Загребаев Методы обработки статистической информации в задачах контроля 2008

Строим таблицу, при этом m1 +... + ml = n ;

p1 +... + pl

=1 :

Интервалы

1

2

…

l

Эмпирическая

m1

m2

…

ml

частота

Теоретическая

n

p1

n p2

…

n pl

частота

выражение χ2

l

(m − np )2

Критерием является

= ∑

i

i

.

Из этого

np

i=1

i

выражения видно, что чем меньше отличие эмпирической и теоретической частоты, тем меньше значения критерия.

Можно доказать, что при n → ∞ этот критерий распределен по закону χ2 с числом степеней свободы k = l − s −1. Если предпола-

гаемое распределение нормальное, то оно полностью характеризуется двумя параметрами – математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, следовательно, s = 2 и число степеней свободы k = l −3 .

4. Зададимся уровнем значимости α.

По таблицам находим такие критические точки χ12кр и χ22кр , чтобы выполнялись соотношения:

P(χ2 > χ22кр) = α2 и P(χ2 > χ12кр) =1− α2 .

По экспериментальным данным и по теоретическим частотам

вычислим конкретное значение величины χнабл2	l	(m − np )2
	= ∑	i		i	.
			np
	i=1		i

Если полученное значение χнабл2 таково, что выполняется усло-

вие χ12кр < χнабл2 < χ22кр , то нет оснований для отвержения гипотезы H0 . В противном случае гипотеза отвергается. Интересно отметить

тот факт, что нулевая гипотеза отвергается как при слишком большом различии между экспериментальными и теоретическими частотами, так и при слишком малом отличии. Последнее обстоятель-

91

ство может возникнуть, если неудачно выбран закон распределения или нарушена корректность и объективность эксперимента.

1.4. Примеры законов распределения в физике ядерных реакторов

1.4.1. Закон радиоактивного распада

Закон радиоактивного распада является одним из основных законов ядерной физики [5, 6]. Суть его заключается в том, ядра могут самопроизвольно распадаться и при этом вероятность распада ядра в какой-то момент времени не зависит от того, сколько времени ядро существовало до этого момента. Математическая модель закона радиоактивного распада может быть получена следующим образом.

Пусть λ – вероятность того, что ядро распадется за единицу времени. Определим вероятность того, что ядро распадется в интервале времени от t до t + dt . Обозначим этот факт как событие C. Следуя алгебре событий, можем сказать, что событие C является произведением двух событий C = A B , где событие A заключается в том, что ядро не распалось до момента времени t, а событие B заключается в том, что ядро распалось за время dt после момента времени t. Таким образом, если P(t) есть вероятность ядру не рас-

пасться до момента времени t, то по теореме умножения вероятностей получим: вероятность того, что оно распадется в интервале от

t до t + dt есть P(t) λ dt . Понятно,			что вероятность ядру не рас-
пасться к моменту времени t + dt , т.е.			P(t + dt)	будет равна:
P(t + dt) = P(t) − P(t)λdt .				(1.4.1)
Из уравнения (1.4.1) получим:
	dP	= −P(t)λ; P(0) =1 .		(1.4.2)
	dt

Решение этого уравнения есть P(t) = exp(−λ t) .

Выражение (1.4.2), представленное в виде dP = −Pλ dt , показывает вероятность того, что случайная величина t лежит в интер-

92

вале от t до t + dt . Следовательно, P(t) есть функция распределения случайной величины t, т.е. P(t) = F (t) , а Pλ есть плотность распределения случайной величины t, т.е.

f (t) = P(t)λ = λ exp(−λ t) .

