§4. Статистическое определение вероятности

В некоторых случаях классическое определение вероятности не может быть применимо, так как невозможно указать элементарные события. Обычно это происходит по причине того, что условие равновозможности не выполняется.

Примеры таких опытов: наблюдение за погодой; проверка ОТК изделий на годность; поступление в ВУЗ; оценка, полученная на экзамене и т.д. В таких случаях применяют статистическое определение вероятности.

Определение 1. Относительной частотой события А называют отношение числа m опытов, когда событие А появилось, к общему числу n всех опытов. За вероятность события А можно принимать относительную частоту

Р(А)=W(А)=m/n

Заметим, что 0≤W(А)≤1.

Далее, очевидно выполнение следующих свойств:

1. W(А)=0, если А- невозможное событие.

2. W(А)=1, если А- достоверное событие.

3. W(А)=1- W(Ā).

Пример. Станок-автомат выпускает детали. Из 100 деталей 10 деталей оказались бракованными. Найти вероятность того, что случайно выбранная выпущенная станком деталь является бракованной.

Решение. Используем статистическое определение вероятности:

P(A)  W(A) = = = 0,1 .

§ 5. Основные определения математической статистики

Определение 1. Генеральной совокупностью называется совокупность всех изучаемых объектов. Обычно генеральная совокупность – очень большое множество. Примеры генеральных совокупностей: жители России, студенты, школьники и дети пятилетнего возраста г. Твери и т.д. Для того чтобы изучить генеральную совокупность, отбирают некоторую ее часть, т.е. делают выборку.

Определение 2. Выборочной совокупностью (или выборкой) называется совокупность объектов, отобранных из генеральной совокупности.

Определение 3. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называется число объектов в ней.

Объем генеральной совокупности будем обозначать буквой N, выборки – n. Ясно, что всегда N много больше чем n :

N >> n.

Обычно N >> 1000, 10 ≤ n ≤ 1000.

§ 6. Типы выборок

Выборки делятся на повторные и бесповторные.

Определение 1. Выборка называется повторной, если отобранный объект перед отбором следующего возвращается в генеральную совокупность, и бесповторной – в противном случае.

Выборки также бывают механическими, серийными, типическими и комбинированными.

Определение 2. Выборка называется механической, если она получена с помощью следующего отбора: генеральную совокупность делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирается один объект.

Пример: 10% – отбирается каждый десятый объект;

5% – отбирается каждый двадцатый объект.

Определение 3. Выборка называется серийной, если объекты отбираются не по одному, а целыми сериями, которые подвергаются сплошному обследованию. Например, изучаются школьники школ города. Для этого выбираются случайно несколько школ и в них изучаются все дети.

Определение 4. Выборка называется типической, если отбор проводился из каждой типической части генеральной совокупности. Пример: школы можно разделить на начальные и средние; городские и сельские. Школьников можно разделить на классы; мальчиков и девочек и т.д.

Определение 5. Выборка называется комбинированной, если она получена с помощью некоторой комбинации типического, серийного и механического отборов. Для того чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно ее представляли. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной). Можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществлять случайно.