Zadanie_1

Задача 8. Задана расширенная матрица В системы линейных уравнений.

Найти решение системы по формулам Крамера.

								a11		a12		a13 b1
						B
								a21		a22 a23 b2
										a32
								a31				a33 b3
	Вар.				В		Вар.					В			Вар.			В
	1		3 5 3			8		11		3 -3 0 -21					21		-2 5 0 -11
			2 -4 -4 4							-4 2 0 18							-3 2	-4 -4
			3 4 4			6				-1 1 -4 -9							-1 -4 -3 11
	2		1 1 -2			-4		12		-4 -1 2 -28					22		4 -4	-2 -26
			-1 3 4			10				1 3 -4 32							1 5 4		31
			5 1 -4			-2				5 2 0			28				0 1 4		16
	3		-2 2 3 9					13		0 1 -3 -10					23		-1 -3 1		-1
			-1 -1 1 -4							-1 -2 -4 -17							-3 2 2 -22
			0 -1 -4 7							1 1 -1 -5							3 1 3		1
	4		5 0 -4 -15					14		1 0 -3 -6					24		-1 2 2 15
			-1 0 0 -1							1 0 3			6				0 -4 0 -8
			2 1 3			18				1 -1 -3 -5							-3 3 3 27
	5		3 -4 5			22		15		2 3 4			-17	25			2 5 -2 -23
			2 1 4			21				3 0 2			-4				3 -2 1		-2
			3 -1 0 5							1 4 -1 -10							-2 1 5		8
	6		-4 -1 0 -6					16		-1 -2 4 9					26		0 -4 0		8
			4 -2 1			15				3 -4 5 -9							-3 5 1 -19
			0 -3 5			21				-2 2 1 20							3 2 2		5
	7		5 4 2			18		17		-2 5 -1 18					27		3 0 3		18
			5 0 -1			21				5 1 1			-6				-3 4 -1 -32
			-3 5 4 -16							-4 -3 -1 -2							3 -4 -3 28
	8		1 2 4 6					18		-2 3 2			6		28		-3 -2 2		8
			-4 0 5 23							-4 4 -1 3							-3 5 -4 22
			1 1 1 -1							4 4 5			17				0 -2 5		-4
	9		2	5	0	23		19		-4	0	1	12	29
			-4 5 1 -2							3 2 2			-14
			-3 -2 3 -21							0 4 0			12
	10		3	5	5	16		20		0 -4 -1 6				30
			-2 3 3			2				-1 5 -2 -15
			3	2	5	13				1	4	3	-1

Задача 9.

Задана расширенная матрица В совместность системы (по теореме

методом Гаусса.

	a11	a12	a13
B		a22	a23
	a21
		a32	a33
	a31

системы линейных уравнений. Доказать Кронекера – Капелли) и найти решение

b1 b2

b3

Решить систему уравнений методом Гаусса

	Вар.				В			Вар.				В			Вар.		В
	1		-2 2 3			9		11		0 1 -3 -10					21		-1 -3 1 -1
			-1 -1 1 -4							-1 -2 -4 -17							-3 2 2	-22
			0 -1 -4 7							1 1 -1 -5							3 1 3	1
	2		5 0 -4 -15					12		1 0 -3 -6					22		-1 2 2 15
			-1 0 0 -1							1 0 3			6				0 -4 0 -8
			2 1 3			18				1 -1 -3 -5							-3 3 3 27
	3		3 -4 5			22		13		2 3 4			-17		23		2 5 -2	-23
			2 1 4			21				3 0 2			-4				3 -2 1	-2
			3 -1 0			5				1 4 -1 -10							-2 1 5	8
	4		-4 -1 0 -6					14		-1 -2 4 9					24		0 -4 0	8
			4 -2 1			15				3 -4 5 -9							-3 5 1	-19
			0 -3 5			21				-2 2 1 20							3 2 2	5
	5		5 4 2			18		15		-2 5 -1 18				25			-3 -2 2 8
			5 0 -1			21				5 1 1			-6				-3 5 -4 22
			-3 5 4 -16							-4 -3 -1 -2							0 -2 5	-4
	6		1 2 4 6					16		-2 3 2			6		26		1 3 -1 -13
			-4 0 5 23							-4 4 -1 3							3 3 -3 -21
			1 1 1 -1							4 4 5			17				0 -4 -4 0
	7		2 5 0			23		17		-4 0 1 12					27		-1 -4 3 -26
			-4 5 1 -2							3 2 2			-14				4 -4 -1 -18
			-3 -2 3 -21							0 4 0			12				0 4 4 12
	8		3 5 5			16		18		0 -4 -1 6					28		3 5 3	8
			-2 3 3			2				-1 5 -2 -15							2 -4 -4 4
			3 2 5			13				1 4 3			-1				3 4 4	6
	9		3 -3 0			-21		19		-2 5 0 -11				29			1 1 -2	-4
			-4 2 0			18				-3 2 -4 -4							-1 3 4	10
			-1 1 -4 -9							-1 -4 -3 11							5 1 -4	-2
	10		-4 -1 2 -28					20		4 -4 -2 -26				30
			1	3 -4		32				1	5	4	31
			5	2	0	28				0	1	4	16

