Кулик Елементы теории принятия решений 2010

Пример 2.1 (см.и ср. [2, с. 25])

Найти минимум позинома f(x)= x−1 + x в области его определения.

Решение

1). Убедимся, чтоисходная функция f(x) являетсяименно позино- мом (приэтом отметим,что нет вынужденныхограничений).

Заметим,что (ck>0, aik , где k=1,…, m; i =1,…n, )

m=2, n=1, c1=1, c2=1, a1=a11=1, a2= a12= –1,

тогда (x1=x) выполненоусловие (2.5а) или (22.5б)

m

n

{

} {

}

∑ k

∏ i

−1

+1

−1

f(x)=

c

x

aik

=

1 x

+ 1 x

= x

+ x ,

k =1

i=1

m

f(x)= ∑{ci xai }={1 x−1}+{1 x+1}= x−1 + x ,

i=1

т.е. функция f(x) — это именно позином, так как она представима в виде (2.5б).

2). Проверим, что минимизируемый позином f (x) являетсяименно регулярным позиномом.

Заметим,что

m=2, c1=1, c2=1, a1=1, a2= –1,

нотогда выполнено условие (2.14а)

m

∑{ci ai }=0,

i=1

т.е. позином f (x) —это регулярный позином. 3). Найдём точкуминимума регулярного позинома.

Так как позином есть именно регулярный позином, тосогласно Теореме 2.4 точка xmin минимумаэтого позинома в случае n переменныхесть (2.15а)

x = (x1, x2 , x3 ,..., xn )=(1,1,1,…,1) или (приn=1) xmin=1. 4). Найдём минимальноезначение регулярного позинома:

min f(x)= f(xmin)= f(1) =1−1 +1 = 2.

x>0

5). Итем самым задача решена▄

151

Пример 2.2 (см. [2, с. 25,33])
Найти минимум позинома f(x)= x + sin(α)	+ cos(α)	, где
xsin(α)	xcos(α)
0<α<(1/2)πв области его определения.

Решение

1). Убедимся, чтоисходная функция f(x) являетсяименно позино-

мом (приэтом отметим,что нет вынужденныхограничений).

Заметим,что (ck>0, aik

, где k=1, 2, 3; i=1) m=3,

n=1 и

c1=1,

c2=sin(α

), c3=cos(α),

a11=1, a12= –sin(α),

a13=– cos( α),

тогда (таккак

x 1=x) выполненоусловие (2.5а)

m

n

aik

{

1

}

{

−sin(α)

}

{

−cos(α)

}

f(x)=

∑ k

∏ i

=

c

x

= 1 x

+

sin(α) ·x

+αcos( ) ·x

k =1

i=1

= x+sin( α) · x –sin(α) +cos(α) · x –cos(α),

т.е. f(x) — это именно позином,представленный в виде (2.5а).

2). Проверим, что минимизируемый позином f (x) являетсяименно регулярным позиномом.

Заметим,что m=3 и

c1=1, c2=sin(α), c3=cos(α), a1=1, a2= –sin(α), a3=– cos( α),

нотогда (так как sin2(α)+cos2(α) ≡1) выполненоусловие( 2.14а)

m

∑{ci ai }=1–{ sin2(α)+cos2(α) }=1–1=0,

i=1

т.е. позином f (x) —это регулярный позином. 3). Найдём точкуминимума регулярного позинома.

Так как f(x) есть именно регулярный позином,то согласно Теореме 2.4 точка xmin минимумаэтого позинома в случае n переменныхесть (2.15а)

x = (x1, x2 , x3 ,..., xn )=(1,1,1,…,1)
или (при n=1) xmin=1.	:
4). Найдём минимальноезначение регулярногопозинома
min f(x)= f(xmin)= f(1) = 1+sin(α) +cos(α).
x>0
5). Итем самым задача решена▄
152

	Пример 2.3 (см. [2,с. 38])
		x		y	n
	Найти минимум позинома f(x,y) =		+			, где n , в об-
		y		x

ластиего определения.

Решение

1). Убедимся, чтоисходная функция f (x,y) являетсяименно позиномом (приэтом отметим, чтонет вынужденных ограничений).

Заметим,что {xy−1 + x−1 y}— этоименно позином (онможет быть представлен в виде (2.5а)). Но тогда всилу Леммы 2.1 и

{	xy−1	+ x−1 y n	—также позином (поскольку n ), а значит
		}

и f(x,y) — это именно позиномв виде (2.5а).

2). Проверим, что минимизируемый позином f (x,y) является именнорегулярным позиномом.

