- •Задания к контрольной работе по дисциплине
- •1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •2. Производная и её приложение
- •3. Приложения дифференциального исчисления
- •4. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •5. Неопределённый и определённыё интегралы
- •6. Дифференциальные уравнения
- •7. Двойные и криволинейные интегралы
- •8. Ряды
- •11 – 20.
- •51 – 60.
- •91 – 100.
- •111 – 120.
- •151 – 160.
- •191 – 200 .
- •231-240.
- •251-260.
- •281 – 290.
- •301– 310
- •321 – 330
- •461 – 470 .
- •Задания для выполнения контрольной работы по дисциплине
7. Двойные и криволинейные интегралы
351-360. Вычислить двойные интегралы по области D.
351., гдеD – область, ограниченная линиям
352. , гдеD – область, ограниченная линиями
353. , гдеD – область, ограниченная линиями
354. , гдеD – область, ограниченная линиями
355. гдеD – область, ограниченная линиями
356. , гдеD – область, ограниченная линиями
357. гдеD – область, ограниченная линиями
358. гдеD – область, ограниченная линиями
359. , гдеD – область, ограниченная линиями
360. гдеD – область, ограниченная линиями
.
361 – 370. Перейдя к полярным координатам, вычислить площадь фигуры, ограниченной областью D.
361. Область D ограниченна линиями: (І четв.)
362. Область D ограниченна линиями: .(І четв.)
363. Область D ограниченна линиями: . (І четв.)
364. Область D ограниченна линиями:
365. Область D ограниченна лемнискатой: (І четв.)
366. Область D ограниченна линиями:
367. Область D ограниченна линиями:
368. Область D ограниченна линиями:
369. Область D ограниченна линиями:
370. Область D ограниченна лемнискатой:
371 – 380. Вычислить криволинейные интегралы
371. гдеL – контур треугольника, образованного осями координат и прямой в положительном направлении, т.е. против движения часовой стрелки.
372. гдеL – дуга параболы от точки О (0;0) до точки
А(2;4).
373.гдеL – контур прямоугольника, образованного прямыми
в положительном направлении (против часовой стрелки).
374. вдоль кривой.
375. вдоль кривойот точки О (0;0) до точки А(1;1).
376. вдольотточки О (0;0) до точки А(1;1).
377. , гдеL – четверть окружности 0, против часовой стрелки.
378., гдеL – первая арка циклоиды 0.
379. вдоль линииот точки О (0;0) до точки А(1;1).
380. вдоль отрезка ОА, О (0;0),.
8. Ряды
421-430. Исследовать сходимость числового ряда.
421. . 422..
423. . 424..
425. . 426..
427. . 428..
429. . 430..
431-440. Найти интервал сходимости степенного ряда.
431. . 432..
433. . 434..
435. . 436..
437. . 438..
439. . 440..
441-450. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд, и, затем, проинтегрировав ее почленно.
441. . 442..
443. . 444..
445. . 446..
447. . 448..
449. . 450..
451 – 460. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальному условию.
451.
452.
453.
454.
455.
456.
457.
458.
459.
460.
461 – 470. Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале.
461. в интервале
462. в интервале
463. в интервале
464. в интервале
465.в интервале
466. в интервале
467. в интервале
468. в интервале
469. в интервале
470. в интервале
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЙ
11 – 20.
Для решения задач 11 – 20 рекомендуется учебное пособие
Данко П.Е., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах.
Ч.1. М.: Оникс 21 век. 2005. Гл. I –IV, стр.39 – 91.
Рассмотрим решение аналогичной задачи, взяв координаты вершины пирамиды SABC: А(-3;0;0); В(0;2;0); С(0;0;6); S(-3;4;5).
1) Длину ребра АВ находим по формуле:
2) Угол между рёбрами найдём по формуле косинуса угла между векторами, координаты которых определяются так:
α
Для решения задания 3) целесообразно решить задачу 7). Уравнение плоскости составим по уравнению
Нормальный вектор этой плоскости
4) Площадь определяем с помощью векторного произведения:
5) Объём пирамиды находится через вычисление смешанного произведения векторовИзучите понятие смешанного произведения, формулу объёма пирамиды и формулу для вычисления смешанного произведения трёх векторов. Решите самостоятельно.
6) Уравнение прямой
Канонические уравнения прямой, вектор направляющий вектор прямой
8) Для определения проекции вершины на плоскостьвыполняютсяследующие действия:
а) составляется уравнение высоты пирамиды .
б) находится точка пересечения высоты и основания решением системы, содержащей уравнение высоты и уравнение плоскости.
Решение: вектор удобнее взять
Он будет направляющим для По уравнению
вершина , т.е.
.
Система решается подстановкой
Подставив во второе уравнение, найдём значение , а следовательно значения
Точка - проекция точкина плоскость
9) Длину высоты пирамиды можно найти по формулеили по формуле расстояния от точки до плоскости – наиболее удобно.
Изучите формулы самостоятельно, решив задание 9).