20.Цилиндрические и канонические поверхности

Поверхность называется цилиндрической поверхностью с образующей, если для любой точкиэтой поверхности прямая, проходящая через эту точку параллельно образующей, целиком принадлежит поверхности.

Теорема (об уравнении цилиндрической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность имеет уравнение, то— цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси.

Кривая, задаваемая уравнением в плоскости, называется направляющей цилиндрической поверхности.

Если направляющая цилиндрической поверхности задаётся кривой второго порядка, то такая поверхность называется цилиндрической поверхностью второго порядка.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
Пара совпавших прямых:	Пара совпавших плоскостей:	Пара пересекающихся плоскостей:

Конические поверхности

Поверхность называется конической поверхностью с вершиной в точке, если для любой точкиэтой поверхности прямая, проходящая черези, целиком принадлежит этой поверхности.

Функция называется однородной порядка, есливыполняется следующее:

Теорема (об уравнении конической поверхности). Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность задана уравнением, где— однородная функция, то— коническая поверхность с вершиной в начале координат.

Если поверхность задана функцией, являющейся однородным алгебраическим многочленом второго порядка, тоназывается конической поверхностью второго порядка.

Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид:

21. Теорема о разности между переменной и её пределом ( Основная т. О пределах)

22.Теорема о связи бесконечно больших и бесконечно малых величин

Теорема о связи между бесконечно большой и бесконечно малой функциями:

Если функция - функция бесконечно малая (), то функцияесть бесконечно большая функция и наоборот.

Доказательство:

Пусть - бесконечно малая функция при, т.е.. Тогда для любого числасуществует такое число, что для всех, удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство, т.е., т.е., где. А из этого следует, что функция- бесконечно большая.

23.Первый замечательный предел

Первым замечательным пределом называется предел

Теорема 2.14 Первый замечательный предел равен

Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела ии докажем, что каждый из них равен 1. Тогда по теореме 2.1 двусторонний пределтакже будет равняться 1.

Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы). В тригонометрическом круге (радиуса) с центромпостроим центральный угол, равный, и проведём вертикальную касательную в точкепересечения горизонтальной оси с окружностью (). Обозначим точку пересечения луча с углом наклонас окружностью буквой, а с вертикальной касательной -- буквой; черезобозначим проекцию точкина горизонтальную ось.

Пусть-- площадь треугольника,-- площадь кругового сектора, а-- площадь треугольника. Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки равна, а вертикальная --(это высота треугольника), так что. Площадь центрального сектора круга радиусас центральным угломравна, так что. Из треугольниканаходим, что. ПоэтомуНеравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на ) так:

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при пределв левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней частитакже будет равен 1.

Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что, так какравняется длине дуги окружности, которая, очевидно, длиннее хорды. Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству

при , получаем, что

(2.3)

Простая замена переменной показывает, что и. Теперь заметим, что. Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

(2.4)

Тем самым показано, что

Сделаем теперь замену ; при этом базаперейдёт в базу(что означает, что если, то). Значит,но(-- нечётная функция), и поэтому

Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.

Доказанная теорема означает, что график функции выглядит так:

Рис.2.28.График