Математическое ожидание в соответствии с (1.1.16) есть:

	+∞	1	= T .	(1.4.3)
	mt = ∫ λ t exp(−λ t)dt =
		λ
	0

Физики называют T средним временем жизни ядра. Таким образом, закон радиоактивного распада характеризуется следующей плотностью распределения:

f (t) =	1	exp	−	t		, t ≥ 0 .
	T
				T

1.4.2. Вероятность взаимодействия. Макроскопические сечения взаимодействия

Используя рассуждения, аналогичные предыдущему, можно получить выражение для плотности вероятности взаимодействия нейтрона с веществом. Действительно, пусть Σ – вероятность нейтрону испытать взаимодействие с ядрами среды на единице длины пути. Тогда событие, заключающееся в том, что нейтрон испытает столкновение с ядром на отрезке пути от x до x + dx есть событие C = A B , где событие A заключается в том, что нейтрон не испытал взаимодействия, пройдя путь x, а событие B заключается в том, что нейтрон столкнулся с ядром на пути dx . Таким образом, если P(x) есть вероятность нейтрону не испытать взаимодействия,

пройдя путь x, то по теореме умножения вероятностей получим: вероятность того, что он испытает взаимодействие на пути от x до x + dx есть P(x) Σ dx . Изменение вероятности избежать взаимо-

действия есть

P(x + dx) − P(x) = −P(x)Σdx .

93

Таким образом, снова приходим к уравнению, аналогичному (1.4.2), решение которого есть P(x) = exp(−Σ x) , и плотность веро-

ятности взаимодействия на пути от x до x + dx есть
f (x) = Σexp(−Σ x) .	(1.4.4)

Понятно, что математическое ожидание пути (средний путь), который проходит нейтрон до взаимодействия, есть

	+∞	1	= l ,	(1.4.5)
	mx = ∫ Σ exp(−Σ x)dx =
		Σ
	0

l – средняя длина свободного пробега.

1.4.3. Закон Пуассона. Регистрация частиц

Закон Пуассона иногда называют законом редких явлений. Как было сказано выше, математически этот закон можно получить из

биномиального закона P (m) = Cm pnqm =		n!		pmqn−m , если
n	n	m!(n − m)!

предположить, что вероятность события p очень мала, а количество независимых опытов n очень велико. В этом случае вероятность того, что будет наблюдено m событий, есть

P(m) = am exp(−a) , m!

где a = pn , m = 0,1, ...

Из рис. 1.8 видно, что при увеличении параметра a распределение Пуассона становится внешне близким к нормальному распределению, хотя и не совсем нормальным, хотя бы потому, что аргумент меняется, начиная от 0, а не от −∞ . Пояснить этот факт можно следующим образом.

Представим себе, что на очень тонкую пластину с поверхностной плотностью ядер вещества N [1/ м2 ] перпендикулярно падает поток нейтронов (рис. 1.26).

94

Рис. 1.26. Иллюстрация к закону Пуассона

При плотности нейтронов в пучке n [1 / м3 ] и скорости нейтро-

нов υ [м/с], через 1 м2 пластины за 1 с должно пройти количество

нейтронов, равное n υ (эта величина называется плотностью потока нейтронов φ = n υ ). Если в результате этого произошло R реакций

данного типа, то понятно, что число реакций должно быть пропорционально произведению N ϕ. Коэффициент пропорциональности

σ в соотношении R = σ N ϕ имеет смысл микроскопического сече-

ния взаимодействия. Величина ∑ = σ N называется макроскопическим сечением взаимодействия и имеет смысл вероятности нейтрону испытать взаимодействие с ядром на единичной длине пути. Для реакций деления, радиационного захвата и рассеяния микроскопические сечения обозначаются, соответственно: σf , σc , σs , а макро-

скопические сечения, соответственно: Σf , Σc , Σs . Если концентра-

ция нейтронов равна n, и они движутся со скоростью υ , то суммарный путь, пройденный нейтронами за 1 с, будет равен n υ . Тогда

nvl = Σϕ – скорость реакций в единице объема.

