- •Математика
- •Контрольная работа №1
- •1. Даны вершины треугольника abc. Найти:
- •1) Длину стороны ab;
- •Контрольная работа № 2
- •Контрольная работа № 3
- •Решение типовых задач
- •Контрольная работа № 2
- •Контрольная работа № 3
- •Справочные материалы аналитическая геометрия Прямая на плоскости
- •Дифференциальное исчисление
- •Интегральное исчисление
- •Дифференциальные уравнения
- •Теория вероятностей
- •Случайные величины
- •Элементы математической статистики
Дифференциальные уравнения
Опр. Дифференциальное уравнение – это уравнение, связывающее независимую переменную, её функцию и производные или дифференциалы различных порядков этой функции, при этом порядок старшей производной или дифференциала называется порядком уравнения.
–
общий вид дифференциального уравнения n-го порядка
Дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными
Общий вид:
Схема решения
Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка
с постоянными коэффициентами
Корни характеристического уравнения |
Общее решение дифференциального уравнения |
D>0, k1≠k2 | |
D=0, k1=k2 | |
D<0, k1,2=α±βi – комплексные числа, i=– мнимая единица. |
Ряды
Опр. Рядом называется бесконечная сумма членов некоторой последовательности, общий член которой является функцией номера n.
Ряды
числовые функциональные
Числовые ряды
– n-я частичная сумма.
– остаток сходящегося ряда.
Признаки сходимости знакоположительных числовых рядов
Необходимый признак сходимости (достаточный признак расходимости):
Признак Даламбера
Алгебраический признак Коши
Интегральный признак
Пусть f(x) – непрерывная, положительная и убывающая функция при х≥1. Тогда
1-й признак сравнения
2-й признак сравнения (предельный)
Стандартные числовые ряды
Знакочередующиеся числовые ряды
.
Признак Лейбница:
Теорема: Если ряд, составленный из абсолютных величин знакочередующегося ряда, сходится, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно.
Функциональные ряды
Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды:
–область сходимости степенного ряда.
– радиус сходимости.
Опр. Разложением функции f(x) в ряд по степеням (х-а) (рядом Тейлора) называется ряд вида:
Опр. Ряд Тейлора при а=0 называется рядом Маклорена.
Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена
Примечание: – факториал.
Теория вероятностей
Комбинаторика
–число перестановок из n элементов, где n!=1·2·3·4·…·n – факториал, 0!=1.
–число сочетаний из n элементов по к элементов.
–число размещений из n элементов по к элементов.
Вероятность события
Опр. Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления события.
Классическое определение вероятности события: , гдеn – число всех исходов испытания, m – число благоприятствующих событию А исходов.
0≤P(A)≤1 |
– относительная частота события , W(A)≈P(A).
Теоремы сложения и умножения вероятностей
Следствия:
1., если события попарно несовместны.
2.если события образуют полную группу.
3. .
4. , если события независимы.
5., если события зависимы.
Формула полной вероятности. Формула Байеса
–гипотезы,
Формула Байеса:
Независимые повторные испытания
Название формулы |
Формула |
Условия применения |
Формула Бернулли |
n мало | |
Локальная формула Лапласа |
, где Свойства φ(х): 1. φ(-x)=φ(x); 2. значения функции занесены в таблицу, причём если х>3,99, то φ(х)≈0. |
n – велико |
Формула Пуассона |
, где λ=np |
n – велико (n≥100), p – мало (p≤0,1) |
Интегральная формула Лапласа |
где – функция Лапласа. Свойства Ф(х) : 1. -0,5< Ф(х) <0,5; 2. Ф(-х)=-Ф(х); 3. значения функции занесены в таблицу, причём если х>5, то Ф(х)≈0,5. |
n – велико, |
Наиболее вероятное число наступлений события при повторных испытаниях: