- •Небесная механика
- •Постановка задачи
- •Уравнения движения
- •Интеграл Якоби
- •Поверхности Хилла (поверхности нулевой скорости)
- •Особые точки поверхностей нулевой скорости
- •Коллинеарные точки Лагранжа
- •Компланарные (тригональные) точки Лагранжа
- •Дополнительное рассмотрение: линии Хилла в плоскости орбиты
- •Дайте понятие биполярных координат.
- •Критерий Тиссерана
Одесский Национальный Университет им. И.И.Мечникова
Небесная механика
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 3-х ТЕЛ
Кафедра астрономии
Базей Александр Анатольевич
Одесса 2001
ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА 3-х ТЕЛ.
Точное аналитическое решение задачи 3-х тел не существует. Однако значительные успехи достигнуты при решении некоторых частных случаев задачи 3-х тел.
Из частных случаев, имеющих непосредственные астрономические приложения, наиболее важен тот, когда одна из масс настолько мала, что не производит заметного влияния на движение двух других. Этот случай называется эллиптической ограниченной задачей 3-х тел или планетоидной задачей 3-х тел. Таким образом, в планетоидной задаче рассматривается движение тела, имеющего «бесконечно малую» массу, в поле тяготения 2-х тел с конечными массами, совершающих относительное движение по кеплеровым орбитам. Частный случай этой задачи, когда относительное движение происходит по круговым орбитам, называется ограниченной задачей 3-х тел.
Постановка задачи
Требуется найти движение тела P с бесконечно малой массой, притягиваемого двумя телами S и J, имеющими конечные массы и описывающими круговые орбиты вокруг общего центра инерции. {1}
С математической точки зрения, бесконечно малое тело – это такое тело, которое притягивается конечными массами, но само их не притягивает. {2} С физической точки зрения, это тело настолько малой массы, что вызванные им возмущения в движении конечных тел, остаются меньше любой сколь угодно малой величины в течение сколь угодно большого промежутка времени. {3}
Сила взаимного притяжения определяется из закона всемирного тяготения . В нашем рассмотрении одна из масс m 0. Поэтому ускорение тела бесконечно малой массы , ;
ускорение тела конечной массы , . {4}
Обозначим через m1 и m2 массы тел S и J. Не ограничивая общности, всегда можем считать, что .
Начнем рассмотрение в инерциальной системе координат. За начало координат примем общий центр масс О.
Расстояние между телами конечных масс обозначим r12.
Тела конечной массы S и J вращаются вокруг центра масс по окружностям с постоянной угловой скоростью . Из третьего закона Кеплера [36.1] (часть 2) , ,
[1]
Координаты в абсолютной инерциальной системе отсчета:
Здесь расстояние тел S и J от тела бесконечно малой массы Р,
расстояние тела Р от начала системы отсчета.
ВОПРОСЫ.
-
В чем заключается ограниченная задача 3-х тел?
-
Что называется бесконечно малым телом с математической точки зрения?
-
Что называется бесконечно малым телом с физической точки зрения?
-
Если масса одного из тел пренебрежимо мала, то сила притяжения его к другому телу из закона всемирного тяготения тоже пренебрежимо мала. Такое тело ни к чему не притягивается. В чем здесь ошибка?
Уравнения движения
Из системы уравнений [1] (часть 1)
следует
[2]
Система дифференциальных уравнений [2] определяет движение тела Р (бесконечно малой массы). Движения тел S и J заданы по окружностям вокруг центра масс.
Поскольку движения тел S и J описываются решением задачи 2-х тел, то они лежат в одной плоскости. Совместим их плоскость орбиты и плоскость О. Тогда в системе [2] 1 = 2 = 0:
[3]
Так как S и J движутся по окружностям, их движения равномерны, то можно перейти к вращающейся с угловой скоростью системе координат XOY.
[4]
Проведем преобразование системы [3] к вращающейся системе координат.
[5]
Подставляя [5] в [3]:
Умножим 1-е уравнение на , 2-е -на и сложим;
1-е уравнение на , 2-е -на и сложим:
[6]
В этой системе координат оси OX и OY вращаются с постоянной угловой скоростью прямой, соединяющей тела S и J. Совместим с этой прямой ось OX, тогда y1 = y2 = 0:
[7]
где
Это дифференциальные уравнения движения бесконечно малого тела Р, отнесенные к вращающимся осям так, что тела конечной массы всегда лежат на оси OX. Координаты тел S и J x1 и x2 явно от времени не зависят! {1}
Правые части уравнений [7] можно представить в виде частных производных от силовой функции U: {2}
[8]
тогда
[9]
Это уравнения движения тела Р бесконечно малой массы во вращающейся с постоянной скоростью системе координат. Общая задача определения движения тела Р – 6-го порядка, {3} то есть надо знать 6 интегралов движения в неинерциальной вращающейся системе координат.
ВОПРОСЫ.
-
Зависят ли во вращающейся системе отсчета координаты тел конечной массы от времени и почему?
-
Как определяется силовая функция в ограниченной задаче 3-х тел?
-
Сколько интегралов движения надо знать для определения движения тела бесконечно малой массы в ограниченной задаче 3-х тел?