Вероятность того, что нейтрон испытает взаимодействие с ядром, очень мала и эта вероятность не зависит от того, произошло ли взаимодействие другого нейтрона с другим ядром. При этом число нейтронов в пучке достаточно велико. Тогда эта ситуация фактически означает повторение опытов, в каждом из которых событие (взаимодействие) может произойти с некоторой малой вероятностью, но число опытов очень велико. Рассмотрим отрезок времени t , в течение которого происходит регистрация событий.

95

Обозначим математическое ожидание событий, регистрируемых в единицу времени через λ. Тогда математическое ожидание событий, регистрируемых за время t , есть λ t = a . Вероятность зарегистрировать за это время m событий подчиняется закону Пуассона. Физически понятно, что интервал времени измерения t целесообразно выбирать таким, чтобы в среднем произошла хотя бы

одна регистрация, т.е.		a ≥1 . На самом деле, конечно,		время изме-
рения	должно быть	существенно	больше. Пусть,	например,
T = k	t . Тогда, если в интервалах		ti зарегистрировано, соответ-

ственно, mi событий, то количество событий за время T будет

k

∑mi . В каждом интервале времени вероятность регистрации под-

i=1

чиняется закону Пуассона, но по предельной теореме закон распределения суммы уже будет приближаться к нормальному закону. Практически при a ≥10 можно считать закон распределения нормальным в том смысле, что вероятность попадания случайной ве-

личины в интервал (a − a, a + a ) такая же, как и при нормальном законе распределения.

1.4.4.Энергетические спектры нейтронов деления

изамедления

Спектр нейтронов деления

В физической литературе, в том числе по физике ядерных реакторов, широко используется понятие спектра. Например, если идет речь об энергетическом спектре, т.е. о распределении нейтронов по энергиям, то под спектром понимается доля нейтронов, приходящаяся на единичный интервал энергии около энергии E. С точки зрения теории вероятности это есть не что иное, как плотность распределения вероятности того, что энергия нейтрона имеет значение E. Например, в силу квантово-механических законов энергия нейтронов, вылетающих при делении ядра, является случайной величиной. Экспериментально установлено, что плотность распределения этой величины подчиняется соотношению:

96

f (E) =	a		E	(1.4.6)
	ν	E exp −	,
			T
где T – параметр распределения, выраженный, как и энергия ней-
тронов E; a – константа, нормирующая распределение на число
нейтронов деления ν . Параметры распределений определяются
экспериментально. Например, для 235 U параметры имеют сле-
дующие значения: a =1,872 МэВ−3/2 , T =1, 29 МэВ .
Это распределение вероятности носит название спектра Уатта –
спектра нейтронов деления (рис. 1.27).
f (E)
0, 2
0, 7				E, МэВ
Рис. 1.27. Спектр нейтронов деления

Используя выражение (1.4.6), легко получить математическое ожидание (среднее значение) энергии нейтрона, возникающего при делении ядра:

+∞	∞ a				E
mE = ∫				−
	E f (E)dE =∫	ν	E exp		dE = E . (1.4.7)
0	0				T

Это значение составляет величину порядка 2 МэВ. Вероятность того, что энергия нейтронов деления будет превы-

шать заданное пороговое значение Eп , можно определить из выражения

∞	a			E
η(Eп) = ∫		E exp	−		dE .	(1.4.8)
E	ν			T
П

97

Активация теплоносителя быстрыми нейтронами. Водный теплоноситель в активной зоне реактора активируется быстрыми

нейтронами. При этом протекают реакции 16 O(n, p)16 N7 , 17 O(n, p)17 N7 , первая из которых

16 O8 + 1n0 → 16 N7 + 1 p1

вносит наибольший вклад в наведенную активность. Эта реакция протекает на нейтронах с энергией более 9,638 МэВ с образованием радионуклида 16N (Т1/2 = 7,11 с). Сечение активации, усредненное по спектру деления, при этом есть

∞	a			E
σa = ∫		E exp	−		dE	(1.4.9)
E	ν			T
п

и составляет величину 0,019 10–31 м2. Радионуклид 16N испускает гамма-кванты с энергиями 6,13 – 7,11 и 2,75 МэВ:

16 N7 → 16 O8 +β + γ

Понятно, что наведенная активность зависит от величины плотности потока быстрых нейтронов, а следовательно, от мощности, а в точке измерения активности – от времени доставки, т.е. при известном расстоянии – от расхода теплоносителя. Таким образом, величина азотной активности теплоносителя несет в себе информацию и о мощности, и о расходе. Это обстоятельство может быть использовано как дополнительный информационный канал для определения расхода теплоносителя в реакторах типа РБМК.

