elem_mat_copy

О п р е д е л е н и е 4: Говорят, что бинарная операция * на множестве А:

коммутативна, если выполняется условие А2,

ассоциативна, если выполняется условие А1`,

обладает нейтральным элементом (левым, правым), если выполняется А5 (A3, А4),

обратима (слева, справа), если выполняется А8 (А6, А7).

Пр и м е р 4. Исследовать свойства бинарной операции *, заданной на множестве Q по правилу:

a,b Q, а * b = а – ab + 1.

Ре ш е н и е:

1.Проверка условия выполнимости. Так как сумма, произведе-

ние, разность рациональных чисел являются рациональными числами, то результат операции а – ab + 1 есть рациональное число. Операция * выполнима на Q.

2.Проверка условия однозначности. Операции сложения,

умножения, вычитания рациональных чисел ― однозначны. Следовательно, и операция *, которая определяется через них, будет однозначной.

3.Проверка аксиомы ассоциативности. Возьмем любую

тройку элементов а, b, с из множества Q и проверим выполнимость равенства: (а * b) * с = а * (b * с). Раскрывая левую часть этого равенства, получаем:

(а * b) * с = (а – ab + 1) *c = (a – ab +1) – (a – ab + 1)с+1 = = a – аb – aс + abc – c + 2.

Раскрывая правую часть рассматриваемого равенства, получаем:

а * (b * с) = а * (b ― bc + 1) = а ― а(b ― bc + 1) + 1 = =1– ab + abc.

Результаты различны, поэтому операция * неассоциативна.

4.Проверка аксиомы коммутативности:

а, b Q, а * b = b * a.

Так как a * b = a – a b + 1 , b * a = b – ba + 1, то при а b

результаты различны. Итак, операция * некоммутативна.

5.Проверка наличия нейтральных элементов:

71

а) Из аксиомы A3 имеем: х * а = а или х – ха + 1 = а, откуда х = –1. Следовательно, существует левый нейтральный элемент е' =1.

б) Из аксиомы А4 имеем: а * х = а или а – ах + 1 = а, от-

куда = . Здесь х зависит от а. Следовательно, правого ней-

трального элемента нет.

в) Из пунктов а) и б) следует, что нейтрального (двухстороннего) элемента нет.

6.Проверка наличия симметричных элементов.

Для выполнения аксиом А6 и А7 необходимо наличие двухстороннего нейтрального элемента e относительно заданной операции. Так как такой элемент отсутствует, то операция * не обладает симметричными элементами.

Упражнения

1.Является ли операцией и какого ранга вычитание на множестве R? В случае положительного ответа перечислить основные свойства операции.

2.Исследовать свойства операции *, заданной на множестве R формулами:

а) а * b = (а + b)2;	б) а * b = а2 +1;
в) а * b = 2а + b –1;	г) а * b = ab–a+b;
д) а * b = ab;	е) а * b = a2b–ab2.

Практическое занятие №18

Зачетная контрольная работа

1.Доказать:

1)A\ B A (B A);

2)А \ (В С) = ((А \ В) \ С);

3)A \ (B \ C) = (A \ B) (A C);

4)А \ В = А \ (В А);

72

5)А \ (А \ В) = А В;

6)А (В \ С) = (А В) \ (А С);

7)А В = А (В \ А);

8)(А В) \ С = (А \ С) (В \ С);

9)( A В) А=A B;

10)(А \ В)\С = ( А\С ) \ (В\С).

2.Построить таблицу истинностных значений данных формул исчисления высказываний:

1) А & B

C

6)

A B C;

B

;

);

A&

C;

2) A (

C

7)

B

В)

C

A;

8) A B C

3) (А

C

4) А & B

;

9)

A&(B

C);;

5) (A B)&(A

C);

10) A B

.

3.Построить

отрицание следующих формул:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

x y((A(x) B(y) C(x));

x y((A(x) & B(y) C(x));

x y((A(x) B(y) C(x));

x y((A(x) B(y) & C(x));

x y((A(x) B(y) C(x));x y((A(x) B(y) &C(x));x y((A(x) B(y) &C(x));

8)x y((A(x) & B(y) &C(x));

9)x y((A(x) B(y) & B(y));

10)x y((A(x) &C(y) A(x)).

4.Какими свойствами обладает данное соответствие на множестве R?

