- •Методические указания для выполнения контрольной работы
- •«Математическое программирование»
- •Введение
- •§ 1. Экстремум функции одной переменной
- •§ 2 Локальные и глобальные экстремумы функции нескольких переменных.
- •§ 3 Условный экстремум. Метод множителей лагранжа
- •§ 4 Постановка задачи линейного программирования. Графический метод решения.
- •Геометрическая интерпретация злп.
- •Графический метод решения.
- •§ 5 Симплекс-метод решения задач линейного программирования
- •§ 6 Транспортная задача
- •Литература
- •Методические указания для контрольной работы
Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский государственный профессионально-педагогический университет»
Машиностроительный институт
Кафедра высшей математики
Методические указания для выполнения контрольной работы
по дисциплине
«Математическое программирование»
(ГОС-2000)
для студентов всех форм обучения
специальности 080101.65 Экономическая теория (060100)
Екатеринбург
2012
Методические указания для выполнения контрольной работы по дисциплине «Математическое программирование». Екатеринбург, ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет», 2012. 27 с.
Составители: канд. физ.-мат. наук, доцент А.С. Просвиров,
канд. физ.-мат. наук, доцент А.В. Шитиков
Одобрены на заседании кафедры высшей математики Машиностроительного института РГППУ. Протокол от 28 февраля 2012 г. № 7.
Заведующий кафедрой высшей математики Е.А. Перминов
Рекомендованы к печати методической комиссией Машиностроительного института РГППУ. Протокол от 14 марта 2012 г. № 7.
Председатель методической
комиссии МаИ А.В. Песков
© ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет», 2012
© Просвиров А.С., Шитиков А.В.
Введение
Математическое программирование (МП) представляет собой математическую дисциплину, занимающуюся изучением экстремальных задач и разработкой методов их решения. В общем виде математическая постановка экстремальной задачи состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f (х1, х2, … хп) при ограничениях
где f, qi, qj – заданные функции; bi ,bj- некоторые действительные числа.
Задачи МП делятся на задачи линейного (Л.П.) и нелинейного программирования. Если все функции f и qi линейные, то соответствующая задача является задачей Л.П. Если же хотя бы одна из них нелинейная, то данная задача – задача нелинейного программирования. Наиболее изученным разделом МП являются задачи Л.П. Среди задач нелинейного программирования наиболее глубоко изучены задачи выпуклого программирования.
Курс МП предусматривает знакомство с основными задачами МП и методами их решения.
§ 1. Экстремум функции одной переменной
Этот материал изучался в курсе математического анализа [1 ]. Здесь мы напомним лишь некоторые основные положения.
Определение 1.1. Точка х0 называется точкой локального максимума (минимума) функции ƒ(х), если для любого х≠х0 в некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство ƒ(х)< ƒ(x0) (ƒ(х)> ƒ(x0).
Теорема 1.1. ( Необходимое условие существования локального экстремума).
Если х0 - точка локального экстремума функции ƒ(х), то производная ƒ'(x0)=0 или ƒ'(x0) не существует.
Определение 1.2. Точка x0 из области определения функции ƒ(х), называется критической точкой, если в ней производная равна нулю (ƒ'(x0)=0) или не существует.
По теореме 1.1. экстремум может достигаться только в критической точке. Но критическая точка вовсе не обязательно является точкой экстремума.
Достаточные условия существования локального экстремума дают следующие теоремы.
Теорема 1.2. (Первый достаточный признак). Пусть функция ƒ(х) дифференцируема в некоторой окрестности (х0 – σ, х0 + σ ) критической точки х0 , за исключением, быть может, самой этой точки. Тогда, если при переходе через точку х0 слева направо производная ƒ'(х) меняет знак с плюса на минус, то х0 – точка локального максимума, а если с минуса на плюс, то х0 - точка локального минимума.
Теорема 1.3. (Второй достаточный признак). Пусть функция ƒ(х) дважды дифференцируема в критической точке х0 и в некоторой ее окрестности. Если ƒ″(x0)<0, то х0 - точка локального максимума функции ƒ(х). Если ƒ″(x)>0, то х0 – точка локального минимума. Если же ƒ″(x0)=0, то требуется дополнительное исследование.
Замечание 1.1. Наличие локального максимума или минимума в некоторой точке промежутка Х вовсе не гарантирует, что в этой точке функция f(x) принимает наибольшее (наименьшее) значение на этом промежутке (или, как говорят, имеет глобальный максимум (минимум)). Но если внутри промежутка X непрерывная функция f(x) имеет единственную точку локального экстремума, то она будет и точкой одноименного глобального экстремума функции на этом промежутке.
Схема исследования функции у = f(x) на локальные экстремумы.
Найти область определения функции f(x).
Найти производную у'= f ' (x).
Найти критические точки функции.
Исследовать знаки производной в ее области определения (или на заданном промежутке). Для этого рекомендуется использовать известный из школы метод интервалов.
Сделать вывод о наличии точек максимумов и минимумов. Найти значения функции в этих точках.
Задание 1. Найти экстремумы функции у = .
1. Так как дискриминант ( квадратного трехчлена в знаменателе отрицателен, то знаменатель нигде не обращается в ноль. Поэтому у(х) определена и непрерывна на всей числовой оси. ().
2. Найдем производную
у' =[(12-8х+4х2)-1]' = (–12-8х+4х2)-2(–8+8х)= .
3. Данная функция имеет только одну критическую точку хо=1. Точек, где производная не существует, нет (знаменатель положителен при любых х(-R)).
4. Знакиf '(х):
Поведение f(x):
Экстремумы:
5. Так как при переходе через точку хо=1 производная меняет знак с "+" на "–", то хо=1– точка локального максимума. Так как это единственная точка локального экстремума, то в этой точке достигается не только локальный, но и глобальный максимум (наибольшее значение) на всей числовой оси.