Тема 1.5. Векторные подпространства

Литература: [1], гл. 2, §7, стр.52–55; [3], гл. 2, §1, стр. 49–52; [7], гл. 4, §18, стр. 156–161.

Основные определения, теоремы и формулы

Пусть L– непустое множество векторов из векторного пространстваV. Множество называетсявекторным подпространствомпространстваV, если выполнены следующие два условия.

1. Если ито

2. Если , тодля любого вещественного числа.

Например, множество векторов, параллельных фиксированной плоскости образует подпространство векторного пространства. Так как при сложении двух векторов, параллельных плоскости, снова получим вектор, параллельный той же плоскости и при умножении вектора, параллельного фиксированной плоскости, так же получим вектор, параллельный этой плоскости.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое размерность подпространства? Поясните ответ на примерах.

2. Приведите примеры: 1) нульмерного; 2) одномерного; 3) двумерного подпространства.

3. Приведите примеры базисов в одномерном и двумерном пространствах.

4. Что такое координаты вектора в двумерном векторном пространстве? Почему у любого вектора двумерного пространства координаты относительно фиксированного базиса всегда существуют и определяются единственным образом?

5. Перечислите свойства координат векторов в двумерном подпространстве.

6. Доказать, что пересечение любых двух векторных подпространств всегда не пусто.

7. Является ли векторным подпространством пересечение (объединение) двух векторных подпространств?

Задачи

1. Являются ли векторным подпространством каждая из следующих совокупностей векторов: а) все векторы трехмерного векторного пространства, координаты которых целые числа? б) все векторы трехмерного векторного пространства, не параллельные данной прямой? в) все векторы трехмерного векторного пространства, координаты которых имеют вид (1, a, b), гдеa,b– действительные числа? г) все векторы (x, y, z) трехмерного векторного пространства, координаты которых удовлетворяют уравнениюx +y +z = 0?

2. Пусть – множество всех векторов , гдеM– внутренняя точка данного углаAOB. Является лиFвекторным пространством?

3. В трехмерном векторном пространстве V₃даны два двумерных векторных подпространства:V₂– натянутое на векторыии– натянутое на векторыи. Может ли пересечениеV₂ибыть подпространством: а) нульмерным, б) одномерным, в) двумерным?

4. В данном базисе (,) построить вектор:

а) (–2,3), б)(, –2).

5. Даны векторы (2,3),(1,–3). При каком значении коэффициентавекторы=+и=–3+6коллинеарны?

6. Вектор в базисе (,) имеет координаты (2,1). Доказать, что векторы=3–и=–2+образуют базис, и найти координаты векторав новом базисе.

7. На прямой ABдана точкаC такая, что(–1), и дана точкаD, не лежащая на прямойAB. Разложить: а) по векторам и; б)по и ; в)по и .

8. Дан треугольник ABC. Через векторы=и=выразить условие того, чтоM– внутренняя точка треугольникаABC.

Задачи повышенной трудности

Пусть VиF– два подпространства трехмерного векторного пространства. Докажите, что: а) суммаV+F, то есть множество всех векторов, представимых в виде суммы вектора изVи вектора изF, является векторным подпространством, б) сумма размерностей подпространствV+FиVFравна сумме размерностей подпространствVиF.

Домашнее задание

1. Найти координаты вектора в базисе (,), если: а)(4,–2)(1,3),(2, –5); б)(5,2),(–1,3),(12,–5).

2. Дан параллелограмм ABCD. Через векторы=и=выразить условие того, чтоM– внутренняя точка параллелограммABCD.

3. Могут ли для тройки компланарных векторов ,,не существовать такие числаиk, что=+k?

4. Даны векторы (1,2,3),(2,–1,1),(3,1,–4) и(–1,8,7). Доказать, что: а) векторы,,линейно независимы, б) векторпринадлежит векторному подпространству, натянутому на векторыи.