Ктитров Расчет установившихся режимов и переходных процессов в нелинейных 2008

1

2

2

y

(yiT yi )

d t

,

(4.66)

где yiT – точное представление сигнала

yi

в установившемся ре-

жиме, имеющее вид

yiT (t) Aiy0

Aiky

sin(k

t iky ) ,

(4.67)

k 1

где

– точное значение

основной

частоты,

причем

yi yiT ,

ni равномерно.

Относительная погрешность в этом случае

записывается следующим образом:

1

2

2

yi

yi

.

(4.68)

/

yiT d t

Очевидно, что абсолютная погрешность yi

есть норма сигнала

yi (yiT yi ), удовлетворяющая неравенству треугольника:

~

~

yiT yi

ni

y

y

ni

~

Aik

sin(k t ik

) Aik

k 1

k 1

Aiky sin(k t iky ) .

~

k ni 1

~

sin(k t ik )

(4.69)

Потребуем, чтобы вместо неравенства (4.68) выполнялось более сильное неравенство

~

ni

yi k 1

Из (4.66) получим

Aiky sin(k t

Aiky

~

k ni 1

	~	~	~
y	ni			)
ik	) Aik		sin(k t ik
	k 1

sin(k t iky ) /yiT . (4.70)

2yi yiT2	(		t)d t yi2( t)d t 2 yiT (			t)yi ( t)d t . (4.71)

151

Поскольку отношение частот / есть некоторое веществен-

ное число 0 , то с учетом равенства Парсеваля для первого интеграла из выражения (4.71) запишем:

yiT2	(		t)d t yi2 (		t)d		t (Aiky )2 .	(4.72)
							k 0

Тогда для второго интеграла справедлива запись

~

ni

2	~2
yiT	( t)d t Aik .
	k 0

Для третьего интеграла запишем следующее соотношение:

yiT ( t)yi ( t)d t yiT ( t)yi ( t)d t i .

(4.73)

(4.74)

Здесь	в выражении для yi вместо			подставлена частота			,
а i	– разность двух интегралов с		и	Очевидно, что для		i
справедливо выражение
		0.		(4.75)
	~lim i
	ni

Из ортогональности системы тригонометрических функций и равенства Парсеваля следует соотношение

~

ni

y

~

(4.76)

yiT ( t)yi ( t)d t Aik

Aik .

k 0

Учитывая, что

, запишем

1

,

(4.77)

тогда выражение (4.68) преобразуется следующим образом

~

~

2

y

2

ni

~2

ni

y

~

2

y

yi

1

(Aik )

Aik 2 Aik

Aik 2 i

/ (Aik )

(4.78)

k 0

k 0

k 0

k 0

Откуда следует

~

2

2

ni

y

~

2

y

2

y

yi

(Aik

Aik )

(Aik )

/ (Aik )

i

k 0

k n 1

k 0

152

			2
	y
2 i	/ (Aik	)				0.	(4.79)
	k 0

Модуль второго слагаемого в выражении (4.79) является удвоенной относительной погрешностью вычисления интеграла (4.74), нормированной относительно знаменателя выражения (4.68), а модуль третьего слагаемого есть относительная погрешность вычисления частоты. В связи с этим должно выполняться следующее неравенство:

~

ni

~

y

)

2

y

)

2

(Aik

Aik

(Aik

k n 1

i

2 yi

k 0

i

2

2 . (4.80)

(Aiky )2

(Aiky )2

(Aiky )2

k 0

k 0

k 0

Если допустить, что все функции Fi в принятой модели не только непрерывны, но и абсолютно непрерывны, то все рассматриваемые ряды Фурье сходятся к своим суммам равномерно. Кроме того, выражение в середине неравенства (4.80) является точным

значением относительной ошибки при i 0, 0, максималь-

ным из всех возможных значений yi (это следует из правой части

соотношения (4.79) и неотрицательности выражения в фигурных скобках). Из выполнения неравенства

~

ni

~

(A

y

)

2

(Ay )2

A

ik

ik

ik

i

k 0

k ni 1

2

(4.81)

(Aiky )2

(Aiky )2

(Aiky )2

k 0

k 0

k 0

при i 0, 0 и из равномерной сходимости всех рассматриваемых рядов следует усиление неравенства (4.80), имеющее вид

~

~

ni

y

)

2

y

)

2

(Aik

Aik

(Aik

k n 1

2 yi

2

k 0

i

2 ,

(4.82)

y

)

2

y

)

2

(Aik

(Aik

k 0

k 0

153

причем сохранение правой части неравенства означает повышение

точности и, соответственно, увеличение ~ . ni

Учитывая, что среднее значение погрешности определения частичной суммы ряда (первое слагаемое в выражении (4.82)) не может превышать веса отброшенного остатка точного ряда (4.67) (второе слагаемое в (4.82)), и, проводя дальнейшее усиление нера-

