Орловский Определенный интеграл.Практикум Част 2 2010

6y

-x

O2πa

Рис. 6.28

Переходя к переменной t, входящей в параметрическое уравнение циклоиды, получаем:

2π

2π

S = ∫0

y(t) x′(t) dt = a2

∫0

(1 − cos t)2dt =

= a2

∫2π

1 − 2 cos t + cos2 t

dt =

0

(

)

2π

cos 2t

= a2

∫0

(1

− 2 cos t +

1 +

)dt =

2

2π

(

3

1

cos 2t)dt =

= a2

∫0

−

2 cos t +

2

2

3

1

2π

= a2

(

t −

2 sin t +

sin 2t) 0

= 3πa2.

2

4

2

,

y = 2t

2

3

.

2414. x = 2t − t

− t

Парабола x = 2t − t2 имеет ветви, направленные вниз, корни t = 0 и t = 2, точка максимума (1; 1) (рис. 6.29).

31

x

y

6

q

6

q

1

q

27

q

32

1q

q

2 t

O

3q

q

2

t

O

-

-

4

Рис. 6.29

Рис. 6.30

Кубическая парабола y = 2t2 − t3 имеет корни t = 0 и t = 2, точка максимума (4/3; 32/27) (рис. 6.30). Используя графики функций x(t) и y(t) нетрудно получить и график параметрической кривой (рис. 6.31).

	y
	6
@R	*
	x
	-
	O

Рис. 6.31

Петля кривой в первой четверти ограничивает область так, что ее обход совершается в положительном направлении при изменении параметра от t = 0 до t = 2. Площадь фигуры можно

32

вычислить по формуле (6.7):
S = − ∫02 y(t) x′(t) dt = − ∫02		(2t − t3)(2 − 2t)dt =
2		3			4		2		8
0
2
= ∫ (−2t4 + 6t3 − 4t2)dt = (−	5	t5 +	2	t4 −	3	t3) 0		=	15	.

2415. x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t − t cos t) (0 6 t 6 2π) (развертка круга) и x = a, y 6 0.

Для функции x(t) можно вычислить значения в следующих опорных точках: x(0) = a, x(π/2) = πa/2, x(π) = −a, x(3π/2) = = −3πa/2, x(2π) = 2πa. Эта функция имеет локальный минимум t = 0, x = a, локальный максимум t = π/2, x = πa/2, локальный минимум t = 3π/2, x = −3πa/2 и краевой максимум t = 2π, x = a (рис. 6.32).

6

q

x

q

π

t

O πq

q

3qπ

q

-

2

q

2

2π

q

Рис. 6.32

Для функции y(t) имеем следующие значения в опорных точках: y(0) = 0, y(π/2) = a, y(π) = πa, y(3π/2) = −a, y(2π) = −2πa.

33

Эта функция имеет локальный минимум t = 0, y = 0, локальный максимум t = π, y = πa, локальный минимум t = 2π, y = −2πa (рис. 6.33).

Используя графики функций x(t) и y(t) получаем график рассматриваемой параметрической кривой на плоскости xOy.

y

6

q

q

3π

O

πq

πq

q

q

-

2

2π

t

q

2

q

Рис. 6.33

При возрастании параметра от t = 0 до t = 2π точка развертки круга (x(t); y(t)) обходит границу фигуры в положительном направлении от точки плоскости (a; 0) до точки (a; −2πa). Оставшаяся часть границы замыкается отрезком прямой x = a, y 6 0 (рис. 6.34).

Параметрическое уравнение отрезка прямой можно написать, например, в следующем виде:

x = a, y = a(t − 4π), 2π 6 t 6 4π.

Таким образом, параметрическое уравнение границы рассматриваемой области принимает следующий вид:

+ t sin t),	0 t 2π,
x(t) = { a(cos t a,	2π66 t66 4π;

34

y(t) =	a(sin t − t cos t),	0 6 t 6 2π,
{	a(t − 4π),	2π 6 t 6 4π.

6y

O

x

-

Рис. 6.34

Применяя формулу (6.7) для площади фигуры и используя свойство аддитивности интеграла, получаем

4π	2π	4π
S = − ∫0	y(t) x′(t) dt = − ∫0	y(t) x′(t) dt −2∫π	y(t) x′(t) dt.

На участке 2π 6 t 6 4π функция x(t) постоянна и, следовательно, производная x′(t) = 0. Поэтому последний интеграл обращается в нуль и

2π			2π
S = − ∫0	y(t) x′(t) dt = −a2		∫0	(sin t − t cos t) t cos t dt =
= a2		∫2πt2 cos2 t dt − ∫2πt sin t cos t dt .
		0		0

