Глава 9. Определенный интеграл

20

Далее, поскольку по условию теоремы

g монотонна, то из способа построения gn следует, что gn

также монотонна, следовательно, функция

gn0

0 èëè 0 íà [a; b].2

Тогда второй член в правой

части равенства (??) согласно (??) представляется в виде

Zab Fn(x)gn0 (x)dx = Fn( n) Zab gn0 dx = Za n fn(t)dt (gn(b) gn(a)) :

(9.21)

По формуле Ньютона Лейбница ( ??) имеем

xk

g0 dx = g

(x )

g

(x ); откуда, в силу непре-

рывности gn,

b gn0 dx = gn(b)

gn(a) = g(b)

gR(a): Таким образом, из (??) è (??) получаем

Ra

n

xk 1

n

n k

n k 1

b

In = g(a) Z

fn(t)dt + g(b) Z

fn(x)dx:

(9.22)

an

Последовательность f ng ограничена, следовательно, по Лемме Больцано Вейерштрасса, из нее можно выделить подпоследовательность f (nk)g, сходящуюся к некоторой точке 2 [a; b]: Тогда переходя в равенстве (??) к пределу при n = nk ! 1; согласно (??) получим (??).3I

9.5Формула Ньютона Лейбница

9.5.1Интеграл с переменным верхним пределом

Из Леммы ?? ïðè c 2= [a; b] интегрируема на [a; x] è [x; b]

следует, что если функция f интегрируема на [a; b]; a < b, то она при любом x 2 [a; b]. Таким образом, на [a; b] определены функции

F (x) = Rax f(t)dt è F1(x) = Rxb f(t)dt интегралы с переменным верхним и нижним пределами. По Лемме ?? F (x) + F1(x) = Rab f(t)dt = C0 )

F1(x) = C0 F (x); (9.23)

òî åñòü F1(x) отличается только знаком и постоянным слагаемым, следовательно, достаточно изу- чить свойства F (x):

Лемма 9.13. Если f интегрируема на [a; b], то F непрерывна на [a; b]:

JÒàê êàê f интегрируема, то она ограничена, следовательно, 9C > 0 :

jf(x)j C 8x 2 [a; b]:

Пусть

a; b]: Придадим

приращение

так, чтобы

x + x 2 [a; b]:

Тогда

F = F (x + x)

x

2x+[ x

Åñëè f

x

x

R

x

[a; b]

и непрерывна в точке x0

[a; b], то F дифференци-

F (x) =

fdt ) j F j Cj xj )

f

!

0; x !

0

I

2

Теорема 9.8.

интегрируема на

руема в точке x0 è F 0(x0) = f(x0):

Jf непрерывна в точке x0, поэтому f(x) = f(x0) + (x); ãäå (x) ! 0;

x ! x0: Тогда

F (x0 +

x

0

= x "

x0

f(x0)dx +

x0

(x)dx#

= f(x0) + A( x):

x)

F (x )

1

Z

x0+ x

Z

x0+ x

Далее, поскольку

M( x)

j (x)j ! 0;

x ! 0;

sup

[x0;x0+ x]

R

x0+ x

(x)dxj M( x)j xj; òî A( x) !

0;

f

[a; b],

è j x0

x ! 0: Отсюда следует утверждение теоремы I

Следствие (Существование первообразной у непрерывной функции) . Если непрерывна на

то она имеет первообразную на [a; b], которая имеет вид

J

(x) = Zax f(t)dt + C:

(9.24)

Согласно доказанной теореме F 0(x) = f(x)

x

2

[a; b]; òî åñòü F (x) первообразная f(x) íà

8

[a; b] I

2На самом деле функция gn0

определена лишь внутри интервалов (xk 1; xk): В точках xk функцию gn0

можно

доопределить произвольным образом значение интеграла при этом не меняется.