венств (4.80), (4.82), запишем

(Aiky )2

	2yi	4	k ni 1			2 .	(4.83)

(Aiky )2 k 0

Отсюда следует, что для выполнения неравенства yi доста-

точно, чтобы выполнялось неравенство

(Aiky )2			2
k n 1				.	(4.84)
i
		4
(Aiky )2

k0

Всилу того, что все функции yi (t) непрерывны, а некоторые из

них возможно имеют конечное или бесконечное число производных в любой точке t, то можно сказать, что yi (t) относятся к клас-

су функций, имеющих m производных, где m 0,1, 2,... Тогда, согласно теореме о скорости сходимости рядов Фурье, существует

такое число Mi 0,	что амплитуды Aik подчиняются следующим
неравенствам			Mi
	y						~
Ai0 Mi ,	Aik			; k 1, 2,...;			i 1, 2,..., n .	(4.85)
			km 1
Тогда для любого k существует такое число 0 Mik Mi ,								что вы-
полняется равенство					Mik
			Ay			.		(4.86)
			ik		km 1

Подставляя (4.86) в (4.84), получим

154

		2
	Mik /km 1
4	k ni 1					2 .	(4.87)
			2
	Ai20 Mik /km 1
	k 1
Поскольку последовательность Mik2			ограничена,				а показатель

степени последовательности k2m 2 не менее двух для любого m, то ряды в числителе и знаменателе (4.87) сходятся и существуют

ˆ

~

, что можно записать

такие числа M

и M

2

1

Mik

Mˆ

;

2m 2

k

2m 2

~

1

k

~

k ni

k ni 1

M 2

~

1

ik

2m 2

M

1

k

2m 2 .

(4.88)

k 0 k

k 1

Очевидно, что если S1

– сумма первого ряда, S2 – сумма второ-

1

го ряда из выражений (4.88), а S3 ,

S4 – суммы рядов 1

k

2m 2

~

k ni 1

1

и 1

соответственно, тогда получим

k

2m 2

k 1

Mˆ

~

S

/S

;

S

/S

,

(4.89)

3

M

2

4

1

после чего вместо (4.87) можем записать

ˆ

k (2m 2)

~

2

M

k n 1

2

i

yi

4

~

.

(4.90)

M

1 k (2m 2)

k 1

Если

ˆ

~

ˆ

~

M

M , то полагая

M

M M ( M 0), получим

Mˆ

M

M

M

Mˆ

~

1

~

;

~

;

~

;

~

1

,

(4.91)

M

M

M

M

M

если

ˆ

~

~

ˆ

M

M , то полагая

M M M получим

155

Mˆ	1		1
~						.	(4.92)
M 1 M /Mˆ			1

Тогда с учетом (4.91) запишем вместо (4.92) усиленное неравенство

					k (2m 2)
					~
					k ni 1
yi	4(1 )							.			(4.93)
						(2m 2)
			1 k
					k 1

Преобразуем выражение в квадратных скобках в неравенстве

(4.93):

									~
									ni
	k (2m 2)			1 k (2m 2)				1 k (2m 2)
~					k 1				k 1
	k ni 1
1 k (2m 2)						1 k (2m 2)
	k 1	~					k 1
		ni
		1 k (2m 2)
	1	k 1			.						(4.94)
		1 k (2m 2)
Известно, что		k 1
		k (2m 2)				22m 1	/(22m 1 1).				(4.95)

k 1

Тогда с учетом (4.94), (4.95) вместо (4.93) запишем новое усиленное неравенство

					~
					ni
					1 k (2m 2)
	2 yi	4(1 ) 1			k 1		2 ,			(4.96)
					1 22m 1 /(22m 1 1)

откуда окончательно получим, что для обеспечения погрешности, меньшей , число учитываемых гармоник ni должно быть таким, чтобы удовлетворялось неравенство

156

		~
		ni						2
2	2m 1	(22m 1 1) k (2m 2)	/(2	2m 1 1)					. (4.97)
							2
		k 1			4(			1)

При симметричных колебаниях из числителя и знаменателя отношения в левой части (4.96) необходимо убрать единицы, являющиеся первыми слагаемыми.