Задача 10.

Задана основная матрица А системы однородных линейных уравнений. Найти все решения системы.

										a11		a12	a13
							A					a22
										a21			a23
												a32
										a31			a33
	Вар.			А			Вар.				А			Вар.			А
	1		-4 16 -7				11			0 -3 12				21		2	4	-1
			-8 -8 6							1 -1 5						4	2	1
			-12 -8 7							-2 -1 2						2	-6 4
2			3	6 -5			12			-3 -6 5				22		1	0	1
			9	3 -5						9	-9 3					4	-1 1
			-3 0 1							6	-6 2					2	4	14
3			-3 0 -2				13			-2 2 0				23		1	1	-6
			12	9 11						1	-2 -1					-1 3 -10
			3	6 4						1	4 5					-3 4 -10
4			-8 -12 1				14			4	-3 -7			24		-1 -2 -6
			0	16 4						-1 -3 13						3 1 8
			4	-12	-5					-3 -2 18						-2 1 -2
	5		-2 0		6		15			4	3 13		25			-3 3 -5
			0	-1	2					0	3 9					3	-6 8
			2	1 -8						1	4 13					-3 -9 7
	6		6	-4	-3		16			2	-2 14			26		8	-2 -1
			-2 2		2					-2 3 -18						0 8		4
			-2 0		-1					4	3 0					4	-6 -3
7			0	2 -1			17			-1 1 -6				27		2	8	-5
			6	0 0						-1 0 -3						0	8	-4
			-2 -6 3							0	-1 3					8	6	-7
8			3	0 0			18			6	-9 1			28		-3 0 12
			-9 -3 1							0	3 1					-1 2 0
			6	-3	1					9	12 10					-1 1 2
	9		-8 -4 4				19			-6 -9 16			29			6	-6 -9
			-4 8		-3					-3 -6 10						2 0		-3
			4	-12 5						-6 3 0						-2 8 3
	10		-1 2 2				20			0	9 -3		30			-4 6 10
			3	4 -16						3	-12	1				-6 4 5
			-3 0		12					9	-12 -5					-6 6 9

Задача 11.

a.Даны координаты точек А, В, С (данные в таблице 1).

Найти координаты векторов AB , BC , AC . Координаты вектора

2AB 2BC 3AC (линейной комбинации векторов AB , BC , AC ).

б. Точки А, В и С – являются координатами вершин параллелограмма АВСD. Найти координату точки D, длину вектора ВD

в. Даны координаты точек М1, М2 (таблица 2) и отношение L, в котором точка М делит отрезок М1М2. Определить координаты точки М, координаты точки С –

середины отрезка М1М2.

Таблица 1.

