- •Часть II
- •Введение
- •Методы сетевого планирования и управления
- •1.1.Сетевая модель и ее основные элементы
- •1.2. Параметры сетевой модели с учетом временных характеристик
- •1.3. Методы расчета параметров сетевой модели
- •Вероятностные модели систем
- •2.1. Ориентированный граф состояния системы. Марковские процессы.
- •2.2. Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний
- •2.3. Системы массового обслуживания (смо)
- •2.3.1. Общая характеристика смо
- •2.3.2. Математическая модель однофазной смо и показатели ее эффективности.
- •2.3.3. Смо с конечной очередью
- •2.3.4. Смо с отказами
- •2.3.5. Чистая смо с ожиданием.
- •2.3.6. Смешанные системы массового обслуживания
- •2.3.7. Особенности применения моделей массового обслуживания
- •Управление запасами
- •3.1. Системы управления запасами
- •3.2.Управление запасами при детерминированном стационарном спросе
- •3.2.1. Мгновенная поставка, возникновение дефицита не допускается.
- •3.2.2.Мгновенная поставка, возникновение дефицита допускается.
- •3.2.3. Поставка с постоянной интенсивностью
- •3.3. Однокаскадные суз при вероятностном дискретном спросе
- •Методы принятия технических решений
- •4.1. Основная формальная структура принятия решений
- •4.1.1. Матрица решений
- •4.1.2.Оценочная функция
- •4.1.3.Особые случаи
- •4.2. Классические критерии принятия решений
- •4.2.1.Минимаксный критерий
- •4.2.2.Критерий Байеса —Лапласа
- •4.2.3.Критерий Сэвиджа
- •4.2.4.Расширенный минимаксный критерий
- •4.2.5.Применение классических критериев
- •4.3. Производные критерии
- •4.3.1.Критерий Гурвица
- •4.3.2.Критерий Ходжа-Лемана
- •4.3.3.Критерий Гермейера
- •4.3.4.Bl(mm)-критерий
- •4.3.5.Критерий произведений
- •4.3.6.Принятие решений согласно производным критериям
- •Литература
- •Часть II
- •191186, Санкт-Петербург, ул. Миллионная, 5
2.3.3. Смо с конечной очередью
СМО с конечной очередью длины тхарактеризуется тем, что при поступлении очередной заявки возможны три исхода:
– заявка немедленно принимается на обслуживание, если в системе в данный момент находится kзаявок иk<n;
– заявка становится в очередь, если п k<n+m;
– заявка получает отказ и покидает систему, если k=n+m. Следовательно, в любой момент времени система может находиться в одном изп+т+1 состояний, то есть множество состояний
Увеличение числа заявок в системе происходит только под воздействием потока заявок интенсивности ,а уменьшение числа заявок в системе —только в результате завершения обслуживания одной из заявок, то есть
(kзанятых приборов порождают поток обслуженных заявок интенсивности k).
Размеченный граф состояний СМО с конечной очередью дляп=3, т=2 изображен на рис. 2.5.
Для определения вероятностей состояний системы в формулы (2.16)и (2.17)подставим значения
и получим:
для kn ;
для k<n .
Полагая в уравнении (2.17)N=n+m,находим
(2.25)
Учитывая, что 0/0!=1 и вычисляя суммутчленов геометрической прогрессии со знаменателем, находим
(2.26)
Из уравнения (2.16)находим вероятности состояний
; (2.27)
(2.28)
На основании формул (2.25) – (2.28)определим основные показатели эффективности системы.
1.Вероятность отказа в обслуживании – это вероятность того, что в СМО имеетсяп+тзаявок, то есть
(2.29)
Зная Роткпо формулам (2.19) – (2.21),можно вычислить абсолютную и относительную пропускную способность системы, среднее число занятых приборов, коэффициенты их загрузки и простоя.
2.Вероятность того, что поступившая в систему заявка застанет все каналы занятыми (не будет немедленно принята на обслуживание),
. (2.30)
3.Средняя длина очереди
,
где Pn+r – вероятность того, что в очереди находится ровноrзаявок(k=n+r).
Подставляя в полученное выражение Pn+r,находим
; (2.31)
. (2.32)
4.Среднее время ожидания в очереди определяется как математическое ожидание. Если к моменту поступления заявки в очереди находитсяr=0, 1, . . .,т–1заявок, то она поступит на обслуживание после завершения обслуживанияr+1 заявок, то есть
;
. (2.33)
Среднее время ожидания – это среднее время накопления очереди длиной L.
Среднее число заявок, находящихся в СМО, и среднее время пребывания заявки в системе определяются по формулам (2.22) и (2.23)с учетом формул (2.31) – (2.33).
Из полученных соотношений следует, что показатели Ротк,q,Nз, L, Yне зависят от конкретных значенийи, а только от их соотношения. Показателинапротив, чувствительны к изменению не только параметра, но и к изменению при=const.Так, например, при увеличенииив два разаРотк, q, nз иLне изменяются,Qувеличивается, ауменьшается в два раза, то есть при одновременном увеличении плотности потоков заявок и обслуживании характеристики процесса обслуживания улучшаются.
2.3.4. Смо с отказами
СМО с отказами является частным случаем СМО с конечной очередью при m=0. Полагая в формулах (2.25) – (2.29)т=0, найдем показатели эффективности СМО с отказами:
– вероятность простоя всех обслуживающих приборов из выражения (2.26)
; (2.34)
– вероятность того, что в системе находится kзаявок, из формулы (2.27)
; (2.35)
– вероятность отказа в обслуживании из выражения (2.29)
; (2.36)
– абсолютная и относительная пропускная способность системы и среднее число занятых приборов
(2.37)
Зависимости (2.34) – (2.36)были впервые получены датским инженером А.К.Эрлангом и поэтому известны как формулы Эрланга.
Советский ученый Б.А.Севастьянов доказал, что формулы Эрланга справедливы при любом законе распределения времени обслуживания, но при конечном и постоянном значении его математического ожидания. Это позволяет использовать соотношения (2.34) – (2.37)для решения широкого класса практических задач.