Данная оценка точности является достаточно конструктивной,

так как проводя последовательное суммирование по для ~ =1,2...

k ni

и проверяя выполнение неравенства (4.97), получим искомое зна-

чение ~ . ni

Рассмотрим прохождение сигнала yi (t) через линейную часть

Wi . В общем случае, когда линейная часть нестационарна, следует,

приняв число гармоник ni в сигнале xin меньшим либо равным

~	~	~	~	найдено из (4.97), подставить оба сигнала xin ,	yi в
ni	(ni	,g1),	ni

уравнение гармонического баланса. Если среди коэффициентов дифференциального уравнения i-й линейной части есть такие, у которых число непрерывных производных меньше, чем у функции Fi (xi0 (t)) , то, применяя формулу (4.97) к левой и правой частям уравнения гармонического баланса как функциям времени, полу-

чим,	соответственно,			два числа	n1,	n2 .	Тогда,	выбирая
	~				i	i
		1	2
ni max(ni ,ni ,ni ) и решая уравнения баланса амплитуд и фаз, по-
лучим выражения для параметров колебаний							xin . В противном
случае	ni	~	(соответственно в		сигнале	yi	число	гармоник
		ni
уменьшается на			~	).
			ni ni

В случае стационарной линейной части Wi , амплитудная харак-

теристика которой мажорируется хотя бы амплитудной характеристикой апериодического звена, можно отменить условие непре-

рывности функций			F	и считать их кусочно-непрерывными, по-
			i		~
скольку даже для неубывающей последовательности Ai (соответ-
		~
ственно,		~			не только убы-
	A ) последовательность A будет
		i		ik
вающей,	но и имеющей мажоранту вида (4.85),				что гарантирует
					157

корректность оценки (4.97), примененной сразу к xin (t), даже при неравномерной сходимости ряда Фурье функции yi (t).

Сигналы xi0 , xin являются для большинства САУ линейными формами, поэтому для их относительных ошибок справедливы неравенства

xi0

/

xi0

;

xin0

/

xi0

.

(4.98)

Поэтому, если решение уравнений гармонического баланса с ni гармониками существует, то оно определено с относительной погрешностью, не превышающей . Это означает, что для достижения точности нелинейности Fi и линейные части Wi должны удовлетворять определенным условиям. Если точные значения

сигналов

y

iT

, x0 ,

x

inT

выражаются следующим образом:

iT

y

iT

y

i

y

i

;

x0

x0

x0

; x

ЛiT

x

Лi

x

Лi

, (4.99)

iT

i

i

то раскладывая Fi

в обобщенный ряд Тейлора в окрестности точки

x0 , получим

i

0

0

0

0

0

Fi (x,x)

Fi (xiT

,xiT ) Fi (xi ,xi )

0 xi

x

x xi

0

Fi (x,x)

...,

(4.100)

0

xi

x

x xi

тогда

y

0

0

xi

xi

i

Fi (x,x)

0

Fi (x,x)

0

... .

yi

x

x xi

yi

x

x xi

yi

Поскольку энергия на входе и выходе любого элемента сохраняется, то можно записать

									2
Fi (x,x)				Fi (x,x)						Fi (x,x)				...		. (4.101)
											2
x				x						x

Аналогично запишем в операторной форме для линейной части

с учетом свойства аддитивности

xin Wi (p,t) yin ,

(4.102)

откуда получим

xin

/

yin

Wi (p,t)

1.

(4.103)

158

Например, если Wi – амплитудная характеристика, то она не

должна превосходить 1.

Неравенства (4.101), (4.103) являются сильными достаточными условиями сохранения погрешности в указанных пределах.

Пример. 4.1. Расчеты с применением оценки (4.97) показали,

что при m 0							~	6; 500, а при	m 4 и
				и 0,1; 0,01 получим ni
							~
	0,1; 0,01 получим
							ni 3; 3 соответственно. Качественно связь
~			,	~			показана на рис. 4.3.
параметров ni				m,

Более детальный анализ характеристик линейных и особенно нелинейных частей системы в каждой конкретной задаче может позволить ослабить указанные ограничения.

Рис. 4.3. Зависимость точности МГЛ от порядка дифференцируемости нелинейности и количества учитываемых гармоник

159

Контрольные вопросы и упражнения

1.Что называется неидеальностью переключения?

2.Какие решения задачи Коши называются -устойчивыми?

3.Какие области в пространстве параметров системы разделяет область автоколебаний?

4.Какова структура обобщенной локальной пары?

5.Предполагает ли присутствие в системе двузначной нелинейности неоднозначность решения?

6.Относительно каких переменных решается итоговая система уравнений гармонического баланса при учете высших гармоник?

7.Почему фаза первой гармоники может быть приравнена к нулю?

8.Какой параметр является основным для оценки погрешности метода гармонической линеаризации?

9.В чем смысл достаточности оценки погрешности метода гармонической линеаризации?

10.Какими функциями мажорируется последовательность амплитуд гармоник нелинейных колебаний?

11.Чем определяется скорость затухания мажоранты?

12.Можно ли считать оценку числа гармоник, достаточного для обеспечения требуемой точности, явной функцией?

160