1. С вероятностью 0,997 возможные пределы доли нестандартной продукции.

2. С вероятностью 0,954 возможные пределы среднего процента влажности.

Сделайте выводы.

1. Определим средний процент влажности (для расчета построим таблицу)

Влажность % (x)	Число проб (f)		f	-	(-)	(-)f
6	5	5	30	-4,6	21,16	105,8
6-8	25	7	175	-2,6	6,76	169,0
8-10	32	9	288	-0,6	0,36	11,52
10-12	19	11	209	1,4	1,96	37,24
12-14	13	13	169	3,4	11,56	150,28
14 и более	6	14	84	4,4	19,36	116,16
Итого	100	-	955	-	-	590,0

= /N - средняя арифметическая,

например: = 6+8/2 = 7

= 8+10/2 = 9 и т.д.

2) средний процент влажности определим по формуле

= ?x*t/?f

= 955/100 = 9,6%

Определим дисперсию и среднее квадратическое отклонение по формулам:

среднее квадратическое отклонение

• - значения изучаемого признака (варианты);

• - объем статистической совокупности;

• - средняя арифметическая величина.

= 590,0/100 = 5,9% - дисперсия

= 2,43

3) V = /*100% - коэффициент вариации

V = 2,43/9,6 = 25,3%

Вывод: данная совокупность считается однородной, т. к. коэффициент вариации составляет 25,3%, что меньше 33%.

4. Определим с вероятностью 0,954 возможные пределы значения влажности продукции для всей партии товара.

Сначала определим численность генеральной совокупности:

По условию задачи выборочная совокупность () составляет 100 единиц проб, что составляет 5% генеральной совокупности (N), составим пропорцию:

100 ед. проб -5%

N - 100%

N = 100*100/5 = 2 000 ед. проб.

= 9,6% - средний% влажности в выборочной совокупности

= 5,9%

t = 2 - коэффициент доверия, соответствует 0,954

- коэффициент доверия;

- дисперсия количественно варьирующего признака выборочной совокупности;

- численность выборки;

- численность единиц генеральной совокупности.

^ = 2*v5,9/100*(1-100/2000) = 2v0,059*(1-0,05) = 2v0,0056= 2*(-+0,24) =-+ 0,48%

Полученные значения и ^X подставим в формулу предельного выбора для количественных признаков:

= +^X

= 9,6% -+0,48

Вывод: с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний% влажности в генеральной совокупности (во всей партии) будет заключаться в пределах от 9,12 до 10,08

4) С вероятностью 0,997 которой соответствует коэффициент доверия 3, необходимо определить возможный% нестандартной продукции во всей партии, если известно, что из 100 проб, попавших в выборку 25 ед. отнесены к некачественной продукции.

Итак, запишем, что дано:

m = 25 ед. - отнесены к нестандартной продукции;

n = 100 ед. - численность выборочной совокупност;

N = 2000 ед. численность генеральной совокупности;

t = 3 - коэффициент доверия

Определим ^w

Так как необходимо определить пределы доли качественного признака используем формулу: Р = w -+^w

Генеральная доля равна выборочной доли -+ предельная ошибка выборки

w = m /n - выборочная доля

w = 25/100 = 0,25

Если коэффициент умножить на 100%, то получим 25%, т.е. в выборочной совокупности количество проб соответствующее нестандартной продукции составляет 25%.

По формуле предельной ошибки определим её значение:

^w =t *v w (1_w)/n * (1_n/N)

^w = 3* v0,25*(1-0,25)/100 *(1-100/2000) = 3*v0,00188*0,95 = 3*v0,00178 = 3*0,042 =-+ 0,13

Полученные значения w^w подставим в формулу Р = w -+^w

Р = 0,25 -+ 0,013 или результат выразим в%: 25 -+1,3

Следовательно с вероятностью 0,997 возможный процент нестандартной продукции во всей партии будет составлять от 23,7% до 26,3%

Задача №4

Имеются следующие данные о товарообороте торговой фирмы и среднем изменении цен:

Месяцы	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май
Товарооборот в фактических ценах (тыс. руб.)	1920	1980	2215	2318	2620
Индекс цен (в процентах к предыдущему месяцу)	100,0	104,2	105,3	110,2	116,1

1. Для анализа динамики физического объема товарооборота пересчитайте товарооборот за соответствующие месяцы из фактических цен в сопоставимые.