1) f: R R,

f: x kx + b;

73

2)	f: R R,	f: x x3;
3)	f: R R,	f: x	x	;
4)	f: R R,	f: x |x|;
5)	f: R R,	f: x sin x;
6)	f: R R,	f: x cos x;
7)	f: R R,	f: x tg x;
8)	f: R R,	f: x ctg x;
9)	f: R R,	f: x lg x;

10) f: R R,		f: x ax, a R.
5.Какими свойствами				обладает данное отношение на
множестве R?			);
2)	(	=
1)	(	=	;
3)			)	;
4)	(|	―	| <;	5)
5 )	(	> 0)		;
6 )	(2	= cos		);
	(	+1 > 0)

7)(3 = 3 );

8)

( + ) 2;

9)( ― = 1);

10)					.
6.Доказать		методом математической индукции:
			(|	| =	| |)
					... ( 1)n 1 n2		( 1)	n 1	n(n 1)
	12 22	32		42
1)									2		;
	1 2 2 3 ... n(n 1)					n(n 1)(n 2)
2)
					3				;
					74

	1		1	...	1		n
					(3n 2)(3n 1)		3n 1;
3) 1 4			4 7

		1					1			...			1									n
													(4n 3)(4n 1)								2n 1;
4)	1 5						5 9
5)	1 4 2 7 3 10 ... n(3n 1) n(n 1)2																							;
	12 32 52 ... (2n 1)2														n(2n 1)(2n 1)
6)
																			3					;
7)	1 3 5 7 ... ( 1)n (2n 1) ( 1)n n;
	12						22							n2							n(n 1)
										...
																				2(2n 1) ;
8)	1 3						3 5						(2n 1)(2n 1)
	1 2 3 2 3 4 ... n(n 1)(n 2)																	n(n 1)(n 2)(n 3)
9)
																			4					;
	12						2		2					n2								n(n 1)
											...
														(2n 1)(2n 1)								2(2n 1) .
10) 1 3								3 5

6. ГЛОССАРИЙ

Биекция ― всюду определенное, функциональное, инъективное и сюръективное соответствие.

Бинарная операция ― отображение из декартова квадрата множества А в множество А.

Высказывание ― повествовательное предложение, о котором имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.

Метод математической индукции ― метод доказатель-

ства теорем, основанный на аксиомах Пеано натурального ряда. n-местный предикат ― логическая функция от n пере-

менных, принимающая значения из множества {0,1}.

Отношение эквивалентности ― рефлексивное, симмет-

ричное и транзитивное отношение.

75

Тавтология ― логический закон.

Теорема ― высказывание, истинность которого устанавливается на основе доказательства, проводимого с помощью законов логики.

Фактор-множество	― совокупность всех смежных
классов множества А по отношению/		эквивалентности .

7.ОСНОВНАЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

7.1.Основная литература

1.Моторинский, Ю. А., Пайсон, Б. Д. Вводный курс математики [Текст] / Ю. А. Моторинский, Б. Д. Пайсон. – Барнаул: изд. БГПУ, 2005, 70 с.

2.Пуркина, В. Ф. Вводный курс в математику [Текст] / В. Ф. Пуркина. – Горно-Алтайск: РИО «Универ-Принт», 2001, 40 с.

7.2.Дополнительная литература

1.Вернер, А. Л. Вводные лекции по математике [Текст] / А. Л. Вернер. – Л.: ЛГПИ им. А. И. Герцена, 1975, 156 с.

2.Гибш, И. А. Алгебра [Текст] / И. А. Гибш. – М.: Учпедгиз, 1960, 664 с.

3.	Туманов, С.	И. Элементарная алгебра [Текст] /
	С. И. Туманов. – М.: Учпедгиз, 1960, 686 с.
4.	Шахно, К. У.	Элементарная математика для окончивших
	среднюю школу [Текст] /К. У. Шахно. – Л.: изд. Ленин-
	градского университета, 1976, 432 с.

76

Для заметок

77

Для заметок

78

Для заметок

79

Учебное издание

Элементарная математика (вводный курс в математику)

Учебно-методический комплекс

Составители: Пуркина Валентина Федоровна

Кайгородов Евгений Владимирович

Подписано в печать 11.01.2010. Формат 60*84/16 Бумага офсетная. Усл.печ.л. – 5,0

Заказ №2. Тираж 50 экз.

РИО Горно-Алтайского госуниверситета, 649000, г. Горно-Алтайск, ул. Ленкина, д. 1

Отпечатано полиграфическим отделом Горно-Алтайского госуниверситета, 649000, г. Горно-Алтайск, ул. Ленкина, д. 1

80