Ктитров Расчет установившихся режимов и переходных процессов в нелинейных 2008

Вычислим математическое ожидание выходного процесса y(t).

Обозначим интеграл вероятности входного процесса x как

		1							x					t	2
(x)								exp						2			dt ,	а	его	производную	–
					2
	(1)	1											x	2
		(x)								exp							. Вычислим математическое ожидание вы-
						2							2

ходного процесса y , исходя из основного допущения метода статистической линеаризации, что его плотность распределения та же, что и у входного сигнала:

1

(1)

x m

f (x)

x

my

dx

x

x

1

b

b

x mx

(1)

x mx

(1)

= lim

a0

dx a1

dx

a

x

x

x

b

a

a

n

b

x m

bj | x xj |

(1)

x

dx

j 1

a

x

1

n

bj I3

lim

a

0I1 a1I2

.

(3.7)

a

x

j 1

b

Проводим замену переменных x mx ; x x mx , тогда

x

b m x

x

lim

I

1

lim

x

(1) ( ) d

x

;

a

a

b

a m x

b

x

b mx

x

lim I

2

lim

x

(m

x

x

) (1) ( )d m

x

x

;

a

a

b

a mx

b

x

111

b mx

x

lim I

3

lim

x

|m

x

x

x

j

| (1) ( )d

a

a

b

a mx

b

x

x m

x

m

x

(1)

x

x

(mx xj ) 1 2

2 x

.

(3.8)

x

x

Итак, в результате получим

n

x m

x m

(1)

x

x

my a0 a1mx

bj (mx

xj) 1 2

2 x

.

x

x

j 1

Вычислим среднеквадратическое значение выходного сигнала:

2

1

x m

2

x

2

2

(1)

y

f (x)

dx a0 2a0a1mx a1

mx

x

x

x

n

x m

xj mx

2a0 bj

x

(1)

(mx xj ) 1 2

2 x

x

x

j 1

n

xj

mx

2a1 bj mx (mx xj )

2

x 1 2

x

j 1

x m

x

xj mx

xj mx

i

2 x (mx xi)

(1)

1 2

x

x

x

x

m

n

(1)

x

2

2

2

i

(mx xi)

bk

x

(mx

xk )

.

(3.9)

x

k 1

Тогда

my

D

y

2 m2;k

,k

Dy

.

y

y

0

mx

1

Dx

Обобщим полученный результат на случай кусочно-линейных функций с конечным числом точек разрыва первого рода. Формула для вычисления математического ожидания выходного сигнала в

112

этом случае после выкладок, аналогичных предыдущим, иметь вид

n

xj

mx

my a0 a1mx bj (mx xj ) 1 2

x

j 1

x

m

x

m

(1)

j

j

x

x

2 x

cj 1 2

.

x

x

будет

(3.10)

Обобщенная формула среднего квадрата стационарного случайного процесса с учетом точек разрыва нелинейности имеет вид

2

n

y a0 2a0a1mx a12(mx2 2x ) 2a0 {[cj bj (mx xj )]

j 1

x

m

x

m

j

x

(1)

j

x

1 2

2 x

x

x

n

2

x

j

m

x

2a1 bj mx(mx xj ) x cjmx 1 2

x

j 1

x

m

x

m

j

x

j

x

2cj xmx

(1)

2bj xmx

(1)

x

x

n

n

2 bibj (mx xi )(mx xj ) 2x

i 1

j 1

x m

xj mx

cj bj (mx xi) ci 1 2

i

x

x

x

(1)

x

j

m

x

2bibj x (mx xi bicj )

x

x m

(1)

x

(mx xi bicj ))

i

x

n

xk )2 bkck (mk

xk ) ck

(3.11)

bk2 2x (mx

2 .

k 1

113

Полученный результат удобен тем, что все операции интегрирования, кроме вычисления интеграла вероятностей, проведены аналитически в общем виде, что повышает точность вычисления коэффициентов статистической линеаризации численными методами.

Пример 3.1. Пусть на нелинейный элемент типа «ограничение» f (x) 0.5 x 1 x 1 ,

где b1 0,5;

b2 0,5;

x1 1;

x2 1,

a0 a1 0, подается нор-

мальный случайный процесс x(t) с mx 1/2 и x 1. Используя выражения (1.15), (1.16), получим my 0,33, y2 0,57 . Учитывая,

что дисперсия Dy y2 m2y 0,47, для коэффициентов статистиче-

ской линеаризации получим k0 0,66; k1 0,69.

