Нов-ПМС-1

б) Гистограмма частот l=1;

Полуин				[14,5	[15,5;	[16,5	[17,5:	[18,5;
тервал				:15,5	16,5)	;17,5	18,5)	19,5)
				)		)
ni				1	4	5	4	2
hi		ni		1	4	5	4	2
		l

в) Полигон частот: (zi ; nli ) : (15,1); (16,4); (17;5); (18,4); (19.2)

31

										Задача 6
				zi			2	3	4		5		6		7		8
				ni			1	3	4		6		5		2		1
Решение: а) ЭФР											n=22
ni						1		3		4		6		5			2		1
	i					1		4		8		14		19			21		22
n j
	j 1
	1		i			0,045		0,2		0,36		0,64		0,86			0,95		1
			n j
	n
			j 1

32

б) Гистограмма частот:					l=1
Полуин	[1,5;	[2,5;		[3,5;		[4,5;	[5,5;	[6,5;	[7,5;
тервал.	2,5)	3,5)		4,5)		5,5)	6,5)	7,5)	8,5]
ni	1	3		4		6	5	2	1
hi ni / l	1	3		4		6	5	2	1

в) Полигон частот: (2.1); (3.3); (4.4); (5,6); (7,2); (8,1); (6,5)

33

Задача 7

					Границы					10		20			30		40		50	60		70
					интервала.					-		-			-		-		-	-		–
										.20		30			40		50		60	70		80
					Частоты					1		2			7		18		12	8		2
Решение:
	а) ЭФР					n=50
	Середина							15			25		35			45		55			65		75
	интер.					zi
	ni							1			2		7			18		12			8		2
		i						1			3		10			28		40			48		50
	n j
		j 1
		1			i			0.02			0.0		0.2			0,56		0.8			0.96		1
					n j						6
		n
					j 1

34

б) гистограмма частот: l=10

в) полигон частот

35

Задача 8

Для выборки:

11, 68, 45, 45, 54, 12, 18, 45, 12, 56, 23, 24, 36 ,15, 78, 53, 29, 45, 26, 35, 65, 14, 72, 42, 12, 26, 18, 14, 23, 17, 39, 40, 24, 29, 65, 15, 45, 41, 28, 64

построить таблицу частот группированной выборки, полигон, гистограмму частот и эмпирическую функцию распределения, выбрав длину интервала разбиения равной 10.

Решение:
A = 11,		B =	78
W = B – A = 67			- размах выборки
n = 40	– объем выборки
b = 10	- длина интервала группировки

36

	Грани	Середи	Часто	Накоп	Отно-	Относит
№	цы	на	та	ленная	ситель	ельная
	интер	интер		частота	ная	накоп-
	вала	вала			часто-	ленная
					та	частота
1	10-20	15	11	11	0,275	0,275
2	20-30	25	9	20	0,225	0,500
3	30-40	35	3	23	0,075	0,575
4	40-50	45	8	31	0,200	0775
5	50-60	55	3	34	0,075	0,850
6	60-70	65	4	38	0,100	0,950
7	70-80	75	2	40	0,050	1,000

а) Гистограмма частот

37

б) Полигон частот

в) График эмпирической функции распределения

Числовые характеристики выборочного распределения

Для каждой реализации измерений	x1 (ω),...,xn (ω)
эмпирическая функция распределения	F (x)	является
	n

функцией распределения некоторой дискретной случайной величины, принимающей n значений: x1 (ω),...,xn (ω) с вероятностями равными 1/n. При различных

соответствующие функции Fn (x) различны. При каждом можно ввести различные числовые характеристики соответствующего данному закона распределения,

38

определяемого Fn (x) . Эти характеристики носят название выборочных. Выборочные моменты (выборочное математическое ожидание и дисперсия) порядка вычисляются по формулам

		1	n			1	n
mν			x kν , Dν				(x k x)ν ,
		n k 1				n k 1		-
				1	n
где	x a1				x k
				n k 1
Выборочной модой				d X унимодального распределения

называется элемент выборки, встречающийся с наибольшей частотой.

Выборочной медианой называется число h X , которое

делит вариационный ряд на две части, содержащие равное число элементов.

Если объем выборки нечетное число (т.е. n=2*L+1), то

h	x(L 1) , то есть является элементом вариационного ряда
X
со средним номером.
	Если же n=2*L – объем выборки четное число, то
hX		1	(xL x( L 1) ) .
	2

Предположим, что в результате наблюдений случайной величины ξ присутствует одна и та же систематическая погрешность или. если результаты наблюдений подвергнуть преобразованию масштаба, т.е. увеличить или уменьшить одновременно в k раз. Как изменятся выборочное среднее, мода, медиана и дисперсия? Для ответа на этот вопрос группированную выборку преобразуют следующим образом:

	ui		1	(zi dX ),	i 1, 2, ... , k	(1.13)
			b

где d *x - выборочная мода,

39

zi -элемент группированной выборки,
b -длина интервала группировки.
	Соотношение					(1.13)		показывает,	что	в	выборку
z , z	2	,...,z		k	внесена систематическая ошибка d * , а результат
1										x
подвергнут					преобразованию			масштаба с коэффициентом
k 1			.	Полученный			в	результате	набор		чисел
	b
u1,u2,u3,...,uk						можно	рассматривать		как	выборку из

генеральной совокупности b1(x d*x ) .

Тогда выборочное среднее x и дисперсия исходных данных связаны со средним u и дисперсией Du* преобразованных

данных следующими соотношениями: x bu d*x , D*x b2Du* .

Задача 9

Определить среднее, моду и медиану для выборки 5, 6, 8,

2, 3, 1, 1, 4.

Решение:

Представим данные в виде вариационного ряда: 1, 1, 2, 3, 4 , 5, 6, 8. Выборочное среднее x =(1+1+2+3+4+5+6+8)/8=3,75.

Все элементы входят в выборку по одному разу, кроме 1,

~

следовательно, мода dX =1. Так как n=8, то медиану

определим так ~x 1 =3,5 h (3 4)

2

40