Тема 7. Ряды.

1. Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Исследуйте сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.

2. Докажите необходимый признак сходимости ряда. Докажите, что отбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости (расходимости). Покажите, что сумма ряда равна сумме первых его п членов, сложенной с суммой ряда, полученного из данного отбрасыванием этих п членов.

3. Докажите теорему о сравнении рядов с положительными членами. Приведите пример на применение этого признака.

4. Докажите признак Даламбера сходимости знакопостоянных рядов. Приведите пример на применение этого признака.

5. Докажите признак Коши сходимости рядов с положитель­ными членами. Приведите пример на применение этого признака.

6. Докажите интегральный признак сходимости ряда Коши. При­ведите примеры на применение этого признака.

7. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Докажите, что из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. Сфор­мулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов. Приведите при­меры абсолютно и условно сходящихся рядов.

8. Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Приведите пример на применение этого признака. Покажите, что при замене суммы ряда типа Лейбница суммой первых его п членов допускаемая абсолютная погрешность не превосходит моду­ля первого отброшенного члена.

9. Дайте определение области сходимости функционального ряда. Приведите примеры рядов с различными областями сходимости.

10. Докажите теорему Абеля о сходимости степенных рядов.

11. Выведите формулу для вычисления радиуса круга сходимо­сти степенного ряда.

12. Выведите условия разложимости функции в ряд Тейлора.

13. Разложите функции в степенной ряд.