Вариант		A			B			C			D
	x1	y1	z1	x2	y2	z2	x3	y3	z3	x4	y4	z4
1	-4	-1	-2	3	-5	8	-6	-4	8	-1	3	5
2	-7	-6	2	-7	7	-9	-1	-5	8	6	-3	2
3	0	3	-3	4	3	-6	-2	-9	-8	-2	4	3
4	-4	-9	4	7	-9	-4	-2	7	7	-3	-2	6
5	3	8	3	3	-9	-9	3	6	6	1	7	-3
6	1	1	-4	-3	5	5	7	0	-8	1	0	-4
7	-6	2	3	-3	-3	1	-2	-4	8	5	-7	7
8	8	-1	-8	-4	-1	-1	2	1	4	1	-6	3
9	4	-9	7	2	0	6	4	-3	-1	4	-4	7
10	-8	-3	-1	7	-6	0	-2	-6	8	7	1	3
11	7	7	3	8	-1	-3	-6	7	5	1	-2	5
12	0	2	6	-8	-1	7	1	2	3	1	6	-6
13	3	7	-2	-8	7	1	-7	-5	4	4	3	-1
14	4	7	8	-6	3	4	4	2	8	6	-9	0
15	5	-7	-2	-8	3	-1	-3	1	-9	-4	1	3
16	-8	-3	2	0	5	-9	8	2	-1	-3	5	5
17	-1	1	-7	-4	-4	-9	0	1	-4	2	3	-4
18	1	-1	-6	1	-1	4	0	-4	-7	4	0	-8
19	3	3	6	4	-2	2	0	5	-4	-8	-4	6
20	3	-6	6	5	-9	7	-6	2	0	6	-9	5
21	6	5	8	-1	-2	5	-5	-5	1	4	-5	7
22	-5	7	-3	8	1	1	-9	-6	-4	2	-6	1
23	-5	4	2	-9	6	-3	7	5	7	4	6	-5
24	-9	1	0	5	2	1	-1	6	-1	5	-5	4
25	-2	-8	-3	-4	7	-5	0	6	4	2	-2	10
26	-6	8	-1	-6	3	-9	-4	-8	-7	1	0	-8
27	6	-9	-6	1	8	5	-1	1	7	3	-8	2
28	-3	-7	0	-8	2	3	5	0	4	3	-7	8
29	-2	2	1	-2	-8	-1	-7	-4	4	9	8	-7
30	2	8	-5	3	-4	1	-5	1	7	-7	-1	0

Таблица 2.

	Вариант			М1			М2			L
				x1	y1		x2	y2
1			-5		-5	1		1	2
2			10		-2	-2		-2	2
3			8		-15	-2		0	4
4			-3		6	-3		0	2
5			-5		8	-1		0	3
6			-9		-9	1		1	4
7			0		3	-3		-3	2
8			-14		-11	1		-1	4
9			-23		-6	2		-1	4
10			6		-18	1		2	4
11			12		17	-3		-3	4
12			-2		11	2		-1	3
	13		-3		-5	1		-1	3
14			-3		-5	2		0	4
15			3		-8	0		1	2
16			-3		-7	0		2	2
17			1		-18	-3		2	3
18			-6		3	-2		-1	3
19			0		-3	0		1	3
20			-3		-15	2		0	4
21			0		5	0		1	3
22			5		11	-3		-1	3
23			6		8	-2		0	3
24			-7		-8	2		1	2
25			2		-3	2		2	4
26			2		-10	-2		2	3
27			-10		-8	0		2	4
28			-13		1	2		-2	2
29			-3		-3	1		1	3
30			7		-3	-3		2	4

Задача 12.

Даны координаты 2-х вершин параллелограмма M1 и М2, а также координаты

точки пересечения их диагоналей М3.(Таблица 3) Найти координаты 2-х остальных вершин параллелограмма.

Таблица 3.

	Вариант			М1				М2			М3
				x1	y1		x2		y2		x3	y3
1			-3		-1	-2			2	2		-4
2			6		-4	-5			-3	6		1
3			-6		-5	1			-7	-6		6
4			-7		1	-1			-4	6		-2
5			0		2	-2			-3	3		3
6			-5		-5	-2			-7	-6		3
7			-3		-7	3			-1	5		-7
8			-3		-6	-2			5	5		-5
9			3		6	2			1	2		-7
10			-7		1	3			4	4		-3
11			1		1	-3			2	-2		4
12			4		-2	5			0	-6		3
	13		-4		1	2			-6	-2		-2
14			1		5	-1			-3	-6		-5
15			6		-1	6			0	-3		-1
16			-1		0	2			1	3		6
17			3		-7	6			1	1		0
18			4		0	3			-2	-1		4
19			-7		-3	-1			1	5		-4
	20		0		-4	-2			-5	6		4
21			5		5	2			5	6		-1
22			-3		-1	-5			5	4		-3
23			0		2	4			-3	-7		-1
24			5		-4	1			0	0		4
25			2		5	-2			4	-6		5
26			0		3	-6			-4	3		-3
27			3		5	6			2	-5		2
28			3		0	3			2	6		0
29			4		-6	-2			-4	-6		2
30			-1		5	-2			1	-7		5
31			2		5	-3			1	0		4

Задача 13.

По координатам точек А, В и С (таблица 1 ) найти

а. координаты векторов a 4AB BC и b 5CA 2CB, б. модуль вектора a ,

в. скалярное произведение a и b .