3.2. Статистические характеристики линейных динамических звеньев

Выведем формулы для спектральной плотности и дисперсии выходного сигнала линейной стационарной асимптотически устойчивой динамической системы, используя известную спектральную плотность входного сигнала. Эти формулы важны для анализа не только линейных, но, как будут показано в следующих разделах, и нелинейных систем. Напомним смысл понятия «спектральная плотность случайного процесса».

Пусть непрерывный по времени процесс x(t) – эргодический (в частности, стационарный), ограниченный, энергия которого на отрезке времени [0,T] равна

T
Q x2 (t)dt .	(3.12)
0

Тогда средняя мощность (при четном продолжении подынтегральной функции в область t 0)

	P lim	1	T	x2 (t)dt .	(3.13)
		2T
	T
			T

С другой стороны, корреляционная функция процесса x(t)

114

1

i

Rx( )

Sx( )e

d

2

lim

1

T [x(t) x][x(t ) x]dt ,

(3.14)

T T

0

где

S( ) R( )e i d –

(3.15)

некоторая регулярная функция.

Тогда при 0

ei

1;

z(t )

z(t);

0

T z2

0

T

R(0)

1

S( )d lim

1

(t)dt lim

1

z2

(t)dt .

(3.16)

2

T

T

T 2T

0

T

Из (3.16) с учетом (3.14) получим, что средняя мощность равна

1

P

Sx( )d .

(3.17)

2

Тогда Sx( ) – плотность средней мощности с точностью до ко-

эффициента 1 . Функция Sx ( ) показывает распределение сред-

2

ней мощности по частотам (или по спектру) и называется спектральной плотностью мощности процесса x(t) (слово «средней» перед словом «мощности» опускается для краткости). Еще короче, Sx ( ) называют спектральной плотностью.

Предполагается, что x(t) является непериодической и ограниченной функцией, причем такой, что интеграл (3.15) сходится хотя бы в смысле главного значения. Спектральная плотность периодической функции может быть получена на основе теории обобщенных функций [14].

115

Получим выражение для спектральной плотности выходного сигнала y(t) линейной стационарной асимптотически устойчивой

системы с передаточной функцией W(i ) при известной спек-

тральной плотности входного сигнала x(t) .

Учитывая, что t2 t1 , формулу (3.14) можно записать в виде

1

i t

i t

1

i t

Rx( )

e

2 Sx( )e

d =

e

Sx( )e

i t

1 d , (3.18)

1

2

2

2

где черта сверху означает комплексную сопряженность.

Формула (3.18) есть интегральное спектральное преобразование с ядром K(t, ) ei t , т.е. обратное преобразование Фурье [15]. В общем случае обратное интегральное спектральное преобразование от некоторой функции S( ) имеет вид

1
		K(t2, )S( )K(t1, )d .
R( )									(3.19)
	2
Рассмотрим входной сигнал x(t)							как обратное преобразование
Фурье его изображения X(i ):
		1					i t
	x(t)			X(i )e				d ,	(3.20)
			2

для которого и было получено выражение (3.14). Изображение выходного сигнала имеет вид

Y(i ) W(i )X(i ) .						(3.21)
Тогда оригинал есть обратное			преобразование Фурье			функции
Y(i ), которое с учетом (3.21) примет вид
1				i t
y(t)		X	(i )W(i )e		d .	(3.22)
	2

С другой стороны, выражение (3.22) является обратным спектральным преобразованием функции X(i ) с ядром

K(t, ) ei t W(i ).

(3.23)

Существование преобразования с таким ядром (т.е. сходимость несобственного интеграла) обеспечивается свойствами W(i ) как передаточной функции асимптотически устойчивой системы. Тогда

116

в соответствии с (3.20) корреляционной функции выходного сигнала y(t) получим

1

i t

i t

e

2 W(i )Sx ( )(e

1 W(i ))d =

2

Ry ( )

1

i t

i t

1

i

2

e 2W(i )Sx ( )e

1 W(i )d

=

e

W(i )

Sx( )d .

2

2

Сравнивая (3.24) c (3.14), получим

(3.24)

Sy ( )

W(i )

2 Sx ( ).

(3.25)

Тогда дисперсия выходного сигнала будет иметь вид

Dy

Ry (0)

1

W(i )

2Sx ( )d .

(3.26)

2

3.3.Расчет статистических характеристик процессов

взамкнутой нелинейной системе

Статистическая линеаризация применяется, так же как и гармоническая линеаризация, для расчета установившихся режимов в динамических нелинейных системах. Установившимся режимом в общем случае [16] называется процесс в динамической системе при t , обладающий некоторыми стационарными свойствами и областью притяжения в фазовом пространстве. Областью притяжения называется множество начальных условий, при которых процессы в системе асимптотически стремятся к данному процессу (пример – предельный цикл). Стационарными свойствами могут быть, например, постоянные амплитуда и частота нелинейных колебаний. Линейные колебания не могут быть установившимся режимом изза отсутствия области притяжения.

