умк_Вабищевич_Физика_ч

становиться ω2 = 10 рад/с. Найти момент инерции этого маятника относительно оси вращения.

11.Два физических маятника совершают малые колебания вокруг одной и той же горизонтальной оси с частотами ω1 и ω2 . Их моменты инерции относительно данной оси равны соответственно J1 и J2 . Маятники привели в состояние устойчивого равновесия и скрепили друг с другом. какова будет частота малых колебаний составного маятника?

12.Система состоит из однородного горизонтального диска радиусом R массы m и тонкого стержня, коэффициент кручения которого K. Определить частоту и амплитуду малых колебаний, если в начальный момент диск отклонили на угол ϕ0 и сообщили ему угловую скорость ω0 .

141

4. УЧЕБНЫЙ БЛОК «МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ»

Введение

Раздел механики, в котором изучается законы движения жидкости и ее взаимодействия с телами, обтекаемыми средой, называется гидродинамикой. При изучении движения жидкости рассматривают ее как сплошную среду, отвлекаясь от молекулярного строения жидкости. В ряде случаев пренебрегают внутренним трением и рассматривают модель идеальной жидкости.

При изучении данного раздела студенты должны

иметь представление:

–об основных физических величинах: давлении, работе, кинетической и потенциальной энергии;

–об основных законах гидростатики: законе Архимеда, законе Паскаля; знать основы гидростатического давления.

обладать навыками:

–примененияэлементовдифференциальногоиинтегральногоисчисления.

Учебная программа блока

Содержание программы		Форма	Рекомендуемая
		подготовки	литература
Давление в жидкости и газе. Сила Архимеда.		самост.
Закон Паскаля.		лекция
Стационарное течение жидкости и уравнение нераз-			[2, § 3.5]
рывности. Уравнение Бернулли.
		лекция	[5, § 72 – 78]
Силы внутреннего трения. Сила сопротивления.
Движение жидкости в круглой трубе. Формула Пуа-		лекция
зейля. Методы определения вязкости
Цели обучения
студент должен знать	студент должен уметь
– формулы гидростатического давления,	– решать задачи на применение формул гид-
силы Архимеда;	ростатическогодавленияисилыАрхимеда;
– закон Бернулли;	– применять уравнение Бернулли для рас-
– формулу Стокса для силы сопротивле-	чета скорости и давления в жидкости;
ния;	– решать задачи о движении тел в вязкой
– выражение для силы вязкого трения	среде

142

4.1. Краткое содержание теоретического материала

Большая подвижность частиц и малая сжимаемость жидкости являются ее отличительными особенностями. Высокая подвижность частиц жидкости обусловливает отсутствие упругости формы. В ряде механических явлений поведение жидкостей (и газов) определятся одинаковыми параметрами и уравнениями. Поэтому существует единый подход в изучении свойств жидкости и газа в условиях равновесия и движения.

В механике жидкости рассматривают как сплошные среды. Плотность жидкости слабо зависит от давления и можно пользоваться моделью несжимаемой жидкости.

Жидкости обладают только упругостью объема. Вследствие этого справедлив закон Паскаля: внешнее давление, производимое на жидкость, передается во все стороны равномерно.

Так, гидростатическое давление, обусловленное весом столба жидкости высотой h равно p = ρgh , ρ – плотность жидкости, g – ускорение

свободного падения. Благодаря различию в давлениях на разной глубине, сила давления на нижние слои больше чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость , действует выталкивающая сила (сила Архимеда), направленная вверх, равная весу вытесненной телом жидкости или газа

FA = ρgV .

В гидродинамике изучаются законы движения жидкости, ее взаимодействие с телами. Движение жидкости называют течением, а саму движущуюся жидкость потоком. Направление скорости в любой точке потока жидкости определяют так называемые линии тока – линии, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной. Густота линий тока характеризует значение скорости. В стационарном режиме значение скорости в каждой точке потока жидкости не изменяется со временем. Выделяя часть потока жидкости, ограниченную линиями тока, получим трубку тока. Частицы среды при стационарном режиме движутся по линиям тока, поэтому боковую поверхность трубки жидкость не пересекает. За одно и то же время через различные сечения трубки тока проходят одинаковые объемы жидкости V1 =V2 , V1 = υ1S1∆t , V2 = υ2S2∆t (рис. 4.1). Здесь частицы среды имеют скорости υ1 и υ2 в сечениях S1 и S2, поэтому

υ1S1 = υ2S2 .