2. Определите: абсолютные, относительные и средние показатели динамики физического объема товарооборота (интенсивность динамики изобразите графически).

3. Произведите анализ общей тенденции физического объема товарооборота методом аналитического выравнивания (фактические и теоретические уровни изобразите на графике).

Полученные результаты оформите в виде статистической таблицы. Сделайте выводы.

Решение:

1. Определим изменение товарооборота в сопоставимых ценах, данные сведем в таблицу:

Месяцы	Январь	Февраль	Март	Апрель	Май
Товарооборот в фактических ценах (тыс. руб.)	1920	1980	2215	2318	2620
Индекс цен (в процентах к предыдущему месяцу)	100,0	104,2	105,3	110,2	116,1
Товарооборот в сопоставимых ценах (тыс. руб.)	1920	2000,6	2084,9	2440,9	2691,2

1) При вычислении общего индекса цен по формуле средней гармонической (1) важно правильно определить индивидуальные индексы .

, следовательно

Товарооборот в сопоставимых ценах будет равен:

январь - 1920 *4,2% = 2000,6 тыс. руб.

февраль - 1980*5,3% = 2084,9 тыс. руб. и т.д.

2) Определим абсолютные, относительные и средние показатели динамики физического объема товарооборота относительные и средние показатели динамики физического объема товарооборота

месяцы	Т/о тыс. руб.	Абсолютный прирост, тыс. руб.	Коэффициент роста, %	Темпы роста, %	Темп прироста	Абсол. значение 1% прироста
		цеп.	баз.	цеп.	баз.	цеп.	баз.	цеп.	баз.	цеп.	баз.
январь	1920	-	-	-	1	-	100	-	-	-	19,2
февраль	1980	60	60	1,03	1,03	103	103	3	3	19,8	19,2
март	2215	235	295	1,12	1,15	112	115	12	15	22.2	19,2
апрель	2318	103	398	1,05	1,21	105	121	5	21	23,2	19,2
май	2620	302	700	1,13	1,36	113	136	13	36	26,2	19,2

1. Абсолютный прирост на базисной основе рассчитывается по формуле:

, где

- абсолютный прирост;

- текущий уровень ряда динамики;

- базисный уровень ряда динамики.

а) На основании вышеуказанной формулы рассчитаем абсолютный прирост на цепной и базисной основе, взяв за базисный уровень январь (01 месяц):

^уц01 = 1980-1920 = 60 тыс. руб.

^уц 02 = 2215-1980= 235 тыс. руб. и. т. д.

Базисный прирост

^уб01 = 1980-1920 = 60 тыс. руб.

^уб02 = 2215-1920= 295 тыс. руб. и т.д.

б) Коэффициент роста (Кр)

цепной: Кр = уi /уi_1

Кр = 1980/1920 = 1,03

Кр = 2215/1980 = 1,12 и т.д.

базисный: Кр = уi /у0

Кр = 1980/1920 = 1,03

Кр = 2215/ 1920= 1,15 и т.д.

в) Темпы роста (Тр):

цепной: Тр цеп = Кр цепн *100%

Тр цеп = 1,03 *100% = 103%

Тр цеп = 1,12 *100% = 112% и т.д.

Тр баз = Кр баз *100%

Тр баз = 1,03 *100% = 103%

Тр баз = 1,15 *100% = 115%

г) Темпы прироста (Тпр)

Тпр цеп = Тцеп - 100

Тпр цеп = 103 - 100 = 3

Т пр баз = Т баз - 100

Т пр баз = 112 - 100 = 12

Т пр баз = 115 - 100 = 15 и т.д.

д) Абсолютное значение 1% прироста

цепной: Ац = уi_1 /100

Ац = 1920/100 = 19,2

Аб = у0 /100 = 1920/100 = 19,2

Определим средний уровень ряда динамики по формуле:

? = ?у /n

Так как данный ряд является интервальным, то

? = (1920+1980+2215+ 2318 +2620) /5 = 11053/5 = 2210,6 тыс. руб.

Вывод: средний показатель товарооборота торгового предприятия за 5 месяцев составил 2210,6 тыс. руб.

