Lumf_p1&2(2010)

3 Уравнения гиперболического типа

3.1 Основные задачи

3.1.1 Поперечные колебания струны

Рассмотрим струну, колеблющуюся в одной плоскости. Для описания процесса колебаний вводится функция u(x; t) – вертикальное смещение струны, так что u = u(x; t) – уравнение струны в данный момент. В нашей модели струна – гибкая упругая нить, что озна-

чает, что напряжения в струне всегда направлены по касательной к струне. Мы будем рассматривать малые колебания струны. В этом приближении можно показать, что сила натяжения струны

21

не зависит от x и t, т.е.

T (x) = T0 = const

(44)

Для получения уравнения малых колебаний струны составим ее уравнение движения. Рассмотрим элемент струны от x до x+ x и запишем для него уравнение движения в проекциях на вертикальную ось:

T sin jx+x T sin jx + F (x; t) x = (x) xutt (45)

Так как мы рассматриваем малые колебания, то можно пренебрегать величинами высшего порядка малости по сравнению с

tg = ux

22

В этом приближении
				tg
		sin =			tg = ux
				1 + tg2
		движения может быть переписано в виде
В результате уравнение p
1				ux(x)) + F (x; t) = (x)utt		(46)
T		(ux(x + x)
	x
При x ! 0 получаем						(47)
		T uxx + F (x; t) = (x)utt

Полученное уравнение – уравнение малых поперечных колебаний струны. В случае однородной струны = const его можно переписать в виде

	a2uxx + f(x; t) = utt					(48)
где
	a = s		T	;

23

f(x; t) = F (x; t)

– плотность силы, отнесенная к единице массы. При отсутствии внешней силы получаем однородное уравнение

a2uxx utt = 0

(49)

3.1.2 Продольные колебания стержня

Уравнение продольных колебаний однородного стержня имеет вид:

a2uxx + f(x; t) = utt

(50)

где

s a = k;

24

k – модуль Юнга стержня,

f(x; t) = F (x; t):

Упражнение. Получить уравнение (50).

3.1.3 Поперечные колебания мембраны

Мембраной называется плоская пленка, не сопротивляющаяся изгибу и сдвигу. Мы будем рассматривать только поперечные колебания мембраны. Дифференциальное уравнение таких колебаний имеет вид

T0(uxx + uyy) + F (x; y; t) = (x; y)utt

(51)

25

Для однородной мембраны
	a2(uxx + uyy) + f(x; y; t) = utt							(52)
где
	a = s			T
				0
	f(x; y; t) =	F (x; y; t)

3.2 Граничные и начальные условия

Постановка реальной физической задачи должна быть такова, чтобы ее решение было однозначным. Дифференциальные уравнения с частными производными (и с обыкновенными тоже!) имеют бесчисленное множество решений. Поэтому если физическая задача сводится к решению уравнения с частными производными необходимо сформулировать некоторые дополнительные условия.

26

В случае простейшей задачи о поперечных колебаниях струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и краевые (граничные).

Начальные условия показывают в каком состоянии находилась струна в момент начала колебаний, например при t = 0. Начальное положение точек струны задается условием

ujt=0 = f(x)

(53)

начальная скорость

utjt=0 = F (x)

(54)

где f(x) и F (x) – заданные функции.

Краевые условия показывают, что происходит на концах струны во время колебаний. Если концы струны закреплены, то

ujx=0 = 0; ujx=l = 0

(55)

Из физических соображений очевидно, что задание начальных и граничных условий полностью определяет процесс и описывающее его единственное решение.

27

Если нас интересует явление в течение малого промежутка времени, когда влияние границ еще несущественно, то полную задачу можно заменить предельной задачей с начальными условиями для неограниченной области:

найти решение уравнения

utt = a2uxx + f(x; t); 1 < x < 1; t > 0

с начальными условиями

ujt=0 = f(x) utjt=0 = F (x)

Эта задача называется задачей Коши.

28

3.3 Метод распространяющихся волн

Рассмотрим задачу с начальными условиями для неограниченной струны:

utt a2uxx = 0;	(56)
u(x; 0) = '(x);	(57)
ut(x; 0) = (x):

Преобразуем наше уравнение к каноническому виду. Запишем характеристическое уравнение

dx2 a2dt2 = 0

Характеристическое уравнение распадается на два

dx adt = 0 dx + adt = 0

Интегралы

x at = C1 x + at = C2

29

Сделаем замену переменных по общим правилам

= x + at; = x at

ut( (x; t); (x; t)) = u t + u t = u a u a

utt = u a2 u a2 + u a2 u a2

ux = u + u

uxx = u + u + 2u

Подставляем

u a2 u a2 + u a2 u a2 a2u a2u 2a2u = 0

u = 0

Общее решение полученного уравнения мы уже находили (см.

(9),(13)):				(58)
		u( ; ) = f1( ) + f2( )
или				(59)
	u(x; t) = f1(x + at) + f2(x at)

30