Генерирующие соотношений и определяющие контрасты

При построении полуреплики 2³ существует всего две возможности: приравнять х₃ к +х₁х₂ или к – х₁х₂. Поэтому есть только две полуреплики 2^3–1.

Номер опыта	I: x3=x1x2				II: x3=–x1x2
	x1	x2	x3	x1x2x3	x1	x2	x3	–x1x2x3
1	–1	–1	+1	+1	–1	–1	+1	–1
2	+1	–1	–1	+1	+1	–1	–1	–1
3	–1	+1	–1	+1	–1	+1	–1	–1
4	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	–1

Для произведения трех столбцов матрицы I выполняется соотношение: +l=x₁x₂x₃, а матрицы II: –1= x₁x₂x₃. Вы видите, что все знаки столбцов произведений одинаковы и в первом случае равны плюс единице, а во втором – минус единице.

Символическое обозначение произведения столбцов, равного +1 или –1, называется определяющим контрастом. Контраст помогает определять смешанные эффекты. Чтобы определить, какой эффект смешан с данным, нужно помножить обе части определяющего контраста на столбец, соответствующий данному эффекту. Так, для первой полуреплики определяющий контраст 1=x₁x₂x₃, помогает вычислить генерирующие соотношения: x₁=x₁²x₂x₃, так как x_j²=1, получим x₁=x₂x₃, аналогично x₂= x₁x₂²x₃=x₁x₃ и x₃= x₁x₂x₃²=x₁x₂.

Для второй полуреплики с помощью определяющего контраста –1=x₁x₂x₃ будем иметь другие генерирующие соотношения: x₁=–x₁₂x₂x₃=–x₂x₃; x₂=–x₁x₂₂x₃=–x₁x₃; x₃=–x₁x₂x₃₂=–x₁x₂.

Соотношение, показывающее, с каким из эффектов смешан данный эффект, называется генерирующим соотношением.

Полуреплики, в которых основные эффекты смешаны с двухфакторными взаимодействиями, носят название планов с разрешающей способностью III (по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте). Такие планы принято обозначать: .

При выборе полуреплики 2^4–1 возможно восемь решений:

1. x₄= x₁x₂

2. x₄= –x₁x₂

3. x₄= x₂x₃

4. x₄= –x₂x₃

5. x₄= x₁x₃

6. x₄= –x₁x₃

7. x₄= x₁x₂x₃

8. x₄= –x₁x₂x₃

Разрешающая способность этих полуреплик различна. Так, реплики 1–6 имеют по три фактора в определяющем контрасте, а 7–8 по четыре. Реплики 7 и 8 имеют максимальную разрешающую способность и называются главными. Разрешающая способность задается системой смешивания данной реплики. Она будет максимальной, если линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия наибольшего возможного порядка.

При отсутствии априорной информации об эффектах взаимодействия экспериментатор стремится выбрать реплику с наибольшей разрешающей способностью, так как тройные взаимодействия обычно менее важны, чем парные. Если существует информация об эффектах взаимодействия, то она должна использоваться при выборе реплики.

Реплики, в которых нет ни одного главного эффекта, смешанного с другим главным эффектом или парным взаимодействием, а все парные взаимодействия смешаны друг с другом, носят название планов с разрешающей способностью IV (по наибольшему числу факторов в определяющем контрасте). Они имеют обозначение . Полуреплика, заданная определяющим контрастом l=+x₁x₂x₃x₄, имеет только четные комбинации букв в каждой строке. Ее можно записать следующим образом, считая строку (1) четной:

(1), ad, bd, ab, ас, cd, bс, abсd.

А полуреплика, заданная 1 = – x₁x₂x₃x₄ имеет только нечетные комбинации а, b, с, d, abd, acd, abc, bcd.

Такие полуреплики называют главными полурепликами, так как они обладают наибольшей разрешающей способностью.

Пусть выбраны полуреплики, заданные определяющими контрастами l=+x₁x₂x₃x₄ и 1 = – x₁x₂x₃x₄. Совместные оценки здесь определяются соотношениями:

1. x₁= x₂x₃x₄ x₁= –x₂x₃x₄

2. x₂= x₁x₃x₄ x₂= –x₁x₃x₄

3. x₃= x₁x₂x₄ x₃= –x₁x₂x₄

4. x₄= x₁x₂x₃ x₄= –x₁x₂x₃

5. x₁x₂= x₃x₄ x₁x₂= –x₃x₄

6. x₁x₃= x₂x₄ x₁x₃= –x₂x₄

7. x₁x₄= x₂x₃ x₁x₄= –x₂x₃

Такой тип смешивания даст возможность оценивать линейные эффекты совместно с эффектами взаимодействий второго порядка, а взаимодействия первого порядка – совместно друг с другом.

Если полуреплики заданы генерирующими соотношениями x₄= x₁x₂ и x₄= –x₁x₂, то в этом случае определяющими контрастами являются 1=x₁x₂x₄ и 1 = – x₁x₂x₄, следовательно, мы получаем планы с разрешающей способностью III и некоторые основные эффекты смешиваем с парными взаимодействиями:

1. x₁= x₂x₄ x₁= –x₂x₄

2. x₂= x₁x₄ x₂= –x₁x₄

3. x₃= x₁x₂x₃x₄ x₃= –x₁x₂x₃x₄

4. x₄= x₁x₂ x₄= –x₁x₂

5. x₂x₃= x₁x₃x₄ x₂x₃= –x₁x₃x₄

6. x₁x₃= x₂x₃x₄ x₁x₃= –x₂x₃x₄

7. x₃x₄= x₁x₂x₃ x₃x₄= –x₁x₂x₃

Разрешающая способность этих полуреплик ниже, чем у планов с разрешающей способностью IV, с помощью которых линейные эффекты определяются независимо от парных взаимодействий.

Эти полуреплики имеют в каждой строке как четные, так и нечетные комбинации букв. Такие полуреплики не являются главными. Разумен выбор такой полуреплики, если имеется априорная информация о большей значимости тройных взаимодействий по сравнению с парными или о незначимости трех парных взаимодействий x₂x₄, x₁x₄, х₁х₂.

Как видите, выбор дробной реплики требует много терпенья и труда. Но другого пути нет. Применяя дробное планирование, нужно точно знать систему смешивания, четко представлять, какую информацию приходится терять.

Поговорим теперь о полурепляке 2^5–1.

При выборе полуреплики 2^5–1 в распоряжении экспериментатора имеется множество вариантов. Так, х₅ можно приравнять к одному из шести парных взаимодействий. В этом случае получим полуреплику с разрешающей способностью III. Очевидно, это будет не лучший выбор полуреплики. Далее, х₅ можно приравнять к одному из четырех тройных взаимодействий. Тогда получим план с разрешающей способностью IV, и все линейные эффекты будут смешаны с тройными взаимодействиями. И, наконец, полуреплика может быть задана генерирующими соотношениями x₅=+x₁x₂x₃x₄ или x₅=–x₁x₂x₃x₄. Определяющими контрастами в этом случае будут 1=+x₁x₂x₃x₄x₅ и 1=–x₁x₂x₃x₄x₅. Такие реплики носят название планов с разрешающей способностью V и обозначаются . В таких планах линейные эффекты смешаны со взаимодействиями третьего порядка, а взаимодействия первого порядка – с взаимодействиями второго порядка