умк_Вабищевич_Физика_ч

	Окончание табл.
– параметрические колебания;	– определять характеристики пара-
– формулы для амплитуды и начальной фазы при	метрических колебаний;
сложении гармонических колебаний одного направ-	– составлять уравнения результи-
ленияиодинаковойчастоты;	рующих колебаний;
– условия максимумов и минимумов при сложе-	– строить векторные диаграммы;
нии двух колебаний;	– составлять уравнение траектории
– уравнение биений; период и частота биений,	при сложении взаимно перпенди-
время когерентности;	кулярных колебаний
– сложение взаимно перпендикулярных колеба-
ний; фигуры Лиссажу; линейная и круговая
поляризация

3.1. Краткое содержание теоретического материала

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.

Периодом колебания Т называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характеризующих колебательное движение. За это время совершается одно полное колебание.

Частотой периодических колебаний ν называется число полных колебаний, которые совершаются за единицу времени: ν = T1 . Циклической

(круговой) частотой периодических колебаний называется число полных колебаний, которые совершаются за 2π секунд: ω= 2πν = 2Tπ .

Так как колебательное движение является одной из разновидностей механического движения, оно должно подчиняться законам динамики Ньютона, в частности второму закону: maG = F .

Периодичность повторения состояния тела (в частности его координат) при колебании обеспечивается возвращающей силой, поэтому перемещение тела противоположно (по направлению) действующей (возвращающей) силе. Учитывая это и вводя во второй закон Ньютона силу, например, упругости, уравнения движения можно записать в виде

	m	d 2 x	+ kx = 0 ,	(1)
		dt2

где х – координата тела, зависящая от времени t при колебательном движении тела по прямолинейной траектории.

71

	Дифференциальное уравнение (1)			перепишем в виде
	d 2 x	+	k	x = 0 ,	(2)
	dt2		m

где m – масса колеблющейся системы; k – упругость системы. Решением уравнения (2) может быть гармоническая функция

x = x0 sin(ωt + ϕ0 ) или	x = x0 cos(ωt + ϕ0 ) .		(3)
В этом можно убедиться подстановкой этой функции в уравнение (2)
при условии, что
ω=	k	.	(4)
	m

При этом в уравнении (3) величина х – отклонение системы от точки равновесия (координата) в момент времени t; х0 – максимально возможное отклонение от точки равновесия (амплитуда); ω – циклическая частота колебаний.

Возможен произвольный выбор гармонической функции колебательного движения, но при этом требуется определение начальной фазы колебаний ϕ0, чтобы обеспечить однозначность движения, которое не зависит от нашего выбора. Начальная фаза колебаний может быть определена из значения какого-либо параметра колебаний в заданный момент времени. Например, если известно отклонение системы от точки равновесия х в момент

начала колебаний (t = 0), можно (3) представить в виде
	x	= sin(ϕ0 ) или	x	= cos(ϕ0 )	(5)
	x0		x0

Уравнения (5) позволяют определить ϕ0.

В уравнении колебаний (2) возвращающая сила прямо пропорцио-

нальна смещению от точки равновесия. Поэтому соб-
ственная частота колебаний любой системы, в которой
вращающая сила пропорциональна смещению, может
быть найдена по формуле, аналогичной (4). В качестве				K
	α
примера определим ω для математического маятника.				T
Математическим маятником называется мате-
риальная точка, подвешенная на невесомой нерастя-	F				mg
жимой нити и совершающая движение в вертикальной
плоскости под действием силы тяжести mg (рис. 3.1).			Рис. 3.1

72

Чтобы описать колебания под действием силы тяжести нужно воспользоваться законами механики Ньютона. Касательное (тангенциальное) ускорение телу сообщает сила F = mg sin α. При малых углах можно записать,

что sin α ≈ tgα = xl . Поскольку векторы силы исмещения противонаправлены,

то F = −mg xl , т.е. сила пропорциональна смещению. Уравнение (2) для маятника можем записать в виде

			m	d 2 x	+ mg	x	= 0 .
				dt2		l
	Из него следует, что циклическая частота колебаний математического
	маятника равна: ω=	g	. Таким образом,				в пределе малых колебаний, т.е.
		l

при малых углах отклонения маятника из положения равновесия, когда

возвращающая сила пропорциональна смещению, возникают гармони-

	ческие колебания с периодом T = 2π	l	, где l – длина подвеса, g – ускоре-
		g

ние свободного падения.

