Содержание курса

I семестр

Тема 1. Элементы линейной алгебры

1. Векторы-столбцы и векторы-строки. Матрицы. Линейные операции с матрицами. Умножение матриц. Операция транспонирования.

2. Определитель матрицы. Свойства определителей.

3. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

4. Пространство R_n. Линейная независимость векторов. Размерность пространства. Базис. Координаты вектора в базисе.

5. Изменение координат вектора при переходе к новому базису.

6. Элементарные преобразования матрицы. Использование элементарных преобразований для нахождения обратной матрицы и для вычисления координат вектора в новом базисе.

7. Подпространство линейного пространства. Линейные отображения. Линейный оператор. Матрица линейного оператора в заданном базисе.

8. Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Квадратные СЛАУ. Метод Гаусса. Правило Крамера. Матричный способ решения систем.

9. Ранг СЛАУ. Необходимое и достаточное условие существования решения СЛАУ (теорема Кронекера-Капелли).

10. Однородные СЛАУ. Подпространство решений однородной СЛАУ и его размерность. Построение общего решения однородной СЛАУ.

11. Решение однородной СЛАУ.

12. Линейные функционалы. Строка координат линейного функционала. Изменение координат линейного функционала при смене базиса.

13. Билинейные функционалы. Матрица билинейного функционала. Изменение матрицы билинейного функционала при смене базиса. Квадратичные функционалы и квадратичные формы.

14. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами. Декартов базис.

15. Собственные значения и собственные векторы. Характеристическое уравнение. Собственный базис оператора. Матрица оператора в собственном базисе.

Тема 2. Элементы аналитической геометрии

1. Уравнение прямой на плоскости и плоскости в пространстве. Гиперплоскости.

2. Решение линейных неравенств и систем неравенств. Многогранные множества.

3. Прямая в пространстве. Канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве.

4. Кривые II порядка. Окружность, эллипс, гипербола, парабола. Канонические уравнения этих кривых.

5. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

6. Поверхности II порядка. Метод сечения построения поверхностей II порядка.

II семестр

Тема 1. Элементы математического анализа

1. Понятие функции одной переменной. Элементарные функции и их графики. Функции в экономике: производственная функция, функции спроса и предложения. Непрерывность функции. Классификация разрывов.

2. Производная функции одной переменной. Правила дифференцирования. Таблица основных производных. Экономический смысл производной (производительность труда в момент времени t, предельные издержки производства, предельный доход и т.д.). Эластичность функции, темп изменения функции.

3. Дифференциал функции. Дифференцирование сложных функций.

4. Производные и дифференциалы высших порядков функции одной переменной. Формула Тейлора.

5. Экстремум функции одной переменной. Необходимые и достаточные условия существования экстремума в точке. Наибольшее и наименьшее значения функции.

6. Функции нескольких переменных. График функции 2-х переменных. Линии уровня и поверхности уровня. Функции нескольких переменных в экономике: многомерная производственная функция и ее частные виды. Непрерывность функции нескольких переменных.

7. Частные производные функции нескольких переменных. Дифференцируемость функции, дифференциал функции нескольких переменных. Инвариантность формы 1-го дифференциала. Использование дифференциала для приближенных вычислений.

8. Дифференцирование сложных функций. Неявные функции и их дифференцирование.

9. Производная по направлению. Градиент. Свойства градиента.

10. Частные производные и дифференциалы высших порядков для функции нескольких переменных. Второй дифференциал как квадратичная форма от вектора приращений. Матрица Гессе

11. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Критерий

Сильвестра.

12. Постановка задачи на условный экстремум. Функция Лагранжа. Необходимое условие существования условного экстремума.