При случайных воздействиях некоторыми стационарными свойствами установившегося режима можно, в частности, считать достижение постоянных значений математического ожидания и среднеквадратического отклонения.

Рассмотрим нелинейную стационарную систему с выходом y(t)

и входом u(t) вида

117

u(t) f (t) n(t),	(3.27)
где f (t) – детерминированный полезный сигнал; n(t)	– стацио-

нарная случайная помеха с нулевым математическим ожиданием. Для определенности будем считать, что система имеет струк-

турную схему, изображенную на рис. 3.2., где W1 , W2 , W3 – ли-

нейные динамические звенья с передаточными функциями R1 ,

Q1

R2 , R3 соответственно, а F(x) – однозначная нечетная нелиней-

Q2 Q3

ность.

Будем считать, без ограничения общности, что задача решается при нулевых начальных условиях, тогда, заменив переменную Ла-

пласа s на оператор дифференцирования по времени p d , по- dt

сле статистической линеаризации нелинейности F(x) запишем в операторном виде уравнения линеаризованной системы, сначала приравнивая слагаемые левой и правой частей, содержащие математические ожидания

Q1(p)my R1(p)k0mx ;			(3.28)
Q2 (p)mx	R2 (p)( f my	);	(3.29)
	1
Q3 (p)my	R3 (p)my ,		(3.30)
1

а затем – слагаемые, содержащие центрированные случайные составляющие

Q (p)y0	R (p)k	1	x0	;	(3.31)
1	1

Рис.3.2. Структурная схема системы со случайным входом

118

Q	2	(p)x0	R			2	(p)y0	;	(3.32)
							1
Q	3	(p)y0	R	3	(p)y0 ,				(3.33)
		1

где k0 , k1 – нелинейные функции двух переменных mx , Dx .

Запишем выражения для my и mx данной системы [17]

		1
my				W0(yr)
r 1		r!
		1
mx			W0(xr)
r 1		r!

(0)f (r)(t) W0y (0)mn ;

(0)f (r)(t) W0x(0)mn ,

(3.34)

(3.35)

где

W0y	(s)			k0R1(s)R2 (s)Q3 (s)
						;	(3.36)
			Q1(s)Q2 (s)Q3 (s) k0R1(s)R2 (s)R3 (s)
W0x	(s)			k0Q1(s)Q3 (s)R2 (s)
					.		(3.37)
			Q1(s)Q2 (s)Q3 (s) k0R1(s)R2 (s)R3 (s)
Здесь W0y (s),	W0x(s)			– передаточные функции от входа			u(t) к
выходам y(t)	и x(t)			соответственно, полученные из (3.29) –

(3.31).

Для дисперсий сигналов x(t), y(t) справедливы следующие выражения

	Dx			W1x(i )				2 Sn( )d ;		(3.38)
									2
	Dy					W1y (i )
									Sn( )d ,	(3.39)
где W1x , W1y	– передаточные функции от входа u(t)									к выходам
y(t) и x(t)	соответственно, полученные из (3.31) – (3.33), выра-

жения для которых полностью совпадают с (3.36), (3.37) при замене k0 на k1 .

Решая систему уравнений (3.35), (3.38) относительно mx , Dx

при известных mn , Sn из (3.34), (3.38) найдем my , Dy . Разумеется,

решение нелинейных уравнений (3.35), (3.38) является отдельной

119

Рис. 3.3. Структурная схема системы, исследуемой с помощью МСЛ

сложной задачей, не имеющей решения в общем виде и требующей выбора численных методов в каждом конкретном случае.

Пример 3.2. Рассмотрим динамическую систему, изображенную на рис. 3.3 [18]. Второй случайный сигнал, входящий в систему показывает, как могут быть получены некоторые обобщения рассматриваемого в данном разделе класса задач. Дифференциальные уравнения этой системы имеют вид

(T1 p 1)py aF(x) n2 ; x k(Tp 1)( f n1 y),

где

f b0

bt ,

mn1 mn2 0 ;

Sn1 ( )

S1

;

(T 2

1)(T 2

1)

1

Sn

( )

S2

, S1 const, S2

const ,

F – нелинейность типа

2

T 2

1

«ограничение» с параметрами B и C .

Проведя статистическую линеаризацию нелинейности F , получим из (3.29) – (3.34) c учетом (3.37) – (3.40) для установившегося режима

	mx		b		;			(3.40)
			ak	0
	my	f				b	,	(3.41)
	где					akkc

B

m

C m

m

C m

x

x

x

x

k

1

1

0

m

x

C

D

C

D

x

x

120