35

Неопределенные интегралы вычисляются с помощью инте-

грирования по частям:
															1																												t3						1
∫ t2 cos2 t dt =																					∫				t2(1 + cos 2t)dt =																				+						∫			t2 cos 2t dt =
																	2																										6						2
3					1				∫																						t3						1												1			∫
=	t		+											t2d(sin 2t) =																				+				t2 sin 2t −																t sin 2t dt =
	6					4																									6						4												2
																t3								1													1		∫
												=							+							t2 sin 2t +															t d(cos 2t) =
																6									4												4
							t3								1															1												1			∫
		=									+								t2 sin 2t +																t cos 2t −													cos 2t dt =
							6									4																4												4
										t3					1															1															1
					=									+								t2 sin 2t +														t cos 2t −											sin 2t + C.
										6									4																4										8
∫			t sin t cos t dt =																							1		∫		t sin 2t dt =															1		∫			t d(cos 2t) =
																																										−
																											2																		4
				t											1									∫																t											1
=		−				cos 2t +																					cos 2t dt = −														cos 2t +													sin 2t + C.
				4																		4																		4												8
Применяя формулу Ньютона – Лейбница для определенного
интеграла, получаем
									((							t3								1													1											1							2π
S = a2
															6 +										4 t2 sin 2t +												4 t cos 2t −												8 sin 2t) 0 −
			− (−										t													1												2π							a2				4π2
												4			cos 2t + 8 sin 2t) 0																								) =						3									+ 3π .
																																															(							)
2416. x = a
													(2 cos t − cos 2t), y =																										a(2 sin t − sin 2t).

Функции x(t) и y(t) являются 2π-периодическими. Поэтому их графики достаточно изучить на промежутке 0 6 t 6 2π. Функция x(t) четна, следовательно ее график симметричен относительно оси t = 0. Так как x(2π − t) = x(t), то прямая

36

t = π также является осью симметрии графика. Вычисляем значения функции x(t) в опорных точках: x(0) = a, x(π/3) = 3a/2, x(π) = −3a, x(5π/3) = 3a/2, x(2π) = a. Производная x′(t) = = 2 sin t(2 cos t − 1). Точки t = 0, t = π и t = 2π являются точками локальных минимумов, а точки t = π/3 и t = 5π/3 – точки локальных максимумов (рис. 6.35).

x

6

a

q

π

q

t

O

πq

q2π

q

4π q

5πq

2πq

-

3

3

3

3

Рис. 6.35

y

6

5π

2πq

q

4π q

q

q

O

πq

-

π

3

2π

t

3

3

3

Рис. 6.36

37

Функция y(t) нечетна, следовательно, ее график симметричен относительно начала координат. Так как y(2π − t) = −y(t), то точка (π; 0) также является центром симметрии графика. Вы-

числяем значения функции y(t) в опорных точках: y(0) = 0,
√	√	√

y(π/3) = a 3/2, y(2π/3) = 3 3a/2, y(π) = 0, y(4π/3) = −3 3a/2,

√

y(5π/3) = − 3a/2, y(2π) = 0. Производная

y′(t) = (1 − cos t)(2 cos t + 1).

Точка t = 2π/3 является точкой локального максимума, а точка t = 4π/3 – точка локального минимума (рис. 6.36).

Используя графики функций x(t) и y(t) получаем график кривой на плоскости xOy (рис. 6.37). При изменении параметра от t = 0 до t = 2π точка (x(t); y(t)) обходит границу области в положительном направлении. Площадь фигуры вычисляем по формуле (6.7):

																			2π
												S = − ∫0								y(t) x′(t) dt =
											2π
			= 2a2							∫0		(2 sin t − sin 2t)(sin t − sin 2t)dt =
										2π
∫0		= 2a2							∫0		(2 sin2 t − 3 sin t sin 2t + sin2 2t)dt =
2π												3													1
= 2a2	((1 − cos 2t) −																(cos t − cos 3t) +											(1 − cos 4t))dt =
														2											2
		2π		3													3			3									1
= 2a2		∫0		(					− cos 2t −											cos t +				cos 3t −							cos 4t)dt =
						2												2					2							2
	3			1								3								1					1							2π
= 2a2(	2	t −			2		sin 2t −						2				sin t +				2	sin 3t −				8			sin 4t) 0				= 6πa2.

38

6y

O

x

-

			Рис. 6.37
	c2			c2
2417. x =		cos3 t, y =			sin3 t (c2 = a2 − b2) (эволюта
	a			b

эллипса).

6y

O -x

Рис. 6.38

Точка кривой (x(t); y(t)) при изменении параметра t от нуля до 2π описывает кривую в положительном направлении один раз (рис. 6.38).

39

Согласно формуле (6.9)

	1	2π	(	)
		0
S =	2	∫		x(t) y′(t) − x′(t) y(t) dt =

=3c4 ∫2π(sin4 t cos2 t + cos4 t sin2 t)dt =

2ab

0

3c4

2π

(

)

2π

0

0

3c4

=

2ab

∫ sin2 t cos2 t

sin2 t + cos2 t

dt =

2ab

∫ sin2 t cos2 t dt =

3c4

2π

3c4

2π

=

∫0

sin2

2t dt =

∫0

(1 − cos 4t) dt =

8ab

16ab

3c4

1

2π

πc4

(t

sin 4t) 0

=

−

=

3

.

16ab

4

8ab

2

2417.1. x = a cos t,

y =

a sin t

.

2 + sin t

Функции x(t) и y(t) имеют период 2π, поэтому достаточно рассмотреть их на отрезке [0; 2π]. График x(t) представлен ниже (рис. 6.39).

x

6

a

q

O

π q

q

q3π

2πq -

π

t

−a

q

2

2

Рис. 6.39

40