§4 Точкові оцінки параметрів
Озн. 1 Точковою наз. Оцінку не відомого параметра, яка визначається
одним числом.
-
Математичне сподівання
Озн. 2 Число наз. емпіричним (вибірковим) математичним
сподіванням, або середнім по вибірці.
Якщо за вибіркою побудований групований варіаційний ряд, то середнє арифметичне
де - наз. “зваженим” середнім або м.с.;
- вага;
Властивості:
-
Сума відхилення результатів спостережень від середнього арифметичного дорівнює 0: =0;
-
Якщо всі результати спостережень зменшити (збільшити) на одне і теж саме число С, то зменьш. (збільш.) теж на С;
-
Якщо всі результати спостережень збільшити в k разів, то теж збільш. в k разів;
Якщо числа великі, або їх багато для зручності переходят до умовних варіант за формулою , де С - умовний “0” який відповідає найбільшій частоті появи варіанти, k – найбільший спільний дільник, якщо ряд дискретний, якщо інтервальний:
k=h=x, , .
Приклад:
Маємо ряд розподілу. Перейти до умовних варіант.
-
X
85
95
105
115
n
1
2
5
2
X=U
-2
-1
0
1
X=U=(X-C)/x
x=h=10
C=105; X=(85-105)/10=-2
Тоді =()/n=(-2-2+2)/10=-2
=-0,2*10+105=103
-
Дисперсія
Озн. 3 Число наз. емпіричною (вибірковою) дисперсією.
Якщо дані груповані .
Для того, щоб оцінка була добротною, потрібно, щоб виконувались де-які умови, тобто, щоб оцінка була:
-
Незсунена М(х), тобто щоб використовуючи замість М(х) ми не робили систематичної помилки в бік підвищення або зменьшення.
-
Конзистентна: і або тобто коли і .
-
Ефективна і - min , тобто щоб обрана незсунена оцінка була менш випадкова, щоб мала найменшу дисперсію.
Перевіримо чи буде незсуненою конзистентною та ефективною оцінка для дисперсії:
конзистентна
Тая як статистична дисперсія не залежить від того, де вибрати початок координат, то можемо зсунути центр m і знайдемо математичне сподівання.
але , , таким чином
не є зсуненою і ми маємо систематичну похибку. Щоб її ліквідувати домножимо на таким чином:
Якщо n>50 цей многочлен і його можна опустити, т.ч.:
, для групованих даних:
Якщо обчислення має велике число або багато, то будують групований ряд і переходять до умовних варіант за формулою тоді .
Приклад:
В результаті випробувань отриманий статистичний матеріал, який має 150 даних. Треба знайти групований ряд розподілу і знайти перейшовши до умовних варіант:
-
Границі інтервалів
i
1
14,132
15,467
2
15,468
16,803
3
16,804
18,139
4
18,140
19,475
5
19,476
20,811
6
20,812
22,147
7
22,148
23,483
8
23,484
24,819
9
24,820
26,155
-
N=2+E(3,322lg(150))=2+E(7,229)=9
-
X=(25,488-14,80)/(N-1)=10,688/8=1,336
-
Xл=14,80-1,336/2=14,132
-
Xп=14,80+1,336/2=26,152
-
Xср (середини інтервалів) і частоти
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
Xср |
14,8 |
16,136 |
17,472 |
18,808 |
20,144 |
21,480 |
22,816 |
24,152 |
25,488 |
n |
2 |
3 |
21 |
32 |
40 |
29 |
19 |
3 |
1 |
U |
-4 |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
=C+=20,144+(-0,079)1,336=20,046