Среднегодовые темпы роста определим по формуле (.)

- средний темп роста.

=(5v2620/1920)*100%

= 5v1,365 *100% = 1,009 *100% = 109%

Вывод: среднегодовые темпы роста товарооборота с января по май месяц составили 109%

Средний темп прироста получим. вычтя из среднего темпа роста 100%:

- средний темп прироста.,

= 109,0 - 100 = 9%

Среднегодовой абсолютный прирост ()

- средний абсолютный прирост;

- конечный уровень ряда динамики;

- число периодов.

= 2620-1920 / 5 = 140,0 тыс. руб.

Построим график динамики товарооборота торгового предприятия на рис 1.

Рис. 1 - товарооборот торгового предприятия за 5 месяцев

Задача №5

Имеются следующие данные о продаже продукта «М» на рынке города за два периода:

Продавцы	Количество (т)	Цена (руб.)
	декабрь, g0	март, g1	декабрь, p0	март, p1
1	2	3	4	5
1	10,5	12,0	38,5	33,3
2	36,6	10,6	30,4	39,2
3	18,6	18,4	32,2	38,0
4	24,0	20,2	30,9	36,7
Итого	89,7	61,2	132	147,2

Для анализа динамики средней цены реализации продукта «М» определите:

1. Индексы цен: переменного и постоянного состава.

2. Индекс структурных сдвигов.

3. Изменение средней цены (в абсолютных величинах) в марте по сравнению с декабрем: общее и за счет действия отдельных факторов.

4. Покажите взаимосвязь исчисленных общих индексов.

Сделайте выводы по полученным результатам.

Решение:

1) Определим индекс цен переменного состава:

Jп.с/ Р1/Р0 = (?p1g1/?g1)/ (?p0g0/? p0)

Jп.с.= ?(147,2*61,2/61,2)/(132*89,7/132) = (10661,04/61,6)/(11840,4/132) = 147,2/89,7 = 1,25 (т.е. увеличился на 25%)

Вывод: в среднем цены на продукцию увеличились на 25%, в результате изменения товарного потока.

2) Индекс цен постоянного состава:

Jф.с. Р1/Р0 = (?p1g1/?g1)/ (?p0g0/? p1)

Jф.с. = 147,2/132,0 = 1,12% (т.е. увеличился на 12%)

Вывод: средняя цена увеличилась на 12% за счет изменения индивидуальных цен каждого продавца.

3) Индекс структурных сдвигов:

Jстр. = (?p0g1/?g1)/ (?p0g0/? p0)

Jстр. = 132/132 = 1 (т.е. остался без изменений).

Вывод: в среднем цены не изменились, т.е. влияние структурных сдвигов в реализованной продукции несущественно.

4) Рассчитаем среднее изменение цены в марте по сравнению с декабрем, в общем:

Продавцы	Цена (руб.)	Цена (руб.)	Отклонение (+-)
1	декабрь, p0	март, p1
1	38,5	33,3	-5,2
2	30,4	39,2	+7,8
3	32,2	38,0	+5,8
4	30,9	36,7	+5,8
Итого	132	147,2	+15,2

, где

- абсолютный прирост;

- текущий уровень ряда динамики;

- базисный уровень ряда динамики.

=38,5-33,3 = -5,2 тыс. руб.

5) за счет действия отдельных факторов:

Взаимосвязь индексов выражается формулой:

Jстр. = Jп. с. Jф. с. 125,4/112 = 1,12, что соответствует вышеизложенным расчетам.

Задача №6

Имеются данные о товарообороте в сопоставимых ценах и изменении цен на товары по торговому предприятию за два периода:

Товарные группы	Товарооборот в сопоставимых ценах (млн. руб.)	Среднее изменение цен (%)
	1_й период	2_й период
1	2	3	4
А	46,8	48,4	+10
Б	85,4	100,8	-16
В	74,2	70,0	без изменения
Г	56,6	54,1	+20

Определите:

1. Индивидуальные и общие индексы: цен, товарооборота в фактических ценах и физического объема товарооборота; покажите их взаимосвязь.

2. Изменение покупательной способности рубля во 2_м периоде по сравнению с 1_м периодом.

3. Прирост товарооборота в фактических ценах во 2_м периоде по сравнению с 1_м периодом в целом и в том числе за счет влияния отдельных факторов.