Превращение энергии при колебании рассмотрим на примере пружинного маятника. Пусть колебания происходят по закону x = Acosωt . При гармонических колебаниях пружинного маятника происходят превращения потенциальной энергии упруго деформированного тела (пружины)

	U =	kx2	в кинетическую энергию груза E =	mυ2	и наоборот. Полная энер-
		2		2

гия колебательной системы определяется суммой энергий. Учитывая, что

υ = dx

= −Aωsin ωt , можно записать

dt

W =

mυ2

+

kx2

=

m(−ωAsin ωt)2

+

k( Acosωt)2

=

2

2

2

2

=

mω2 A2 sin2 ωt

+

mω2 A2 cos2 ωt

=

mω2 A2

.

(6)

2

2

2

Полная энергия колебаний не зависит от времени

W = mω2 A2 .

2

73

maG = Fупр + FGсопр ,

Однако доля каждого вида энергии в полной энергии изменяется со временем. Таким образом превращения энергии при колебаниях пружинного маятника происходят в соответствии с законом сохранения механической энергии. При движении маятника вниз или вверх от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая – уменьшается. Когда маятник проходит положение равновесия (х = 0), его потенциальная энергия равна нулю, а кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии. Максимальные значения

		mυ2		kx2
	энергий равны друг другу:	0	=	0	.
		2		2

Затухание колебаний вызывается главным образом трением, сопротивлением окружающей среды. Движения тела подчиняется второму закону Ньютона

где FGсопр = −bυG – сила сопротивления пропорциональна скорости движения тела, возвращающая сила является упругой: Fупр = −kxG. В проекциях уравнение принимает вид

		ma = −kx +bυ,
	преобразуя, получаем
	m	d 2 x	+b	dx		+ kx = 0 .			(7)
		dt2		dt
	Поделив на m, и обозначая		β =		b		,	ω =	k	– собственная частота
					2m			0	m

колебаний, получаем дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

d 2 x + 2βdx + ω2 x = 0 .			(8)
dt2	dt	0
Решением данного уравнения является функция, описывающая зави-
симость координаты тела при затухающих колебаниях

x = A e−βt cos(ωt + ϕ		) ,	(9)
0	0

где А0 и ϕ0 – начальные амплитуда и фаза соответственно. Циклическая частота колебаний уменьшается по сравнению с собственной частотой колебаний системы:

ω= ω2	−β2 .	(10)
0

74

Таким образом, амплитуда колебания со временем изменяется по

	закону А= A e−βt (рис. 3.2).
	0
	Полная энергия	колебательной
	системы уменьшается со временем по
	закону:
	W =W e−2βt .	(11)
	0
	Промежуток времени, в течение
				Рис. 3.2
	которого амплитуда колебаний умень-
	шается в е раз, называется временем релаксации
		τ = 1 .		(12)
		β

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются понятиями декремента δ и логарифмического декремента λ затухания:

δ =	A(t)	= eβt ;	λ = ln	A(t)	=βT =	T	=	1	,	(13)
	A(t +T )			A(t +T )		τ		N

где N – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз. Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q, равнаяпроизведению2π наотношениеэнергиисистемывпроизвольный момент времени к убыли этой энергии за промежуток времени, равны периоду

затухающихколебаний:

Q = 2π	W (t)	≈	π	.	(14)
	W (t) −W (t +T )
			βT

При увеличении коэффициента затухания β период затухающих колебаний возрастает и обращается в бесконечность при β = ω0. Такое движение системы не имеет колебательного характера и называется апериодическим движением.

Вынужденными колебаниями называются незатухающиеG колебания системы, которые вызываются действием на нее внешних сил F , периодически изменяющихся с течением времени. Вынужденными являются колебания силы тока в сети переменного тока, колебания гребных винтов, лопаток и валов турбин под действием периодически изменяющихся внешних сил. Второй закон Ньютона для вынужденных колебаний имеет вид

G	G	G	G	(15)
Fупр + Fсопр + F			= ma .

