НИ

ω = m

-

относительная частота.

n

t- значение аргумента функции Лапласа (приложение 2), при котором

Ф(t)= γ .

А

Замечание.

2

При больших значениях n

(n f 100) можно принять

p1 = ω - t

,

е

ка

ω(1- ω)

p2 = ω + t

ω(1- ω)

n

n

Пример 1. Найти доверительный интервал для

ценки с надёжностью 0,95

т

математического ожидания М (Х) н рмально распределённого

признака Х генеральной совокупности, оесли σ х = 5,

= 14 и n = 25.

хв

Решение.

-

z ×

σ

x

p M (X ) p

+

z ×

σ

x

,и

Ф(z)=

0,95

= 0,475 Þ z = 1,96

хв

xв

2

n

n

14 -1,96 ×

5

p M (X ) p 14 +1,96×

5

;

и

б

л

25

25

б

14 -1,96 p M (X ) p 14 +1,96;

12,04 p M (X ) p 15,96.

Ответ: (12,04; 15,96)

Пример 2. По данным 16 измерений некоторой величины найдены

= 42,8 и S = 8.

Оценить истинное значение измеряемой

хв

величины с

надёжностью γ = 0,999.

Решение. σ х -

еизвест аяо.

- t

S

p M (X ) p

+ t

S

;

х

x

в

γ

в

γ

n

н

н

n

γ = 0,999

Þ tγ

= 4,07

(приложение - 3);

n = 16

42,8 -

4,07о

×

8

p M (X ) p 42,8 +

4,07 ×

8

;

р

16

16

34,66 p M (X ) p 50,94.

к

т

Ответ: (34,66; 50,94).

Пример 3.Производятся независимые испытания с одинаковой, но

Э

л

е

неизвестной вероятностью р появления события А в каждом

31

испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надёжностью 0,99, если в 100 испытаниях событие А появилось 60 раз.

Решение. n = 100,

m =60, γ = 0,99. Найдём относительную частоту

Г

НИ

ω = m

=

60

= 0,6. Найдём t

из соотношения

Ф(t) =

γ

=

0,99

= 0,495.

100

2

2

n

А

По таблице функции Лапласа (приложение-2) находим t = 2,58.

Найдём границы доверительного интервала:

2

é

ù

é

ö2

ù

n

t 2

ω(1- ω)

æ t

ö

n

t 2

ω(1- ω)

æ

t

р =

êω +

- t

+ ç

÷

ú

p

=

êω +

+ t

+ ç

÷

ú

t 2

2n

n

t 2

2n

n

2n

1

+ n ê

è 2n

ø

ú

2

+ n ê

è

ø

ú

ë

û

ë

ка

û

Подставив в эти формулы n = 100, t = 2,58 и ω = 0,6 получим

100

é

2,582

2 ù

т

е

0.6 × 0,4

æ

2,58

ö

p

=

ê0,6 +

- 2,58×

+

ç

÷

ú

=

2,582

+100

2

×100

100

2 ×100

1

ê

è

ø

ú

о

ë

û

0,94 × [0,633 - 2,58×

]=

и

0,0024 + 0,0001664

0,94 ×[0,633 - 0,131]

» 0,47.

é

ù

100

2,58

2

0,6 × 0,4

æ

2,58лö

2

p

ê

ú

2

=

0,6 +

+ 2,58×

+

ç

÷

=

2,582

200

100

ú

+100 ê

è

200 ø

ë

и

б

û

0,94 ×[0,633 + 0,131]

» 0,72.

0,47 p p p 0,72

Итак, искомый доверительный интервал

б

Ответ: ( 0,47; 0,72 )

Задания для самостоятельной работы

1.

Найти

доверитель ый

интервал для

оценки

с

надёжностью 0,99

неизвестного

ая

математического ожидания нормально распределённого

признака

Х

ге еральной

совокупности,

если

известны

генеральное

среднее

н

отклонение,

выборочная

средняя

и

объём

квадратичное

выб рки:

н

а) σ = 4,

= 10,2

n = 16;

б)σ = 5,

= 16,8

n = 25.

xв

хв

р

о

Ответ: а) ( 7,63; 12,77) б) (14,23; 19,37).

2.

Одним и тем же прибором со средним квадратичным отклонением

т

случайных ошибок измерений σ = 40м произведено пять равноточных

л

е

к

измерений расстояния от орудия до цели. Найти доверительный интервал

для оценки истинного расстояния до цели с надёжностью γ = 0,95, зная

32

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Э

среднее арифметическое результатов измерений

= 2000м.

НИ

хв

Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

Ответ: (1964,94; 2035,06).

Г

3. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя

А

продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000ч.

