Некоторые сведенья из теории вероятностей

Случайными называются такие события, о появлении которых не может быть сделано точного предсказания. Например, пусть монета подбрасывается N раз (N>>1). Выпадение “орла” или “решки” – случайные события. Если “орел” выпал в испытаний, то величина

называется вероятностью выпадения “орла”. В общем случае, если эксперимент проводиться N раз и раз появляется событие А, то вероятностью события А называют предел отношения :

Нетрудно видеть, что ; равенствоW_A=0 означает, что событие вообще не наступает, а W_A=1 отвечает событию, которое обязательно будет иметь место (такие события называются достоверными). Так, при бросании монеты вероятность того, что выпадет “орел”, либо “решка” равна единице, как вероятность достоверного события (если только не принимать во внимание, что монета может встать на ребро или затеряться).

В качестве второго примера рассмотрим стрельбу по квазиодномерной (полосатой) мишени. Если стреляет опытный стрелок и целится в центральную полосу, середине которой отвечает , то именно в эту полосу и будет наибольшее число попаданий (). Но в следствии случайного дрожания рук, непостоянства величины заряда и других случайных факторов какое-то число пуль (и) попадает в соседние полосы. И с гораздо меньшей вероятностью возможны попадания в полосы, отвечающие(на рис. 5). Результаты стрельбы можно наглядно представить с помощью гистограммы (рис. 6).

Вид гистограммы, а также вероятность

попадание в i-ю полосу зависит от ширины интервала ∆х, поэтому вместо вероятности целесообразно ввести плотность вероятности, или функцию распределения

Полностью вероятности P(x) является непрерывной функцией х и как применительно к стрельбе по мишени, так и в подавляющем большинстве других случаев имеет вид, представленный на рис. 7. Такое распределение, описываемое колоколообразной кривой, симметричной относительно оси ординат, называется нормальным распределением, или распределением Гаусса. Аналитически эта кривая описывается уравнением

(6)

где – основание натурального логарифма. Постоянная называется дисперсией распределения.

Задание. Какой зависимостью будет описываться нормальное распределение, изображенное на рис. 8?

Задание. На рис. 9 изображены распределения для σ=1,2,4. Какой кривой отвечает каждое из перечисленных значении σ?

Кроме распределения Гаусса, возможны и другие виды функции распределения. Например, если для компоненты скорости молекул идеального газа реализуется типично гауссовское распределение

для модуля v: .

Распределению отвечает несимметричная кривая, отличающаяся от представленных на рис. 8 и 9. Функциииназываются распределениями Максвелла.

3.5. Оценка случайной погрешности эксперимента.

Как уже отмечалось, случайные погрешности, вызываемые случайными причинами (движение воздуха в помещении, температурными градиентами, сотрясениями здания и т. п.) обычно описывается нормальным распределением (распределением Гаусса).

Исключить случайные погрешности невозможно, но математическая теория случайных явлений позволяет уменьшить влияние этих погрешностей на результат измерений. В общем и целом вывод этих теорий сводится к тому, что для уменьшения величины случайной ошибки необходимо проводить возможно большее число измерений.

В основе теории случайных ошибок лежат два постулата:

1. При большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто.

2. Большие по абсолютной величине погрешности встречаются реже, чем малые.

Нетрудно убедиться, что по существу эти утверждения постулируют гауссов (нормальный) вид функции распределения.

11