(1)

Данное уравнение называют уравнение неразрывности. В общем случае для идеальной жидкости в стационарных условиях произведение

143

Рис. 4.1

скорости на поперечное сечение трубки тока остается постоянным в любом сечении трубки υS = const .

Для изучения движения выделенной части жидкости применим закон изменения ее полной механической энергии. За время ∆t выделенная часть жидкости переместится в новое положение, в котором она будет уже ограничена сечениями S1' и

S2' . Объемы жидкости между сече-

ниями S1S1' и S2S2' движутся поступательно и имеют кинетическую и потенциальную энергии. Так как силы

давления на боковую поверхность трубки тока не выполняют работы по перемещению жидкости (они перпендикулярны к υ), то сумма работ внешних сил будет равна работе сил давления в сечениях S1 и S2 при их перемещении

на расстояния ∆l1 = v1∆t			и ∆l2 = v2∆t . Эта работа равна изменению полной
механической энергии, а масса жидкости в объеме S∆l равна m:
mυ2			−		mυ2				= p S	∆l	− p		S		∆l		.
2 + mgh		2			1	+ mgh						2		2		2
2					2		1		1 1	1
Разделим обе части на S2∆l2 = S1∆l1 и получим:
	ρυ2					+ p =	ρυ2										(2)
			2 +ρgh					1	+ρgh + p ,
	2				2	2	2		1		1

где ρ – плотность жидкости.

Это уравнение справедливо для любого движущегося объема жидкости внутри любой линии тока и является уравнением Бернулли. В общем случае (2) можно записать в виде

			ρυ2	+ρgh + p = const ,	(3)
			2
	где	ρυ2	– динамический напор; ρgh – гидравлический напор; р – гидроста-
		2

тический напор. С физической точки зрения динамический напор соответствует удельной кинетической энергии, т.е. энергии 1 ед. объема движу-

144

щейся жидкости, а гидравлический напор – удельная потенциальная энергия 1 единицы объема в поле силы тяжести.

С какой скоростью будет вытекать жидкость из нижнего отверстия (рис. 4.2) под действием силы тяжести? Пусть с помощью специальных приспособлений поддерживается постоянный уровень жидкости. В какой-то момент времени в нижней части открывается отверстие, через которое начинает истекать жидкость. За нулевой уровень отсчета выберем уровень, на котором находится отверстие. Выделим линию тока, которая начинается наверху и заканчивается в отверстии. Будем считать отверстие очень маленьким и давления в верхней и нижней частях его одинаковыми. Пло-

щадь отверстий и сосуда не учитываются, p0 – атмосферное давление. Учитывая, что каждая струйка

начинается на верхней поверхности и заканчивается				Рис. 4.2
на отверстии, запишем уравнение Бернулли для
двух сечений:
ρυ2		ρυ2	+ p ,
0 + p +ρgН =
2	0	2	0

где υ0 – скорость движения уровня воды на высоте Н; υ – скорость истечения жидкости из сосуда. По условию Н = const, следовательно, υ0 = 0,

	тогда ρgН =	ρυ2	, откуда	следует, что скорость вытекания жидкости
		2
	υ = 2gН .Таким образом,			скорость истечения весомой жидкости равна

скорости, которую приобретает тело, падая с высоты H.

Вязкостью называется свойство жидкостей или газов оказывать сопротивление перемещению частиц среды. Между слоями жидкости, движущимися друг относительно друга с некоторыми скоростями, действуют силы внутреннего трения. В случае одномерного течения жидкости (вдоль оси х)

величина силы трения описывается законом Ньютона:
F	= −ηS	dυx	,	(4)
тр		dy

где η – коэффициент динамической вязкости; S – площадь соприкосновения движущихся слоев; dυx dy – градиент скорости, т.е. быстрота изменения

скорости слоев в направлении оси у, перпендикулярной υх, от слоя к слою.

145

Рис. 4.3

Для медленно движущегося небольшого шара радиусом r сила лобового сопротивления описывается законом Стокса:

Fc = − 6 πr η υ .

