Математическое ожидание и дисперсия

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида

Свойства математического ожидания:

1. M(CX)= СМ(Х); М(С) = С, где С-произвольная постоянная величина.

2. , если -

взаимно независимые случайные величины.

3. .

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины.

Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсия и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = М(Х - М(Х))².

Дисперсию целесообразно вычислять по формуле

D(X) = М(Х²) - (М(Х))².

Свойства дисперсии:

1. D(CX)= С²D(Х); D(С) = 0, где С-произвольная постоянная величина.

2. , если - взаимно независимые случайные величины.

3. - среднеквадратичное отклонение

125. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

X	2	4	6	8
P	0,4	0,2	0,1	0,3

Y	0	1	2
P	0,5	0,2	0,3

Найти

1. MX, MY

2. DX, DY

3. MZ, DZ, где Z = 2Х + ЗY

126. Задан ряд распределения:

X	2	3	5	6	7	10
P	0,4	0,2	0,2	0,05	0,1	0,05

Найти М(Х), D(Х) и М(2Х² + 3).

127. Даны законы распределения независимых случайньх независимых величин:

X	-4	0	4
P	0,1	0,5	0,4

Y	2	4
P	0,5	0,5

Найти M(Z) и D(Z), если Z = (X + У)/2.

128. В экзаменационном билете три задачи. Вероятность того, что студент правильно решит первую задачу, равна 0,9, вторую – 0,8, третью – 0,7. Пусть X – число правильно решенных задач. Определить числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

129. С целью привлечения покупателей компания «Кока-кола» проводит конкурс, согласно которому каждая десятая бутылка напитка, выпущенная фирмой, является призовой. Составить закон распределения числа призовых из четырех приобретенных покупателем бутылок. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

130. В партии из 8 деталей 6 деталей – стандартные. Наугад отбираются две детали.Составить закон распределения случайной величины, равной числу стандартных деталей среди отобранных. Найти ее математическое ожидание, дисперсию.

131. Вероятность наличия нужной книги для первой библиотеки равна 0,2; для второй, третьей и четвертой соответственно 0,2, 0,4 и 0,5. Составить закон распределения числа библиотек, которые последовательно посещает студент в поисках нужной книги.Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

132. Ткачиха обслуживает 3 станка. Вероятности того, что в течение часа станок не потребует внимания, равны соответственно 0,9; 0,8; 0,7. Составить закон распределения для числа станков, потребовавших внимания в течение часа. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

133. Молодого человека пригласили на день рождения. Он помнил номер дома, но забыл номер квартиры, помня лишь, что номер однозначный и нечетный. Составить закон распределения числа посещенных квартир для отыскания нужной. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

134. Устройство состоит из трех независимо работающих приборов. Вероятности отказа приборов 0,3; 0,64; 0,5.Cоставить закон распределения числа отказавших приборов. Найти математическое ожидание и дисперсию.

135. Фирма имеет 4 грузовых автомобиля. Вероятность выхода на линию каждого автомобиля равна 0,8. Составить закон распределения случайной величины, равной числу автомобилей, которые выйдут на линию в произвольно выбранный день. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

136. Охотник выстрелил три раза по удаляющейся цели. Вероятность попадания в нее при первом выстреле равна 0,8, а для каждого последующего выстрела уменьшается на 0,1.Составить закон распределения случайной величины, равной числу попаданий в цель. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

137. Вероятность выигрыша по одному билету лотереи равна 0,05. Найти математическое ожидание M(2X-0,5), если случайная величина X равна числу выигрышных билетов среди 15 купленных.

138. Ветеринар в зоопарке обследует 5 жирафов. Вероятность того, что рост жирафа будет больше 6 метров, равна 0,1. Найти дисперсию D(2X+ 4), если случайная величина X равна числу обследованных жирафов с ростом более 6 метров.

139. Два консервных завода поставляют продукцию в ма­газин в пропорции 2:3. Доля продукции высшего качества на первом заводе составляет 90%, а на втором — 80%. В магазине куплено 3 банки консервов. Найти математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение числа банок с продукцией высшего качества.

140. Два товароведа проверяют партию изделий. Произ­водительность их труда соотносится как 5:4. Вероятность определения брака первым товароведом составляет 85%, вторым — 90%. Из проверенных изделий отбирают четыре. Найти а) математическое ожидание и б) дисперсию числа год­ных изделий среди отобранных.

141. В магазин поступили электролампы с трех заводов в пропорции 2:3:5. Доля брака в продукции первого завода — 5%, второго — 2%, третьего — 3%. Покупатель приобрел 3 лампочки. Найти а) математическое ожидание и б) среднее квадратичное отклонение числа качественных лампочек среди купленных.

142. Стороны прямоугольного участка X и У в результате погрешностей измерения оказываются случайными величина­ми с такими распределениями:

X	19,5	19,7	20	20,2
P	0,2	0,05	0,7	0,05

Y	29,5	29,8	30	30,1
P	0,15	0,15	0,65	0,05

Найти математическое ожидание площади участка, если из­вестно, что измерения проводились независимыми способами.