Найти с надёжностью 0,95 доверительный интервал для средней

продолжительности горения

лампы

всей партии,

если

известно, что

среднее

квадратичное отклонение

ка

горения

лампы

продолжительности

σ = 40ч.

Предполагается, что

продолжительность

горения

ламп

распределена нормально.

Ответ:

( 992,16; 1007,84).

4. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

е

т

хi

-2

1

2

3

4

5

n i

2

1

2

2

2

1

о

Оценить с надёжностью 0,95 математическ е ожидание нормально

распределённого признака генеральной совокупности по выборочной

средней при помощи доверительного

нтервала.

б

и

Ответ: (0,3; 3,7).

5. Из генеральной совокупности извлеченалвыборка:

хi

-0,5

-0,4

-0,2

0

0,2

0,6

0,8

1

1,2

1,5

n i

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

Оценить с

и

надёжностью 0,95 математическое

ожидание нормально

распределённого признака генеральной совокупности с помощью

ая

б

доверительного интервала.

Ответ: (-0,04; 0,88).

6. По данным девяти нез висимых равноточных измерений некоторой

физической величи ы

айдены среднее арифметическое результатов

измерений

н

и «исправленное» среднее квадратичное отклонение

х

в

= 30,1

о

значение измеряемой величины с помощью

S=6. Оце ить истинноен

доверительн го интервала с надёжностью γ = 0,99. Предполагается,

р

что результаты измерений распределены нормально.

т

Ответ: (25,38; 34,82).

к

7. По данным 16 независимых равноточных измерений некоторой

е

физической величины найдены среднее арифметическое результатов

л

измерений хв = 42,8

и «исправленное» среднее квадратичное отклонение

33

S=8. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью

Э

доверительного интервала с надёжностью γ = 0,999.

Ответ: (34,66; 50,94).

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

НИ

8. По данным выборки объёма n=16 из генеральной совокупности найдено

«исправленное» среднее квадратичное отклонение S= 1 нормально

распределённого количественного признака. Найти доверительный

интервал, покрывающий генеральное среднее квадратичное

Г

отклонение σ с надёжностью 0,95.

А

Ответ: (0,56; 1,44).

ка

9. По данным выборки объёма n из генеральной совокупности найдено

«исправленное» среднее квадратичное отклонение S норм льно

распределённого количественного признака. Найти доверительный

е

интервал, покрывающий генеральное среднее квадратичное

отклонение σ с надёжностью 0,999, если: а) n =10, S=5,1; б) n=50, S=14.

Ответ: а)(0; 14,28) б) (7,98; 20,02).

и

10.

Произведено 12 измерений одним прибор м нек тт рой физической

величины, причем «исправленное» среднее квадратичное отклонение S

л

0,6. Найти точность

случайных ошибок измерений оказалось равнымо

прибора с надёжностью 0,99. Предпо агается, что результаты измерений

распределены нормально.

и

б

Ответ: (0,06; 1,14).

11.

бором некоторой физической

Произведено 10 измерений одн м пр

величины, причем «исправленное» среднее квадратичное отклонение S

случайных ошибок измерений оказалось равным 0,8. Найти точность

прибора с надёжностью 0,95. Предполагается, что результаты измерений

ая

б

распределены нормально.

Ответ: (0,28; 1,32).

н

12.Производятся нез висимые испытания с одинаковой, но неизвестной

вероятностью р появле ия события А в каждом испытании. Найти

н

доверительный и тервал для оценки вероятности р с надёжностью

0,99, если в 100 испытаниях событие А появилось 60 раз.

р

Ответ: (0,47; 0,71).

13.Произведено 300 испытаний, в каждом из которых неизвестная вероятность

р появленияособытия А постоянна. Событие А появилось в 250 испытаниях.

Най и доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность

к

с надёжностью 0,95.

л

е

т

Ответ: (0,78; 0,87).

34

14. В 360 испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события

Э

одинакова и неизвестна, событие А появилось 270 раз. Найти

доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность р

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

с надёжностью 0,95.

Ответ: (0,705; 0,795).

15. Среди 250 деталей, изготовленных станком-автоматом, оказалось 32

НИ

нестандартных. Найти доверительный интервал, покрывающий с

надёжностью 0,99 неизвестную вероятность р изготовления станком

нестандартной детали.

Г

Ответ: (0,07; 0,18).