Заметим,что (см. Пример2.1 и ниже Задание c ) x f1(x) = x + x−1 —это регулярный позином;

yf2(y) = y−1 + y — эторегулярный позином;

атогда выполнено условие( 2.14б)

c1 a11 +c2 a12 = 0,

1 1+1

(

−1 = 0,

или

)

0,

c1 a21 +c2 a22 =

1 (−1)+1 1= 0,

{

т.е. позином

xy−1 + x−1 y

—это

регулярный позином.Тогда в

}

силуТеоремы

2.3

{

xy−1 + x−1 y n

— эторегулярный позином.

}

т.е. в итоге f(x,y) —это регулярный позином.

3). Найдём точку

(xmin ,ymin)

минимума регулярного позинома.

Так как f(x,y)

естьименно регулярныйпозином, то согласно

Теореме 2.4 точка минимумаэтого позинома в случае двух пе-

ременныхесть (2.15а):

x = (x, y)=(1,1)

или

xmin=1;y min=1.

4). Найдём минимальноезначение регулярногопозинома

:

min

f(x,y) = f(xmin ,ymin)=

f(1,1)(1+1)=

n=2n.

x>0, y

>0

5). Итем самым задача решена▄

153

Пример 2.4 (см. [2, с. 126])

Найти минимум позинома f (x,y,z) = xy−1 + yz−1 + x−1z в области его определения.

Решение

1). Убедимся, чтоисходная функция f (x,y,z) является именно пози- номом (приэтом отметим, чтонет вынужденных ограничений).

Заметим,что (ck>0, aik				, где k=1, 2, 3; i=1, 2, 3) m=3, n=3 и
c1=1,			c2=1,	c3=1,
x a11=1,			a12=0,	a13=–1,
y a21= –1,			a22=1,	a23=0,
z a31=0,			a32=–1,	a33=1,
тогда (таккак		x 1=x; x2=y; x3=z)) выполненоусловие(			2.5а)
m		n
∑ ck ∏xiaik =xy−1+ yz−1+ x−1z = f(x,y,z),
k =1		i=1
т.е. f(x,y,z)	— этоименно позином в виде (2.5а).
2). Проверим, что минимизируемый позином f (x,y,z) является
именнорегулярным позиномом.
Заметим (см.		Пример 2.1), чтовыполнено условие(			2.14б)
x f1(x) = x +0+ x−1				—это регулярный позином;

yf2(y) = y−1 + y +0 — это регулярный позином;

zf3(z) = 0 + z−1 + z — это регулярный позином;

c1 a11 +c2 a12 +c3 a13 = 0,			1 1+0 +1 (−1)= 0,
	a21	+c2 a22 +c3 a23 = 0, или 1 (−1)+1 1+0 = 0,
c1
	a31	+c2 a32 +c3 a33 = 0,	0 +1 (−1)+1 1 = 0,
c1
т.е. в итоге f(x,y,z) — эторегулярный позином.
Теореме 2.4 точкаего минимума			в случае трёх переменных
есть (2.15а):		x = (x, y, z)= (1,1,1)	или xmin=1;y min=1; zmin=1.
4). Найдём минимальноезначение регулярного позинома:
min		f(x,y,z) =f (xmin ,ymin ,zmin) = f(1,1,1) = 1+1+1=3.
3). Найдём точку (xmin ,ymin ,zmin) минимума регулярного позинома.
Так как	f(x,y,z) есть именно регулярный позином, то согласно

x>0, y>0, z>0

5). Итем самым задача решена▄

154

Пример 2.5 (см. [2, с. 38])

			1	n
	Найти минимум позинома f (x1,…, xn) =			∑xkn в области
		x1	,..., xn
				k =1
	M его определения, т.е. x = (x1, x2 , x3 ,..., xn );		x M .
	Решение

1). Убедимся, чтоисходная функция f (x ) является именно пози-

номом (приэтом отметим, чтонет вынужденных ограничений). Заметим,

f (x)={x1n−1 x2−1...xn−1}+...+{x1−1...xk−−11xkn−1xk−+11...xn−1}+...+{x1−1...xn−−11xnn−1}.

			ik		ik	{	}
Тогда (так как ck>0, m=n; ck=1, a					, a		−1; n −1 , где
k=1÷n; i=1÷n;)выполнено условие (2.5а)
m	n		n
∑ ck ∏xiaik			=∑ x1−1...xk−−11xkn−1xk−+11...xn−1 = f (x),
k =1	i=1		k =1
т.е. f (x )	— этоименно позиномв			виде (2.5а).

2). Проверим, что минимизируемый позином является именно регулярным позиномом.