Задача 14.

а) Заданы координаты векторов a x1; y1; z1 и

b x2; y2; z2 .

Определить:

- скалярное произведение векторов ab ;

cos a b ;

- косинус угла между векторами a и b ,

Вар.

a,

b

Вар.

a,

b

Вар.

a,

b

1

a 3;

4; 7

10

a 9; 9; 7

19

a 2; 7;

6

6; 4

5; 8;

6

4; 7; 2

b 6;

b

b

2

a 4;

4; 4

11

a 5; 0;

2

20

a 0;

3; 3

4

8;

2; 5

8; 5;

7

b 8; 9;

b

b

3

a 4;

4; 7

12

a 5; 9; 6

21

a 1;

3; 8

6; 5

4; 4;

7

8; 0;

3

b 0;

b

b

4

a 3;

3; 6

13

a 1; 7;

0

22

a 2; 5;

5

8

3; 4; 9

3;

0; 9

b 0; 8;

b

b

5

a 1; 5;

5

14

a 0;

0; 9

23

a 2;

3; 1

7; 3

5;

3; 8

7;

0; 2

b 3;

b

b

6

a 8;

0; 9

15

a 7;

0; 9

24

a 8; 8; 7

5

3

2; 7;

2

b 5; 4;

b 9; 7;

b

7

a 2;

4; 5

16

a 5; 3;

8

25

a 6; 4;

6

5

8; 0;

0

3; 2;

2

b 4; 2;

b

b

8

a 7; 3; 6

17

a 9; 2;

8

26

a 1;

2; 9

5;

2; 2

2; 9;

3

b 8; 1; 3

b

b

9

a 1; 3; 3

18

a 1; 9;

2

27

a 0; 2;

3

6; 5; 4

7; 6;

0

b 4; 8; 5

b

b

б) Точки А, В и С (Таблица 1)– вершины треугольника АВС. Найти скалярное произведение векторов AB и AC ; внутренний угол при вершине А, внешний угол при вершине С.

Задача 15.

Даны точки А, В, С и D (таблица 1).

Определить угол между векторами c AC 4BD и d 2AD 5BC .

Задача 16.
а) Заданы координаты векторов a x1; y1; z1 и	b x2; y2; z2 .
Определить:

- координаты векторного произведения векторов a b ;

- площадь треугольника, образованного векторами a и b .

Вар.

a,

b

Вар.

a,

b

Вар.

a,

b

1

a 3; 6;

6

10

a 2; 2;

1

19

a 1;

1; 2

7

5; 9

b 5; 9;

b 2; 8; 1

b 1;

2

a 6;

5; 8

11

a 2;

8; 5

20

a 9;

4; 5

5

1

2; 4

b 1; 2;

b 3; 4;

b 8;

3

a 5;

7; 3

12

a 2; 4;

3

21

a 3;

3; 6

1; 1

1; 7

b 8;

b 6; 2; 9

b 2;

4

a 5;

4; 2

13

a 2; 8; 2

22

a 3; 1;

4

6; 3

1

0; 8

b 9;

b 7; 7;

b 5;

5

a 9; 1;

0

14

a 4; 2;

5

23

a 8;

3; 9

2; 1

6; 3

4

b 5;

b 8;

b 2; 2;

6

a 2; 8; 3

15

a 0; 5; 7

24

a 1;

7; 0

7; 5

1

1; 9

b 4;

b 5; 3;

b 0;

7

a 6;

8; 1

16

a 1;

5; 9

25

a 5;

3; 8

3; 9

3

b 6;

b 8; 1;

b 1; 1; 2

8

a 6; 9; 6

17

a 8; 6;

2

26

a 2; 1; 2

8; 5

b 1;

b 9; 7; 2

b 8; 5; 2

9

a 3; 7;

0

18

a 6; 6;

3

27

a 5; 9;

2

2; 3

8; 6

b 8;

b 1; 6; 2

b 6;

б) Заданы координаты векторов a x1; y1; z1 , b x2; y2; z2 и c x3 ; y3; z3 . Определить:

-смешанное произведение векторов abc ;

-смешанное произведение векторов cba;

-объем пирамиды, образованной векторами a, b и c .