3Строго говоря, нужно еще доказать, что интегралы в правой части (

) сходятся к соответствующим интегралам в

правой части (

). В этом можно убедиться, представив интеграл по [a; (nk)] (для второго интеграла все аналогично)

в виде суммы интегралов по отрезкам [a; ] и [ ; (nk)], показать, используя оценки (

), что интеграл по [ ; (nk)]

стремится к 0 при k ! 1:

Глава 9. Определенный интеграл

21

9.5.2Формула Ньютона Лейбница

Теорема 9.9 (Ньютон Лейбниц). Если f непрерывна на [a; b], то

Za	b
	f(t)dt = (b) (a) (x)jab ;	(9.25)

где любая первообразная f на [a; b]:

JЕсли первообразная f, òî â ñèëó (??) (a) = C; (b) = Rab fdt+C; откуда и следует(??)I

9.5.3Интегрирование по частям и формула Тейлора

Теорема 9.10 (Интегрирование по частям). Пусть функции u и v непрерывно дифференцируемы 4 на [a; b]. Тогда

Z	b	uv0dx = uv jab Z	b
			vu0dx:	(9.26)

aa

JÒàê êàê (uv)0 = u0v + uv0, òî uv первообразная для непрерывной на [a; b] функции u0v + uv0. Отсюда на основании формулы (??) получаем (??)I

Теорема 9.11 (Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме) . Если функция f

непрерывно дифференцируема n + 1 раз на [a; b], то 8x 2 [a; b]

f

(a)

f(n)

1

x

f(x) = f(a) + f0(a)(x a) +

00

(x a)2 + +

(a)

(x a)n +

Za

f(n+1)(t)(x t)ndt:

2!

n!

n!

JПусть x 2 [a; b]. Имеем

= f0(t)(t x) ax +

f(x) f(a) =

f0

(t)dt =

u = f0

du = f00dt

f00

(t)(x t)dt =

Z

x

по частям:

j

Z

x

)

a

dv = dt

v = t

x

a

u = f00 ) du

= f000dt )

(x

t)2

x

)

a

2

=

v = (t x)2=2dt

=

0(t)(x

t) +

+

dv = (x t)dt

f

f00(t)

+1 Z x f000(t)(x t)2dt = = f0(t)(x t) + + (x t)n f(n)(t) x + 2 a n! a

+ n! Za		x
		f(n+1)(t)(x t)ndt: I
1

9.5.4 Замена переменной в определенном интеграле

Сначала мы рассмотрим случай, когда подынтегральная функция	f непрерывна. В этом случае
доказательство теоремы гораздо проще, чем в случае интегрируемой	f, который будет рассмотрен
позже.
Теорема 9.12. Пусть функция ' непрерывно дифференцируема на отрезке [ ; ] и отображает
последний на [a; b]: Тогда если f непрерывна на [a; b], то
Zab f(x)dx = Z f('(t))'0(t)dt:	(9.27)

JПусть F первообразная		f íà [a; b]. Тогда по формуле Ньютона Лейбница						ab f(x)dx =
F (b) F (a):	С другой стороны,	(F ('(t)))0 = f('(t))'0(t)		, следовательно,		первообразная
					F ('(t))			R	(t)dt =
для непрерывной функции f('(t))'			(t), отсюда по формуле Ньютона Лейбница				f('(t))'
F ('( )) F ('( )) = F (b) F (a): I0					R			0

Левая часть соотношения ( ??) имеет смысл для любой интегрируемой функции, поэтому требование непрерывности f в условии Теоремы ?? кажется излишним. На самом деле это условие есть только плата за простоту доказательства. В следующей теореме мы "восстанавливаем в правах"функцию f, но при этом чтоб не слишком усложнить (опять!) доказательство, накладываем на

функцию ' дополнительное ограничение: монотонность.