Закон Стокса лежит в основе лабораторного метода определения вязкости по изучению падения шариков в вязкой среде.

Характер течения жидкости зависит от значения безразмерной величины R e = ρυηL , где ρ – плотность жидкости (газа), υ – средняя (по сече-

нию трубы) скорость потока, η – коэффициент вязкости жидкости, L – характерный для поперечного сечения размер тела. Величина Re называется числом Рейнольдса. Начиная с некоторого определенного значения Re, называемого критическим, течение приобретает турбулентный характер.

Рассмотрим течение жидкости в круглой трубе (рис. 4.3). При ламинарном течении скорость жидкости изменяется от нуля около стенок трубы до максимума на оси трубы. Жидкость при этом оказывается как бы разделенной на тонкие слои, которые скользят относительно друг друга, не перемешиваясь. В этом случае скорость частиц жидкости в данной точке про-

странства будет все время одна и та же. Если увеличивать скорость течения, то при достижении определенного значения скорости, режим течения станет турбулентным, когда слои жидкости вследствие их завихрений перемешиваются.

При ламинарном течении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенки трубы и максимальна на оси трубы.

Найдем закон изменения скорости. Выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиусом r и длиной l. При стационарном течении этот объем движется без ускорения. В направле-

нии движения на жидкость действует сила давления F			= p πr 2	; во встреч-
	= p πr2	1	1
ном направлении сила давления F		. Результирующая сил давления
2	2
имеет модуль F = ( p1 − p2 ) πr 2 ,				(5)

где ( πr2 ) – площадь основания цилиндра.

Набоковуюповерхностьдействуеттормозящаясилавнутреннеготрения

	Fc = η		d υ		2 πrl = −η	d υ	2 πrl ,	(6)
			d r			d r

где 2 πrl – площадь боковой поверхности цилиндра; d υdr – значение произ-

водной на расстоянии τ от оси трубы, оно отрицательно, потому что скорость убываетсрасстояниемотоситрубы.

146

Приравняв выражения (5) и (6), получим

( p1 − p2 )πr 2 = −η ddrυ 2πl .

Разделив переменные, получим уравнение

dυ = −	( p1 − p2 )	rdr ,
	2ηl
интегрирование которого дает
v = −( p1 − p2 ) r2		+C .	(7)
	4ηl

Постоянную C нужно выбрать из условия, что на стенке трубы (т.е. при r = R) скорость обращалась в нуль. Это условие выполняется в случае, если

C = ( p1 − p2 ) R 2 . 4ηl

Подстановка этого значения в (7) приводит к формуле

	( p − p )	(R2 − r2 ) =	( p − p )				r2			R2 .
υ(r) =	1 2		1	2		1 −
								2
	4ηl		4ηl				R

Скорость жидкости на оси трубы равна

υ0 = υ(0) = ( p1 − p2 ) R2 . 4ηl

С учетом формулы (8), можно записать:

υ(r) = υ		1	−	r2			.
					2
0				R

(8)

(9)

(10)

Вычислим поток жидкости Q = V/t, равный объему жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени. Разобьем сечение трубы на кольца шириной dr (рис. 4.4). Через кольцо радиусом r пройдет в единицу времени объем жидкости dQ:

r2

dQ = υ0 1 −

2πrdr .

R

2

Проинтегрировав это выражение по r в пре-

dr

делах от нуля до R, получим поток Q:

R

R

r2

1

πR2υ0

1

Q = ∫

υ0 1 −

2πrdr =

=

Sυ0 . (11)

R

2

2

2

0

Рис. 4.4

147

трубы, пропорционален отношению

Подставив в (11) выражение (9), получим формулу Пуазейля

		( p − p )πR4
	Q =	1 2	.	(12)
		8ηl

Из формулы Пуазейля следует, что поток Q сильно зависит от радиуса

( p1 − p2 ) , т.е. перепаду давления на l

единице длины трубы, а также обратно пропорционален вязкости жидкости η. Объем прошедшей через сечение S жидкости за время t выражается формулой

	π( p	− p )R4t
V =	1	2	.	(13)
		8ηl

Из этого выражения найдем коэффициент вязкости

η =	π( p − p	2	)R4t	.	(14)
	1
	8Vt

Если жидкость с плотностью ρ вытекает только под действием собственного веса, то разность давлений на концах вертикального капилляра высотой h равна гидростатическому давлению ρgh , т.е.

p1 − p2 = ρgh ,

(15)

где ρ – плотность жидкости; g – ускорение силы тяжести; h – высота столба жидкости.