Заметим, что для (2.14б) выполненоk-еусловие (k=1÷n) xk fk(xk) = xk−1 +...+ xk−1 + xkn−1 + xk−1 +...+ xk−1 ,

	т.е. fk(xk) —это			n штук слагаемых
			регулярный позином,так как
	c1 ak 1+c2 ak 2+...+cn ak n= 0, или 1 (−1) (n −1)+1 (n −1)= 0,
	т.е. всеk позиномовfk(xk), гдеk=1÷n—регулярные				позиномы,
	азначит в итоге			f (x ) —это регулярный позином.
	3). Найдём точку		xm in минимума регулярного позинома.
	Таккак	f (x ) —регулярный позином,то согласно Теореме 2.4
	точка минимумаэтого позинома в случае n переменных есть
	(2.15а):	x = (x1,..., xn )= (1,…,1) или xmin i=1, где i=1÷n.
	4). Найдём минимальноезначение регулярногопозинома				:
	min			n
		f (x )	=	f (xmin )= f(1,1,…,1) = ∑1 =1+...	+1 =n .
	x M

k =1

5). Итем самым задача решена▄

155

	Пример2.6 (см. и ср.с [2,с. 38])	1
	Найти минимум позинома f(x) =		x + Ax−1,	где A>0 в облас-
		A
	ти егоопределения.

Решение

1). Убедимся, чтоисходная функция f (x) являетсяименно позиномом (приэтом отметим,что нет вынужденныхограничений).

Заметим,что (ck>0, aik , где k=1, 2; i=1) m=2, n=1 и

	c1= A–1,
тогда (таккак		x 1=x)
m		n
f(x)= ∑ ck ∏xiaik
k =1		i=1

c 2= A,

a11= 1,

a12=–1,

выполненоследующее условие (2.5а):

={A−1 x1}+{A x−1}= A−1x + Ax−1,

т.е. f(x) —это именно позином,представленный в виде (2.5а). 2). Проверим, что минимизируемый позином f (x) являетсяименно

регулярным позиномом.
Заметим,что m=2, c1= A–1, c 2= A								и a1= 1,	a2= –1,но тогда
в общем случае не выполняетсяследующее условие(										2.14а):
			m
			∑{ci ai }= A−1 1+ A (−1)≠ 0,
			i=1
т.е. позином f (x) —это НЕрегулярныйпозином.
3). Найдём точкуминимума НЕрегулярного позинома.
СогласноТеореме 2.5 точка xmin минимума нерегулярного по-
зиномадля			n переменных есть решение системы изn							уравне-
ний (2.15б),			причём в данномслучае (n=1)это						одноуравнение :
			x (+1)	1	x +(−1)Ax−1 = 0.
				A
Этоуравнение имеет единственноеположительное решение
(+1)	1	x +(−1)Ax−1 = 0				1	x2	= A x2	= A2
	A					A

xmin= + A2 = +A = A.

4). Найдём минимальноезначение НЕрегулярного позинома:

min f(x)= f(xmin) = f(A) = A−1 A + A A−1 = 1+1=2 .

x>0

5). Итем самым задача решена▄

156

Пример 2.7 (см. [2, с. 38])

= αxβ +βx−α,

Найти минимум позинома

f(x)

где α>0; β>0 в

областиего определения.

Решение

1). Убедимся, чтоисходная функция f(x)

являетсяименно позино-

мом (приэтом отметим,что нет вынужденныхограничений).

Заметим,что (ck>0, aik

,

где

k=1, 2;

i=1)

m=2,

n=1 и

c1= α,

c2= β,

a11= β,

a12=– α,

тогда (таккак

x 1=x) выполненоусловие (2.5а)

m

n

a

{

β

}

{

−α

}

β

−α

f(x)=

∑

k

∏ i

+

x

= αx +βx ,

c

x

ik

= α x

β

k =1

i=1

т.е. f(x) — это именно позином,представленный ввиде (2.5а).

2). Проверим, что минимизируемый позином f (x)

являетсяименно

регулярным позиномом.

Заметим,что m=2,

c1= α,

c2= β

и

a1= β,

a2= –α,

нотогда выполнено условие (2.14а)

m

∑{ci ai }= c1 a1 +c2 a2 = α β+β (−α)= 0,

i=1

т.е. позином f (x) —это

регулярный позином.

3). Найдём точкуминимума регулярного позинома.

Так как позином есть именно регулярный позином, тосогласно Теореме 2.4 точка xmin минимумаэтого позинома в случае n переменныхесть (2.15а)

x = (x1, x2 , x3 ,..., xn )=(1,1,1,…,1) или (приn=1)	xmin=1.
4). Найдём минимальноезначение регулярногопозинома	:
min f(x)= f( xmin)= f(1) = α·1+ β·1== α + β.
x>0
5). Итем самым задача решена▄
157

Пример 2.8 (см. [2, с. 54])

Найти минимум позинома f(x,y) = xy +50x−1 +20y−1 в области его определения.

Решение

1). Убедимся, чтоисходная функция f (x,y) являетсяименно позиномом (приэтом отметим, чтонет вынужденных ограничений).

