- •З.А. Наседкина, а.В. Песков, а.В. Шитиков сопротивление материалов
- •Оглавление
- •Введение
- •Глава 1. Метод расчета на прочность по допускаемым напряжениям
- •1.1. Внутренние усилия в поперечных сечениях стержня
- •1.2. Понятие о напряжении
- •1.3. Условие прочности по допускаемым напряжениям
- •Вопросы для самоконтроля
- •Глава 2. Растяжение и сжатие
- •Пример 1
- •Задача 1. Растяжение и сжатие (статически определимая система)
- •Статически неопределимые системы
- •Пример 2
- •Задача 2. Растяжение и сжатие (статически неопределимая система)
- •Вопросы для самоконтроля
- •Глава 3. Напряженное и деформированное состояние в точке
- •Пример 3
- •Задача 3. Плоское напряженное состояние
- •Вопросы для самоконтроля
- •Глава 4. Кручение
- •Пример 4
- •Задача 4. Кручение стержней с круглым сечением
- •Вопросы для самоконтроля
- •Глава 5. Моменты инерции плоских сечений
- •Пример 5
- •Задача 5. Моменты инерции плоских сечений
- •Вопросы для самоконтроля
- •Глава 6. Плоский изгиб
- •6.1. Расчет на прочность
- •6.1.1. Построение эпюр внутренних сил Qy и Mz
- •Пример 6
- •6.1.2. Построение эпюр внутренних сил Qy и Mz без записи их уравнений
- •Задача 6. Плоский изгиб (консольная балка)
- •Задача 7. Плоский изгиб (двухопорная балка)
- •Определение перемещений при плоском изгибе
- •Пример 7
- •Задача 8. Определение перемещений при плоском изгибе
- •Вопросы для самоконтроля
- •Глава 7. Расчет на прочность статически неопределимой балки
- •Пример 8
- •Задача 9. Расчет статически неопределимой балки
- •Вопросы для самоконтроля
- •Глава 8. Сложное сопротивление. Кручение и изгиб
- •8.1. Основные понятия
- •Мощность при вращательном движении
- •Пример 9
- •Задача 10. Сложное сопротивление. Кручение и изгиб
- •Вопросы для самоконтроля
- •Глава 9. Устойчивость сжатых стержней
- •Пример 10
- •Пример 11
- •Задача 11. Устойчивость сжатых стержней
- •Вопросы для самоконтроля
- •Глава 10. Динамическое действие нагрузок
- •Пример 12
- •Задача 12. Динамическое действие нагрузок
- •Вопросы для самоконтроля
- •Библиографический список
- •Указания по выполнению контрольных работ
- •Перечень контрольных заданий (номера и названия задач)
- •Геометрические характеристики поперечных сечений
- •Сортамент прокатной стали Сталь горячекатаная. Балки двутавровые (гост 8239 – 72)
- •Сталь горячекатаная. Швеллсры (гост 8240-72)
- •Сталь прокатная угловая неравнополочная (гост 8510 – 72)
6.1.1. Построение эпюр внутренних сил Qy и Mz
Эпюрой внутренней силы называется график ее изменения вдоль оси балки. Из определения внутренней поперечной силы Qy(х) следует, что в том и только в том сечении, где приложена внешняя сосредоточенная сила, имеется скачок на эпюре Qy(х) на величину этой силы. Аналогично из определения внутреннего изгибающего момента Mz(х) следует, что в том и только в том сечении, где приложен внешний изгибающий момент, – скачок на эпюре Mz(х) на величину этого момента. Под внешними силами и моментами мы подразумеваем и реакции опор.
При проверке правильности построения эпюр Qy(х) и Mz(х) можно использовать табл. 6, составленную на основании дифференциальных соотношений (4) – (6). В этой таблице указана связь между знаками интенсивности распределенной нагрузки q(x), поперечной силы Qy(х) и характером изменения эпюр Qy(х) и Mz(х) .