Тогда с учетом (15) уравнение (14) примет вид

	η =	πρghR4t	= const t = At .	(16)
		8Vl

Итак, время течения определенного объема V жидкости определяется ее вязкостью и зависит от условий течения (константы A, т.е. размеров трубы, объема и плотности жидкости). Если константа A известна, то вязкость определяется самым быстрым методом – методом Пуазейля.

4.2.Вопросы для самоконтроля

1.Что называется давлением?

2.Сформулируйте закон Паскаля

3.Что такое гиростатическое давление, чему оно равно?

4.Чему равна сила Архимеда?

148

5.Что такое линия и трубка тока?

6.Запишите и объясните уравнение неразрывности.

7.Сформулируйте закон Бернулли

8.Что такое динамический напор?

9.В чем различие ламинарного и турбулентного движения? Что такое число Рейнольдса?

10.Запишите выражение для силы внутреннего трения, от чего она зависит

11.Как зависит скорость течения жидкости вдоль оси трубы?

12.Запишите формулу Пуазейля. Что она позволяет определить?

4.3. Примеры решения задач

Пример 1.

В жидкости плотностью ρ1 плавает полый шар объемом V, изготовленный из материала плотностью ρ2. Каков объем полости Vп, если известно, что объем погруженной в жидкость части шара составляет n = 0,75 всего объема шара?

Решение. При равновесии сила тяжести равна архимедовой силе

FA = mg ,	(1)
где m – масса шара, равная m =ρ2 (V −Vп ). Модуль Силы	Архимеда

FA = ρ1gV1 , где – V1 погруженный в жидкость объем. Поставив в (1) данные выражения, получаем

ρ2 g (V −V1 ) = ρ1gV1 ,

или с учетом того, что V1 = nV

ρ2 (V −V1 ) = ρ1nV .

Отсюда объем полости V =V (1 − nρ1 ρ2 ).

Пример 2.

Определить время τ вытекания жидкости из сосуда высотой H и площадью основания S, если внизу находится отверстие площадью S0 (рис. 4.5).

Решение. Известно, что скорость истечения

жидкости	из	отверстия, определяется формулой
υ = 2gx ,	где	x – высота уровня поверхности
жидкости.		Рис. 4.5

149

Изменение объема вследствие вытекания связано с изменением уровня жидкости:

dV = −Sdx .

(1)

С другой стороны это изменение равно объему жидкости, проходя-

щему через отверстие

dV = υS0dt =

2gxS0dt .

(2)

Приравнивая (1) и (2), получаем дифференциальное уравнение, в кото-

ром переменные разделяются

−Sdx = 2gxS0dt

, −

S

dx

= dt

S0

x

Интегрируя

2g

0

S

dx

τ

−∫

= ∫dt ,

h S0

2g

x

0

определяем зависимость времени вытекания от начального уровня

	τ =	S	2h .
		S0
			g

Пример 3.

Две манометрические трубки установлены на горизонтальной трубе переменного сечения в местах, где сечения трубы равны S1 и S2 (рис. 4.6). По трубе течет вода. Найти объем воды, протекающей в единицу времени через сечение трубы, если разность уровней водывманометрическихтрубкахравнаh.

Решение. Объем жидкости, протекающий

Рис. 4.6	в единицу		времени равен		V = υ2S2 , где υ2 –
скорость течения воды в месте сечения S2. Запишем уравнение Бернулли
для двух сечений
	ρυ2	+ p =	ρυ2		(1)
	2		1 + p ,
	2	2	2	1

где p1 и p2 – статические давления манометрических трубок. Учитывая, что

p	− p = ρgh , с другой стороны из (1)			следует что p	− p =	ρυ2	ρυ2	,
						1 −	2
2	1			2	1	2	2
получаем
	ρgh =	ρυ2	−	ρυ2			(2)
		1		2 .
		2		2

150