Заметим,что (ck>0, aik , где k=1, 2, 3; i=1, 2) m=3, n=2 и

	c1=1,		c2=50,	c3=20,
x a11= 1,			a12= –1,	a13=0,
y a21= 1,		a22= 0, a		23= –1,
тогда (таккак x 1=x; x2=y) выполнено условие( 2.5а)
m	n		={1 xy}+{50 x−1}+{20 y−1} = f(x,y),
∑ ck ∏xiaik
k =1	i=1

т.е. f(x,y) — это именно позиномв виде (2.5а).

2). Проверим, что минимизируемый позином f (x,y) является именнорегулярным позиномом.

Заметим,что не выполняетсяследующее условие( 2.14б):

c1 a11 +c2 a12 +c3 a13 = 0,c1 a21 +c2 a22 +c3 a23 = 0,

или

( )

1 1+50 −1 +0= −49 ≠ 0,

1 1+0 +20(−1)= −19 ≠ 0,

т.е. x f1(x) = x +50x−1 +0	—это НЕрегулярный позином;
y f2(y) = y +0 +20y−1	— это НЕрегулярныйпозином;

т.е. позином f (x,y) —это НЕрегулярныйпозином.

158

3). Найдём точкуминимума НЕрегулярного позинома.

Согласно Теореме 2.5 точка (xmin , ymin) минимума нерегулярного позинома для n=2 переменных есть решение следующей системыиз двух уравнений (2.15б):

x(+1)xy +(−1)50x−1 +0 = 0,

y(+1)xy +0 +(−1)20y−1 = 0,

или
	−1	= 0,
xy −50x
		= 0,
xy −20y−1

которуюрешим следующимобразом.

Вычтем из1го уравнения 2-е уравнение и получим следующее

выражение:

(xy − xy)−

1

1

50

−

−20

= 0,

x

или (таккак

x >0,

y >0)

y

20 −

50 = 0

20 =

50

2x = 5y

x =

5 y.

y

x

y

x

2

Далееподставим

x =

5

y во 2-еуравнение и найдём

y , т.е.

2

5 y2

− 20 = 0

5 y3

= 20 y = 3 40

= 3

8 = 2 .

2

y

2

5

Таким образом, эта система уравнений имеет единственное положительное (так как дляпозинома x >0, y >0) решение

xmin=5;y min=2.

4). Найдём минимальноезначение НЕрегулярного позинома:

min f(xmin ,ymin)= f(5,2) = 10+10 +10=30.

x>0, y>0

5). Итем самым задача решена▄

159

Пример 2.9 (см. [2, с. 11, 47-48])

Найтиминимум позинома

f(x,y,z) = Aax−1 y−1z−1 +bxy +2cxz +2cyz,

гдеA>0;a >0; b>0; c>0 вобласти его определения.

Решение

1). Убедимся, чтоисходнаяфункция f(x,y,z) являетсяименнопозиномом(приэтомотметим, чтонетвынужденныхограничений).

Заметим, что(ck>0, aik			, где k=1,2,3,4; i=1,2,3) m=4, n=3 и
	c1=Aa,	c2=b,	c3=2c,	c4=2c,
x a11= –1,		a12=1,	a13=1,	a14=0,
y	a21= –1,	a22=1,	a23=0,	a 24=1,
z	a31= –1, a	32=0,	a33=1,	a34=1,

тогда (таккак			x 1=x; x2=y; x3=z)) выполненоусловие( 2.5а)
m	n		={Aax−1 y−1z−1}+{bxy}+{2cxz}+{2cyz}= f(x,y,z),
∑ ck ∏xiaik
k =1	i=1

т.е. f(x,y,z) — этоименно позином в виде (2.5а).

2). Проверим, что минимизируемый позином f (x,y,z) является именнорегулярным позиномом.

Заметим,что не выполняетсяследующее условие( 2.14б):

c1 a11 +c2 a12 +c3 a13 +c4 a14 = 0,c1 a21 +c2 a22 +c3 a23 +c4 a24 = 0,c1 a31 +c2 a32 +c3 a33 +c4 a34 = 0,

или

Aa (−1)+b (+1)+2c (+1)+0 ≠ 0,Aa (−1)+b (+1)+0 +2c (+1)≠ 0,

Aa (−1)+0 +2c (+1)+2c (+1)≠ 0,

т.е.

xf1(x) =Aax−1+bx+2cx+0 — это НЕрегулярный позином;

yf2(y) =Aay−1+by+0+2cy — это НЕрегулярныйпозином;

zf3(z) =Aaz−1 +0+2cz +2cz — это НЕрегулярныйпозином;

т.е. в итоге f(x,y,z) — этоНЕрегулярный позином.

160