4 По определению функция f непрерывно дифференцируема n раз на [a; b], если f дифференцируема n раз в интервале (a; b); f(n) непрерывна на (a; b) и существуют конечные пределы f(k)(a + 0) è f(k)(b 0); k = 0; n

c) Сумма интегралов от функции

b) 8" > 0

a

компакт E (")

отличается от интеграла R b

Глава 9. Определенный интеграл	22
Теорема 9.13. Пусть функция ' монотонна , непрерывно дифференцируема на отрезке	[ ; ]

и отображает последний на [a; b]: Тогда если f интегрируема на [a; b], то функция f('(t))'0(t) интегрируема на [ ; ] и при этом справедлива формула (??).

JБудем считать, что a < b è ' не убывает (остальные случаи анализируются точно так же). Так как функция '0 непрерывна, то ограничена, следовательно, 9C > 0 : j'0j C )

j'(t1) '(t2)j = j'0( )jjt1 t2j Cjt1 t2j:

(9.28)

Пусть ftkg произвольное разбиение [ ; ] и произвольный набор промежуточных точек. Докажем, что интегральная сумма

! = !(f(')'0; ftkg; ) =	n	f('( k))'0( k) tk ! Zab fdx; d(ftkg) ! 0:	(9.29)
	1
	X

Имеем

k = '( k)

!= xk = '(tk)

xk = xk xk 1

	=	n	f( k) xk +	n	f( k)('0( k) tk		xk) = + :
		1		1
		X		X

Покажем, что ! ab fdx;

! 0;

d(ftkg) ! 0: Отсюда будет следовать (??).

) следует, что

j xkj Cj tkj ) d(fxkg) Cd(ftkg): Отсюда в силу инте-

Из неравенства (R??b

грируемости

f

! Ra fdx ïðè d(ftkg) ! 0:

Далее,

По Т. Лагранжа

f( k) '0( k) tk xk

8 k 9 ~k 2 (xk 1; xk) :

M

'0( k)

'0( ~k) tk:

j j j

j

x

k

= '0

( ~ ) t

k

j

j

j

k

X

fîãð.

f(

k

)

M

X

) j

j

Òàê êàê

'0

непрерывна, то

'

равномерно непрерывна, следовательно,

9 = (") : j'0( k) '0( ~k)j <

"=M( ) ïðè d(ftkg) < ; òàê ÷òî j j < ": I

Как видно из доказательства, замена условия непрерывности на интегрируемость f äàæå ïðè

дополнительном ограничении на ' существенно усложняет доказательство формулы ( ??). На самом деле можно продвинуться еще дальше в этом направлении: ценою еще больших усложнений Теорему ?? удается доказать, отказавшись от условия монотонности '.

Упражнение 9.1. Доказать, что Теорема ?? остается верной и в случае, когда ' произвольная непрерывно дифференцируемая на [ ; ] функция.

У к а з а н и е . Показать, что

a) При малых " > 0 интеграл RE(") f('(t))'0(t)dt; ãäå E(") = ft 2 [ ; ] : j'0(t)j "g; ìàëî

fdx;

= ft 2 [ ; ] : '0(t) "g покрывается конечным числом непересека-

ющихся интервалов Jk ("), на которых '0(t) < "=2;

f(')'0 по всем интервалам Jk (") мало отличается от

RE(") f('(t))'0(t)dt; åñëè " ìàëî.

9.5.5Критерий Лебега интегрируемости функции

Определение 9.11. Будем говорить, что множество A имеет меру нуль в смысле Лебега, если

8" > 0

9 конечная ли счетная система интервалов Ik;

1n Ik

k =

1; n; n 1; таких, что A

S =

I < ";

l

S

n

P

1

l

!1 P

j

kj

è

1

j kj

причем при n =

1

:

сумма S понимается в следующем смысле: S = lim

I

Определение 9.12. Пусть M некоторое множество из R. Будем говорить, что некоторое свойство P выполняется почти всюду (в смысле Лебега) на M, если P выполняется всюду на M за исключением множества меры нуль.

Теорема 9.14 (Лебег). Ограниченная на [a; b] функция f интегрируема по Риману на этом отрезке тогда и только тогда, когда f непрерывна почти всюду на [a; b]:

Доказательство можно найти, например, в [ ?, c.117].