Спектр нейтронов замедления. Средняя энергия, при которой появляются нейтроны в результате деления ядра, составляет величину ≈ 2 МэВ. Изменить свою энергию нейтрон может только в

результате реакции рассеяния. Поскольку реакция неупругого рассеяния имеет пороговый характер ( Eп ≈ 0,1 МэВ), то в пределах

широкой энергетической области, от Eп до тепловых энергий, за-

медление нейтронов происходит за счет реакции упругого рассея-

ния (рис. 1.28).

98

Рис. 1.28. Схема упругого рассеяния

При абсолютно упругом ударе выполняются законы сохранения:

импульса

1 υG0 =1 υG + A VG ;

энергии

1 υ02

= 1 υ2 +

A V 2

,

(1.4.10)

2

2

2

где υ0 =

υG0

, υ =

υG

– модуль скорости

нейтрона

до и после

столкновения, соответственно; V =

V

– модуль скорости ядра по-

сле столкновения; A – масса ядра (в атомных единицах массы); 1 – масса нейтрона.

Решая систему (1.4.10), нетрудно получить соотношение между скоростью нейтрона до и после соударения:

υ =υ0 AA +−11 .

Отношение кинетической энергии нейтрона после столкновения к энергии до столкновения есть:

	E		A −1		2
		=				= ε .
	E0		A +1

В результате акта взаимодействия нейтрон и ядро разлетаются под углом ψ (см. рис. 1.28), при этом потеря энергии зависит от угла рассеяния. Экспериментально и теоретически показано, что рассеяние сферически симметрично в системе центра инерции. При этом нейтрон после столкновения с равной вероятностью будет иметь энергию в интервале от E0 до ε E0 , т.е. энергия нейтрона

после рассеяния на ядре будет подчиняться закону равномерной плотности:

99

0,			E ≤ εE0 ;
		1
f (E) =				,	εE0	< E ≤ E0	;	(1.4.11)
	E	(1	− ε)
0
0,			E > E .
			0
Величина E0 (1− ε) называется ступенькой							замедления. При

этом средняя потеря энергии нейтрона есть

		E		1−ε
		= ∫0 (E0	− E) f (E)dE =		E0 ,
	E0 − E
				2
		εE0

т.е. нейтрон при столкновении в среднем теряет одну и ту же долю первоначальной энергии. Обычно рассматривают такую величину как среднюю потерю логарифма энергии:

ξ = ln E =1+ 1−ε ε ln ε .

Удобство введения этой величины обусловлено тем, что ξ зависит лишь от массового числа ядра. Используя величину ξ, можно легко рассчитать среднее число столкновений нейтрона с ядрами, которые приводят к замедлению от энергии E0 до энергии E. На-

пример, среднее число столкновений, необходимых нейтрону, чтобы замедлиться от энергии деления E0 = 2 МэВ до тепловой энер-

гии Eт = 0,025 эВ, есть

	ln		E0
N =			Eт	=		18,2	.
		ξ				ξ

Из табл. 1.3 видно, какое количество столкновений в среднем необходимо нейтрону, чтобы замедлиться из быстрой области энергий в тепловую.

Однако выбирать тип замедлителя, исходя только из величины ξ, было бы опрометчиво, важны еще вероятность рассеяния на данном веществе и величина его сечения поглощения. Вышеперечис-

ленные факторы учитывает комплекс K = ξ ∑S – коэффициент

∑a

100