75

Если сила изменяется по закону F = F0 cos(ωt) , F0 – амплитуда воз-

мущающей силы, ω – ее циклическая частота, то в системе, на которую действует такая сила, могут установиться вынужденные колебания, которые являются также гармоническими и происходят с циклической частотой, равной частоте вынуждающей силы. Записывая уравнение в проекциях, получаем дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

−kx −bυ+ Fo cosωt = ma ,

d 2 x		dx		F
	+ 2β		+ ω x =	0	cosωt .	(16)
dt2		dt	0	m

Установившиеся колебания происходят по закону: x = Acos(ωt + ϕ) , где А – амплитуда вынужденных колебаний физической величины (например, смещения), ϕ – разность фаз между вынужденными колебаниями х(t) и силы F(t).

Амплитуда А установившихся вынужденных колебаний определяется по формуле

F0
А= m (ω02 −ω2 )2 + 4β2ω2	,	(17)

гдеω0 – циклическаячастотасобственныхнезатухающихколебанийсистемы. Разность фаз между колебаниями силы и смещения определяется

соотношением

tgϕ = −	2βω		.	(18)
	2	2
	ω −ω
0

Графики зависимости амплитуды и разности фаз от частоты при различных коэффициентах затухания, приведены на рис. 3.3.

Рис. 3.3

76

Из уравнения (17) следует, что амплитуда вынужденных колебаний достигает наибольшего значения при частоте вынуждающей силы, не совпадающей с частотой собственных незатухающих колебаний ω0:

ωр = ω02 − 2β2 .

(19)

Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении циклической частоты вынуждающей силы к значению ωр называется резонансом. Соответственно величина ωр называется резонансной циклической частотой, а кривые зависимости А(ω) – резонансными кривыми. Явление резонанса используется в акустике для анализа звуков, их усиления и т.д. Под действием периодически изменяющихся нагрузок в машинах и различных сооружениях могут возникать явления резонанса, которые иногда бывают опасны для эксплуатации машин.

Можно показать, что резонансная частота для амплитуды ускорения определяется соотношением

уск		ω02
ωр	=			.	(20)
		ω2
			− 2β2
		0

Так как ускорение определяет силы, действующие на систему, приближение системы к этой частоте колебаний может привести к разрушению системы.

Резонансная частота для амплитуды скорости равна собственной частоте ω0 колебаний механической системы.

Сложение колебаний

Как и любой вид движения, колебательное движение может быть результатом нескольких колебательных движений, в которых участвует одновременно система. В этом случае, для определения характеристик результирующего колебательного движения в соответствии с принципом суперпозиции в механике осуществляют сложение колебаний.

Сложение колебаний может осуществляться аналитически путем совместного решения уравнений колебаний, в которых участвует система или графическим методом. Последний в ряде случаев может оказаться более продуктивным.

При графическом методе каждое колебание представляется радиусвектором (рис. 3.4), модуль которого равен амплитуде колебаний. Радиусвектор вращается в системе (х, y) координат с циклической частотой колебаний. Вращение начинается из положения, определяемого начальной фазой.

77

YПри этом отклонение системы от равновесия в заданный момент времени определяется проек-

				цией радиус-вектора на ось системы координат,
		ϕ0		относительно которой отсчитывается начальная
			Х	фаза (ось х на рис. 3.4). Одновременное сложе-
				ние двух колебаний можно осуществлять, если
				колебания происходят в одной плоскости. Если
				колебания осуществляются в разных плоско-
				стях, то сложение производится попарно после-
Рис. 3.4				довательно с учетом изменения положения ко-
				ординатной плоскости (х, у).

При сложении колебаний одинакового направления и одинаковой частоты x1 = A1 cos(ωt + ϕ1 ) и x2 = A2 cos(ωt + ϕ2 ) удобно воспользоваться методом векторных диаграмм (рис. 3.5). В этом случае говорят о когерентных колебаниях, т.е. колебаниях одинаковой частоты, разность фаз между которыми постоянна во времени. Результирующая амплитуда при сложении двух колебаний равна

A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) .

Начальная фаза результирующего колебания определяется соотношением:

tgϕ =	A1 sin ϕ1		+ A2 sin ϕ2			.
	A cos ϕ	1	+ A	cos ϕ	2
	1		2

ϕ1 ϕ2 ϕ	X
Рис. 3.5		Рис. 3.6

Гармонические колебания, частоты которых различны, некогерентные, так как разность фаз непрерывно изменяется с течением времени. Негармонические колебания, получающиеся при сложении двух одинаково направленныхгармонических колебаний x1 = Acos(ω1t) и x2 = Acos(ω2t) сблизкими частотами, называют биениями (рис. 3.6). Уравнение биений имеет вид

78

	ω	2	− ω			ω	2	+ ω
x = 2 A cos			1 t cos					1 t .
			2					2

Период биений и частота биений равны:

T =

2π

=

2π

,

ν

б

=

ν

2

−ν

.

