Lumf_p1&2(2010)

Теорема. Для того чтобы функция z = '(x; y) удовлетворяла уравнению (27), необходимо и достаточно, чтобы соотношение

'(x; y) = C

(28)

было общим интегралом уравнения

a11(dy)2 2a12dxdy + a22(dx)2 = 0

(29)

Докажем необходимость. Пусть функция z = '(x; y) удовлетворяет уравнению (27). Тогда из (27) получаем:

a11	'y		2	'y		+ a22 = 0	(30)
			2a12
		'x			'x

Из (28) находим:

dy	=	'x	(31)
dx		'y

11

и подставляем в уравнение (30):

a11	dx		2	2a12	dx		+ a22 = 0	(32)
		dy				dy

и отсюда получаем уравнение (29).

Докажем достаточность. Пусть '(x; y) = C общий интеграл уравнения (29), которое мы перепишем еще раз:

a11(dy)2 2a12dxdy + a22(dx)2 = 0

Отсюда получаем

dx

2a12

dx

a11

+ a22 = 0:

dy

2

dy

Подставляя сюда (31), находим

a11 'y

2

'y + a22 = 0

2a12

'x

'x

12

Отсюда,

a11'2x + 2a12'x'y + a22'2y = 0;

что и требовалось доказать.

Таким образом, если = '(x; y) и '(x; y) = const есть

общий интеграл уравнения
a11(dy)2 2a12dxdy + a22(dx)2 = 0	(33)

то коэффициент при u = 0.

Если = (x; y) и (x; y) = const есть другой независимый интеграл этого уравнения, то коэффициент при

u = 0.

Уравнение (33) называется характеристическим, а его интегралы – характеристиками.

13

Уравнение (33) распадается на два:

+ q

dy

=

a12

a122

a11a22

(34)

dx

a11

q

dy

=

a12

a122

a11a22

(35)

dx

a11

Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения

a11uxx + 2a12uxy + a22uyy + F = 0

(36)

pp Если a212 a11a22 > 0 , то уравнение (36) уравнение ги-

перболического типа.

В этом случае правые части (34) и (35) действительны и различны. Получаем соответствующие общие интегралы '(x; y) = C и

(x; y) = C. Далее выполняем замену переменных
= '(x; y);	= (x; y)	(37)

14

и разделив на коэффициент при u получаем уравнение вида

u = G(; ; u; u ; u )

(38)

Полученное уравнение – каноническая форма уравнений гиперболического типа.

Далее выполним замену

= +

=

или

= + 2

=

2

15

Т.е. u = u( ( ; ); ( ; )), вычисляем производные

u

= u + u =

u + u

2

u

= u

+ u =

u u

2

u = u + u + u +

u u

+ u

+ u

+ u

=

4

Подставляя в уравнение (38), получаем:

(39)

u u = G1

pp Если a212 a11a22 = 0 , то уравнение (36) уравнение па-

раболического типа.

В этом случае уравнения (34) и (35) совпадают:

dy = a12 dx a11

16

Соответственно, возникает только один общий интеграл

'(x; y) = const:

Выбираем переменные следующим образом:

= '(x; y) = (x; y)

(40)

где функция (x; y) – любая независимая от '. Рассмотрим коэффициент a~11. С учетом a12 = pa11pa22 находим

a~11 = a11 x2 + 2a12 x y + a22 y2 = (pa11 x + pa22 y)2 = 0: (41)

Тогда для a~12 имеем

a~12 = a11 x x + a12( x y + x y) + a22 y y =

= (pa11 x + pa22 y)(pa11 x + pa22 y) = 0 (42) Таким образом, мы доказали, что

a~11 = a~12 = 0:

17

В результате мы получаем каноническую форму уравнения параболического типа:

u =

pp Если a212 a11a22 < 0 , то уравнение (36) уравнение эллиптического типа.

В этом случае правые части уравнений (34) и (35) комплексны. Если

'(x; y) = C

– есть комплексный интеграл уравнения (34), то

' (x; y) = C

– есть комплексный интеграл уравнения (35). Если ввести новые переменные

= '(x; y) = ' (x; y)

то уравнение эллиптического типа приводится к формально тому же виду, что и гиперболическое, но с комплексными переменными.

18

Для того, чтобы перейти к действительным переменным, сделаем замену:

=	1		(' + ' )			=	1		(' ' )
		2						2i
или	1						1
									( )
=					( + )	=
				2				2i
Отсюда,						= i
	= + i

Упражнение. Показать, что при такой замене

a~11 = a~22; a~12 = 0:

В результате наше уравнение приводится к виду

u + u =

19

Если из коэффициентов при старших производных составить матрицу

	A =	a11	a12	(43)
		a12	a22
то знак детерминанта матрицы A будет определять тип уравне-
ния:	– эллиптический;
detA > 0
detA < 0	– гиперболический;

detA = 0 – параболический.

20