Сделайте выводы по полученным результатам.

Решение:

Для удобства решения данной задачи построим вспомогательную таблицу (табл. 6), которую будем заполнять в ходе решения:

Таблица 6. Вспомогательная таблица

Товарные группы	Товарооборот в сопоставимых ценах (млн. руб.)	Среднее изменение цен (%)	ip	p1g1/ ip
	1_й период	2_й период
А	46,8	48,4	+10	1,1	53,24
Б	85,4	100,8	-16	0,84	84,67
В	74,2	70,0	без изменения	1,00	70,0
Г	56,6	54,1	+20	1,2	64,92
Итого	263,0	273,3	+14	1,14	311,56

Теперь рассчитаем индивидуальные индексы для каждой товарной группы и сделаем выводы на основании полученных данных:

1. Индивидуальный индекс физического объёма рассчитаем по формуле:

- индивидуальный индекс физического объёма;

- физический объём в отчётном периоде;

- физический объём в базисном периоде.

Индивидуальный индекс физического объема товарооборота:

iga = 48,4/46,8 = 1,03

Индивидуальный индекс физического объема товара А во втором периоде по сравнению с первым составил%. За изучаемый период цена на данный вид товара уменьшилась на 3%.

igб = 100,8/85,4 = 1,18

Индивидуальный индекс физического объема товара Б во втором периоде по сравнению с первым составил 1,18. За изучаемый период цена на данный вид товара увеличилась на 18%.

Igв = 70,0/74,2 = 0,94

Индивидуальный индекс физического объема товара В во втором периоде по сравнению с первым составил 94%. За изучаемый период цена на данный вид товара уменьшилась на 6%.

Igг = 54,1/56,6 = 0,96

Индивидуальный индекс физического объема товара Г во втором периоде по сравнению с первым составил 96%. За изучаемый период цена на данный вид товара уменьшилась на 4%. Индивидуальный индекс товарооборота в фактических ценах:

- индивидуальный индекс товарооборота;

- товарооборот в отчётном периоде;

- товарооборот в базисном периоде.

Рассчитаем индивидуальные индексы товарооборота в фактических ценах в разрезе каждого из товаров:

А = 53,24/51,48 = 1,03

Б = 84,67/ 71,74 = 1,18

В = 70/ 74,2 = 0,94

Г = 64,92/67,92 = 0.96

2. Общий индекс цен рассчитывается по формуле:

- общий индекс цен.

В нашем случае общий индекс цен на товары составит:

I p = 273,3/311,56 = 0,88

Общий индекс цены составил 0,88%. Цены на всю группу товаров в отчётном периоде по сравнению с базисным снизились на 12%.

3. Общий индекс физического объёма найдём по формуле:

- общий индекс физического объёма.

Товарные группы	Товарооборот в сопоставимых ценах (млн. руб.)	Среднее изменение цен (%)	ip	p1g1/ ip
	1_й период	2_й период
А	46,8	48,4	+10	1,1	53,24
Б	85,4	100,8	-16	0,84	84,67
В	74,2	70,0	без изменения	1,00	70,0
Г	56,6	54,1	+20	1,2	64,92
Итого	263,0	273,3	+14	1,14	311,56

Общий индекс физического объёма составит:

51,48/46,8 = 1,1

Общий индекс физического объёма реализации товаров за изучаемый период вырос в 1,1 раза, и составил 110%. В январе по сравнению с сентябрем было реализовано товаров больше на 10%.

4. Общий индекс товарооборота в фактических ценах:

- общий индекс товарооборота в фактических ценах.

Рассчитаем общий индекс товарооборота в фактических ценах:

= 53,24/46,8= 1,14

Общий индекс товарооборота в фактических ценах составил 14%. За изучаемый период индекс товарооборота в связи со значительным увеличением цен (12%) увеличился на 14%.

5. Между рассчитанными индексами существует следующая взаимосвязь:

Используя взаимосвязь индексов, проверим правильность вычислений:

121,1 = 14,0

6. Изменение покупательной способности рубля во 2_м периоде по сравнению с 1_м периодом.

7. Прирост товарооборота в фактических ценах во 2_м периоде по сравнению с 1_м периодом в целом и в том числе за счет влияния отдельных факторов.