∆ω

ω2 −ω1

1

При сложении двух перпендикулярных колебаний точка одновременно колеблется вдоль осей координат ОХ и ОY по законам

x = Acos(ωt) и y = Bcos(ωt + ϕ) .

Уравнение траектории результирующего движения точки в плоскости XOY можно найти, исключив из выражений для x и у параметр t. После преобразований получаем уравнение траектории

x2 + y2 + 2xy cosϕ = sin2 ϕ,

A2 B2 AB

представляющее собой общее уравнение эллипса. Поэтому результирующее движение точки называют эллиптически поляризованными колебаниями. Ориентация осей эллипса, его размеры зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз:

1. Если ϕ = (2m + 1)π/2, где m – целое число, то оси эллипса совпадают с осями ОХ и ОY, а размеры полуосей равны А и В:

x2 + y2 =1. A2 B2

Кроме того, если А = В, то траектория точки – окружность. Такое результирующее движение точки называют циркулярно-поляризованными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

2. В тех случаях, когда ϕ = mπ, где m – целое число, эллипс вырождается в отрезок прямой

у = ±(ВА)х.

Знак «плюс» соответствует четным значениям m, т.е. сложению синфазных колебаний, знак «минус» – нечетным m, т.е. сложению колебаний, происходящих в противофазе. В этих случаях точка совершает линейно поляризованные колебания.

79

80

3.2. Методические указания к лекционным занятиям

Вопросы лекции	Форма	Литература		Вопросы для самоконтроля студентов
	изучения
1. Колебательное движение материальной			1.	Каков основной признак колебательного движения? Назовите условия воз-
точки			никновения колебаний.
Гармонические колебания (механические) и их	самост. +	[2, § 27.1]	2.	Запишите уравнение гармонических колебаний в всех возможных формах.
характеристики. Дифференциальное уравнение	лекция		3.	Как из этого уравнения найти скорость и ускорение колеблющейся точки
гармонических колебаний. Квазиупругая сила.			в произвольный момент времени?
Период колебаний пружинного, математического	лекция	[2, § 27.2]	4.	Как изменится период колебания математического маятника, если его точку
маятников.			подвеса двигать: а) вертикально вверх с ускорением а, б) вертикально вниз с уско-
Закон сохранения энергии для колебательной	лекция	[2, § 27.2]	рением а, в) горизонтально с ускорением а.
системы.			5.	Как с помощью математического маятника можно определить ускорение силы
Диаграммный способ представления колебаний	лекция		тяжести?
			6.	Что такое векторная диаграмма? Постройте векторную диаграмму колебаний:
			x1 =20cos(ωt +π 2) x2 = 20cos(ωt +2π 3) x3 =20cos(ωt −π 4) x4 =20cos(ωt −π 2)
			7.	Получите выражения для кинетической, потенциальной и полной энергий
			гармонического колебания. Изобразите графически их зависимости от времени
2. Виды колебаний. Сложение колебаний.			1.	Как влияет коэффициент затухания на условный период затухающих колеба-
Резонанс			ний системы?
Затухающие механические колебания.	лекция	[2, §28.1 –	2.	Каков физический смысл времени релаксации?
Время релаксации, добротность. Апериодиче-		28.3]	3.	Каков физический смысл добротности колебательной системы?
ский процесс.			4.Что такое механический резонанс? Какое значение резонанса в технике? Приведите
Вынужденные механические колебания. Ампли-	лекция		примеры.
туда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс.			5.	Запишите дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и поясните
Соотношение между фазами вынужденных коле-			величины, входящие в него.
банийсилыисмещения.			6.	Как по виду фигуры Лиссажу определить отношение частот складываемых
Параметрические колебания*.	лекция	[2, § 27.4]	колебаний?
Сложение гармонических колебаний одного на-	лекция		7.Чтотакоелинейно, эллиптическиполяризованные колебания? Какихполучить?
правления Биения. Период биений, время коге-
рентности*.	лекция
Сложение взаимно перпендикулярных колеба-
ний. Фигуры Лиссажу. Линейная и круговая
поляризация*

Примечание. * Материал изучается ознакомительно