ка

А

& 3. Законы распределения статистических оценок

3.1. Распределение хи-квадрат

Пусть Х1 , Х 2 ,....Х n - независимые нормально распределённые случайные

е

величины с

М (Х ) = 0 и σ (Х ) = 1. Тогда

зак н

распределения

суммы

квадратов случайных величин χ 2

= Х12 + Х 22

+ ....Х n2

т

называется законом

о

Хи-квадрат с n степенями свободы. Плотность распределения случайной

величины χ 2

имеет вид:

б

л

и

и

б

ая

н

3.2. Распределе ие Стьюдента

Пусть Х 0 , Х1

н

- независимые нормально распределённые случайные

, Х 2 ,.....Х n

о

σ (Х ) = 1.

величины, у которых М (Х ) = 0,

р

Х 0

Тогда случайная величина T =

имеет распределение Стьюдента

к

т

n

åxi2

i=1

n

( Т- распределение) с n степенями свободы.

л

е

35

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

Э

НИ

Т =

Х 0 - хв

распределение Стьюдента с (n-1) cтепенью свободы.

n

å(хi -

xв

)2

Г

i=1

n

Плотность вероятности случайной величины Т имеет вид:

А

n+1

æ n +1ö

æ

x

2

ö

−

Gç

÷

2

2

è

ø

ç

÷

,

где

f (x) = bn ç1+

n

÷

bn =

æ n

ö

ка

è

ø

Gç

÷

π × n

è 2

ø

3.3. Распределение Фишера – Снедекора

е

Пусть

Х1 , Х 2 ,....Х n

и

Y1 ,Y2 ,.....Ym -

нормально

независимые

распределённые

о

т

cлучайные величины, у которых М (Х ) = 0,

и

σ (Х ) = σ (Y ) = 1.

М (Y ) = 0

n

åxi2

л

i=1

Тогда случайная величина

Fnm

=

n

меет распределение

m

å y2j

и

j=1

б

и

m

Фишера – Снедекора с n и m степенями свободы.

Плотность распределения случайной величины

Fnm

имеет вид:

ì

ая

б

æ n + m

ö

n

m

ï0

при

х £

0,

Gç

÷n 2 m 2

ï

n−2

è 2

ø

f (x) = í

н

x

2

при х f 0

, где С0

=

æ n

ö

æ m ö

;

Gç

÷Gç

÷

ïC0

n+m

ï

è 2

ø

è 2

ø

2

ï

(m + nx)

î

н

Y cвязаны с помощью выборочных средних, то

Если случайные величи ы X и

случайная величи а

р

о

1

n

(X i -

)2

åi=1

xв

к

Fkl

=

n

имеет

распределение

Фишера -

1 å(Yj - yв )2

m

е

с числом степеней свободы k = n-1, l = m-1.

Снеде орат

Э

л

36

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

& 4. Проверка статистических гипотез			НИ
4.1. Статистическая гипотеза. Ошибки первого и второго рода		Г
Гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известных
распределений называют статистической.	А
Наряду с данной гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу.
В случае, когда выдвинутая гипотеза отвергается, обычно принимается

противоречащая ей гипотеза.

ка

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу H0 .

Конкурирующей

(альтернативной)

называют

гипотезу H1 ,

которая

противоречит основной.

т

е

Проверку правильности или неправильности выдвинутой гипотезы проводят

о

статистическими методами. В результате проверки может быть принято

правильное

или

неправильное решение.

П эт му

различают ошибки двух

родов.

и

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная

гипотеза.

л

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная

гипотеза.

и

б

4.2. Критерий проверки нулевой гипотезы

б

1.Рассматривая выборочные данные х1

, х2 ,...хn и учитывая условия задачи,

принимают нулевую гипотезу H0 и H1 - альтернативную гипотезу.

ая

2. Используя выборочные данные вводят статистический критерий –

случайная величина К, которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Вычисленное по выборкам значение критерия называют наблюдаемым

значением

Кнаб. .

н

3.В зависимости от принятого уровня значимости из области допустимых

н

значений критерия К выделяют критическую область.

Критической областью называется область значений критерия, при

которых

улевая гипотеза отвергается.

Областью

принятия гипотезы называется

совокупность

значений

р

при к торых гипотеза принимается.

критерия,

Критическимио

точками ккр называются точки, отделяющие критическую

к

е

облас ь от области принятия гипотезы.

Возможныт

три варианта расположения критической области:

а) правосторонняя область

37

Э

л

К f ккр

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

А

Г

НИ

ка

б) левосторонняя область

К p ккр

е

и

о

т

л

в) двусторонняя область

и

б

К p к1кр

К f к2кр

(к2 f к1 )

ая

б

4.Для каждого критерия, т.е. соответствующего распределения, составлены

н

таблицы, по которым

аходят

ккр .

о

нН0 отвергают, если наоборот, то принимают.