Товарные группы	Товарооборот в сопоставимых ценах (млн. руб.)	Отклонения,+-	Прирост товарооборота, %
	1_й период	2_й период
А	46,8	48,4	+1,6	+3,4
Б	85,4	100,8	+15,4	+18,0
В	74,2	70,0	-4,2	-5,7
Г	56,6	54,1	-2,5	-4.4
Итого	263,0	273,3	+10,3	+3,9

Выводы: за счет изменения покупательской способности денег товарооборот товарных групп В и Г сократился, соответственно на 5,7% и 4,4%, а товары группы А и Б увеличились за счет максимального увеличения товарооборота 3,4% и 18% соответственно.

Задача №7

Имеется следующая информация о производстве товара «А» предприятием за 2001-2005 гг.:

Годы	2001	2002	2003	2004	2005
Объём выпуска, (тыс. шт.)	132	140	150	156	164

1. Для анализа погодовой динамики производства товара «А» определите следующие показатели динамики:

1.1. абсолютные приросты (цепные и базисные);

1.2. темпы роста и прироста (цепные и базисные);

1.3. средний абсолютный прирост и средний темп прироста.

Постройте график, характеризующий интенсивность динамики и сделайте выводы.

Решение:

2. Абсолютный прирост на базисной основе рассчитывается по формуле:

, где

- абсолютный прирост;

- текущий уровень ряда динамики;

- базисный уровень ряда динамики.

На основании вышеуказанной формулы рассчитаем абсолютный прирост на базисной основе, взяв за базисный уровень 2001 год:

= 140 - 132 = 8 тыс. шт.

= 150 - 132 = 18 тыс. шт.

= 156 - 132 = 24 тыс. шт.

= 164 - 132 = 32 тыс. шт.

3. Абсолютный прирост на цепной основе рассчитывается по формуле:

, где

- абсолютный прирост на цепной основе;

- уровень ряда динамики, предшествующий изучаемому периоду.

Таким образом, показатели абсолютного прироста на цепной основе будут следующими:

= 140 - 132 = 8 тыс. шт.

= 150 - 140 = 10 тыс. шт.

= 156 - 150 = 6 тыс. шт.

= 164 - 156 = 8 тыс. шт.

4. Темп роста на базисной основе рассчитывается следующим образом:

- темп роста на базисной основе.

За базисный возьмём 2001 год:

5. Темп роста на цепной основе рассчитывается следующим образом:

- темп роста на цепной основе.

6. Темп прироста на базисной основе находится по формуле:

- темп прироста на базисной основе.

Рассчитаем темп прироста, взяв за базисный период - 2001 год:

= 106,06% - 100%= 6,06%

= 113,64% - 100%= 13,64%

= 118,18% - 100%= 18,18%

= 124,24% - 100%= 24,24%

7. Темп прироста на цепной основе:

- темп прироста на цепной основе.

= 106,06 - 100% = 6,06%

= 107,14% - 100% = 7,14%

= 104% - 100% = 4%

= 105,13% - 100% = 5,13%.

8. Средний абсолютный прирост мы можем найти по следующей формуле:

- средний абсолютный прирост;

- конечный уровень ряда динамики;

- число периодов.

Таким образом, в нашей задаче средний абсолютный прирост составит:

9. Средний темп роста рассчитаем по формуле:

- средний темп роста.

Средний темп прироста получим. вычтя из среднего темпа роста 100%:

- средний темп прироста.

Таким образом средний темп прироста составит:

На основании полученных данных, построим график (рис. 1), характеризующий интенсивность динамики.

Рис. 1. Интенсивность динамики

Из данного графика видно, что наибольший абсолютный прирост производства товара «А» приходится на 2005 год.

Список используемой литературы

1. Башина О.Э., Спирина А.А. Общая теория статистики. - М.: Финансы и статистика, 2005.

2. Шмойлова Р.А., Минашкин В.Г., Садовникова Н.А. Практикум по теории статистики. - М.: Финансы и статистика, 2005.

3. Статистика. Под ред. В.М. Симчеры. - М.: Финансы и статистика, 2006.

4. Методические указания и задания для выполнения контрольных работ по дисциплине «Статистика» - М., 2007