Вар.

a,

b,

c

Вар.

a,

b,

c

Вар.

a,

b,

c

a 6; 3; 3

a 5; 6;

3

a 2; 6;

3

1

8; 1

10

6; 8;

3

19

8; 7;

2

b 2;

b

b

c 2; 0;

3

c 9; 5;

1

c 1; 9;

0

a 8; 3; 3

a 3; 9; 2

a 3;

7; 7

2

3

11

20

b 8; 4;

b

6;

8;

8

b

7;

6;

5

c 3; 2;

3

c 4;

4; 8

c

8; 6;

4

a 4; 2; 4

a 5; 1;

4

a 8; 8; 9

3

12

1;

0; 3

21

5

b 2; 2; 9

b

b 1; 2;

c 4; 6; 5

c 7; 6;

7

c 6; 2; 2

a 3; 0;

0

a 1; 9;

4

a 7;

5; 3

4

5; 2

13

8; 0;

4

22

3; 7;

3

b 9;

b

b

c 7; 3; 5

c 7;

6; 9

c 1; 6; 6

a

1; 7;

0

a 6; 9;

4

a 2; 2; 3

5

6

14

3; 9;

1

23

7; 7;

7

b 7; 1;

b

b

c 3; 9; 2

c 7; 6;

4

c 3; 1;

1

a 1; 0;

7

a 2; 1; 8

a 7; 8;

4

6

4

15

9; 5;

1

24

6; 8;

6

b 1; 9;

b

b

2; 1

2; 0;

8

4; 7;

5

c 1;

c

c

a

4;

7; 3

a 2; 1;

2

a 1; 3; 2

7

1

16

5; 1;

6

25

8; 2;

2

b 1; 7;

b

b

c 2; 7;

7

c 4; 7; 6

c 8; 0;

1

a 6; 5;

4

a 4; 6; 7

a 4; 1;

8

8

17

4;

0; 8

26

0; 1;

2

b 8; 4; 7

b

b

c 6; 9; 1

c 1; 7; 2

c 5; 5;

5

a 3; 3;

3

a 6; 5; 8

a 1; 5;

6

9

5

18

27

6; 2; 5

b 1; 2;

b 5; 3; 8

b

c 6; 1; 2

c 5; 5;

0

c 7; 3; 1

Задача 17.

Даны координаты трех точек А, В, С (Таблица 4).

а) Доказать, что векторы AB , AC и BC компланарны.

б) Найти длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах AB и BC .

в) Найти угол между векторами AB и BC .

г) Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах AB и BC .

Таблица 4.

Вариант		A			B			C
	x1	y1	z1	x2	y2	z2	x3	y3	z3
1	-1	-2	4	-4	-2	0	3	-2	1
2	1	0	1	3	3	7	0	-7	8
3	1	0	2	8	-5	-6	7	0	-7
4	1	-6	-8	5	-3	9	2	1	8
5	5	6	-1	1	7	-7	5	6	-6
6	1	4	3	5	-8	6	1	2	4
7	1	-2	-2	0	4	-6	1	0	0
8	3	9	8	-1	4	9	5	-8	-6
9	6	2	2	2	-1	3	3	5	-3
10	2	0	5	0	7	3	3	1	-7
11	3	2	-1	5	-7	7	7	2	3
12	2	-3	1	3	1	-1	2	4	1
13	1	0	-6	-1	3	6	4	-3	1
14	4	3	6	-8	-5	2	4	-2	2
15	1	4	0	-3	1	7	3	6	5
16	1	0	5	7	1	2	2	1	-1
17	3	5	2	3	-1	-3	1	1	-7
18	3	3	-1	5	2	6	1	-3	3
19	2	6	1	1	-2	-1	4	-3	5
20	1	5	2	2	-2	-3	-2	3	7
21	1	3	-2	-4	-6	0	2	-3	4
22	-4	0	-7	2	4	5	7	9	1
23	1	-3	-2	7	9	1	4	1	6
24	-2	-3	4	5	-6	1	7	1	1
25	6	1	-1	1	-3	5	3	5	-9
26	1	5	3	7	8	-6	3	-1	6
27	1	8	6	5	-2	1	2	1	8
28	3	0	1	4	2	1	-6	-1	-2
29	1	7	3	3	-3	5	2	8	4
30	1	-3	4	2	4	6	-7	4	3

Задача 18.

Найти длину высоты треугольника АВD (таблица 1), проведенную из вершины D.

Задача 19.

Найти объем и длину высоты тетраэдра АВСD (таблица 1), проведенной к грани

АВС.