5. Если Кнаб

f к

кр , то

р

гипотезы

о равенстве дисперсии двух нормальных

4.3. П оверка

т

генеральных совокупностей

к

На пра ти е задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить

е

точность приборов, инструментов, самих методов измерений.

Э

л

38

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

НИ

Пусть генеральные совокупности Х и У распределены нормально. По

независимым выборкам,

объёмы

которых

n1 и

n2 найдены исправленные

выборочные дисперсии. Требуется сравнить эти дисперсии.

Г

Правило 1. Чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую

гипотезу Н0 :

А

D(Х ) = D(У)

о равенстве генеральных дисперсий

нормальных совокупностей при альтернативной гипотезе

Н1 :

D(Х ) f D(У)

надо:

а) вычислить отношение большей исправленной дисперсии к

меньшей.

F

=

Sб2

е

наб

Sм2

т

б) по таблице критических точек Фишера - Сн кад кора найти

критическую точку Fкр (α

о

,k1 ,k2 ),

где

k1

= n1

-1,

k2 = n2 -1.

в) если Fнаб

p Fкр , то Н0

принимают; если Fнаб

f Fкр , то Н0

отвергают.

и

Правило 2. Чтобы при заданном уровне значимости α проверить нулевую

гипотезу Н0 :

D(Х ) = D(У)

о равенстве генеральных дисперсий

и

нормальных совокупностей прилальтернативной гипотезе

б

б

Н1 :

D(Х ) ¹ D(У)

надо:

а) вычислить отношение ольшей исправленной дисперсии к

меньшей.

ая

Fнаб =

Sб2

Sм2

б) по таблице критических точек Фишера - Снедекора найти

критическую точку Fкр (α

,k1 , k2 ), где

k1

= n1 -1,

k2 = n2 -1.

н

2

в) если F аб

p Fкр , то Н0

принимают; если Fнаб

f Fкр , то Н0

н

отвергают.

о

Пример 1. По двум независимым выборкам, объёмы которых n1 = 10, n2 = 13,

р

извлечённым из нормальных генеральных совокупностей Х и У,

найдены исправленные выборочные дисперсии Sx2

= 0,38 Sy2 = 0,19.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com

		е	к	т	При уровне значимости α = 0,05 проверить нулевую гипотезу о
	л				равенстве генеральных дисперсий, при альтернативной гипотезе
					39
					Н1 : D(Х ) f D(У).
Э

Решение. Найдём

Fнаб =

0,38

=

2.

По условию

Н1 :

D(Х ) f D(У).

НИ

0,19

Поэтому критическая область – правосторонняя.

Г

α = 0,05

k1

= n1 -1,

k2

= n2

-1,

Þ k1

= 10 -1 = 9,

k2

=

13 -1 = 12.

А

находим

Fкр (0,05;9;12) = 2,8

Так как Fнаб

p Fкр ,

то

Н0 - принимаем.

ка

Пример 2.

По двум независимым выборкам, объёмы которых n1

= 10,

n2 = 18,

извлечённым из нормальных генеральных сово упностей Х и У,

найдены исправленные выборочные дисп рсии Sx2 = 1,23 Sy2

= 0,41.

т

При уровне значимости α = 0,1 провери ь нул вую гипотезу о

равенстве генеральных дисперсий Н0 : D(Х ) =еD(У ) , при

альтернативной гипотезе

Н1 :

и

D(Х ) ¹ D(У ).

Решение. Найдём

Fнаб =

1,23

=

3.

По услов ю

о

Н1

:

D(Х ) ¹ D(У ).

0,41

б

Поэтому критическая область – двусторонняя, уровень значимости принимаем

α

= 0,05

число степеней

свободы

k1

и

-1 =л9,

k2

= 13 -1 = 12.

= 10

2

б

находим

по таблице

распределен я

Ф шера - Снедекора

Fкр (0,05;9;17) = 2,5

Так как Fнаб

f Fкр ,

то

Н0 - отвергаем.

дисперсия S 2 .

ая

4.4. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с генеральной

дисперсией нормальной совокупности

н

Пусть задан объём выборки n, по которой найдена исправленная выборочная

Правило 1. Чтобы при заданном уровне α значимости проверить Н0 :σ 2 = σ 02

раве стве неизвестной генеральной дисперсии

р

т

σ 2 предпнлагаемому значению σ 02

при альтернативной гипотезе

к

Н1 :оσ 2 f

σ 02 ,

надо:

а) вычислить наблюдаемое значение критерия

е

2

(n -1) × S 2

χнаб

=

σ

2

л

0

б) по таблице критических точек распределения хи-квадрат найти

40

Э

χкр2 (α; k), k = n -1.

PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com