Таблица 6
Правила построения эпюр Qy(х) и Mz(х) , основанные
на дифференциальных зависимостях между q, Qy(х), Mz(х)
Распреде-ленная нагрузка q, кН/м |
Поперечная сила Qy, кН |
Изгибающий момент Mz, кН∙м |
q=0
|
Поперечная сила постоянна |
Изгибающий момент изменяется по линейному закону |
0 |
Момент постоянный ______ | |
+ |
Момент возрастает
| |
_ |
Момент убывает
| |
q >0
|
Поперечная сила возрастает по линейному закону |
Момент изменяется по закону параболы, выпуклость вниз |
0 |
Момент принимает экстремальное значение Mmin | |
+
|
Момент возрастает по закону параболы, выпуклость вниз
| |
_ |
Момент убывает по закону параболы, выпуклость вниз
| |
q < 0
|
Поперечная сила убывает по линейному закону |
Момент изменяется по закону параболы, выпуклость вверх |
0 |
Момент принимает экстремальное значение Mmax | |
+ |
Момент возрастает по закону параболы, выпуклость вверх
| |
_ |
Момент убывает по закону параболы, выпуклость вверх
|
Пример 6
Рассмотрим построение эпюр Qy(х) и Mz.(х) методом записи и исследования их уравнений на примере расчета на прочность двухопорной балки.
Необходимо построить эпюры поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mz для двухопорной двутавровой балки (рис. 26) и подобрать размеры поперечного сечения при 200 МПа.
1. Определение опорных реакций:
;
;
, кН;
;
, кН.
Проверка следова-тельно, реакции найдены верно.
2. Построение эпюр Qy и Mz.
Балка имеет три участка нагружения.
Участок I
В пределах первого участка произвольно намечаем сечение
(см. рис. 26): м.
Для составления уравнений Qy(х1) и Mz(х1) рассмотрим условия равновесия левой (от сечения ) части балки. Поперечная сила в сеченииравна алгебраической сумме внешних сил по левую сторону от сечения.
Учитывая правило знаков (см. рис. 24), получим Qy(х) = A – q∙x1 = = 17,5 – 10∙x1 (кН) – линейная зависимость.
Рис. 26. Построение эпюр Qy(x) и Mz(x) для двухопорной балки
График поперечной силы Qy(х) можно построить по двум точкам, абсциссы которых соответствуют границам участка I:
Qy(0) = 17,5 кН; Qy(2) = – 2,5 кН.
Далее нам нужно найти точку пересечения эпюры с базисной линией, т. е.
. (9)
Внутренний изгибающий момент в сеченииравен алгебраической сумме моментов от всех внешних нагрузок по левую сторону от сечения. Сучетом правила знаков (см. рис. 25) получим
–парабола ветвями вниз. Значения на границах участка ,кН∙м.
Вершина параболы находится из условия
,
т. е. из (9) при м кН∙м.
По трем точкам строим эпюру Mz на участке I.
Участок II
Наметив сечение , рассмотрим левую часть балки:
м,
Qy( x2) = A – q∙2 = 17,5 – 20 = – 2,5 кН – (10)
– горизонтальная прямая, тaк как Qy( x2) = – 2,5 кН – const.
(11)
= – 2,5∙х2 – 10 кН∙м –
– прямая линия. кН∙м,кН∙м.
Можно убедиться, что из условия равновесия правой части балки
получаются те же самые выражения (10) и (11) для внутренних сил:
кН;
кН∙м.
Участок III
Здесь проще рассматривать условие равновесия правой части балки
м.
Учитывая правила знаков для правой части балки (см. рис. 24, 25), получим:
–горизонтальная прямая.
,
, кН∙м.
Построив эпюры и(см. рис. 26), проверяем, удовлетворяют ли
они правилам, сформулированным в табл. 6.
3. Расчет на прочность.
Условие прочности при прямом изгибе можно приближенно
записать в виде неравенства
,
откуда находим момент сопротивления поперечного сечения.
Вычисления производим в системе СИ:
.
По сортаменту (см. прил. 5) определим, что такому условию соответствует двутавр № 16, Wz = 109 см3.