- •111Equation Chapter 1 Section 1министерство образования и науки российской федерации
- •«Национальный исследовательский
- •Матанализ 3
- •Аннотация
- •Матанализ 3
- •130102 «Технология геологической разведки»,022000 «Экология и природопользование»
- •Отпечатано в Издательстве тпу в полном соответствиис качеством предоставленного оригинал-макета
- •I. Интегральное исчисление функции одной переменной Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •II. Дифференциальные уравнения
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Полезно помнить таблицу дифференциалов:
- •Непосредственное интегрирование
- •Метод подстановки
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Алгоритм интегрирования рациональной дроби
- •Примеры интегрирования рациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Определенный интеграл
- •Рассмотрим частные случаи
- •Теорема существования определенного интеграла
- •Интеграл расходится, т. К. Предел не существует. Пусть теперь функция непрерывна на интервалеи. Если существует конечный предел, то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
- •Функция определена на , и то есть мы имеем дело с несобственным интегралом от функции с бесконечным разрывом. Таким образом,
- •Некоторые приложения определенного интеграла
- •1. Вычисление площади плоской фигуры
- •2. Длина дуги кривой
- •3. Объем тела
- •II. Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Умножим обе части уравнения на 2
- •2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными Уравнения вида
- •3. Однородные уравнения
- •Разделим переменные
- •4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Решение линейного уравнения методом подстановки
- •5. Уравнение Бернулли
- •Преобразованное уравнение (26) является линейным относительно и. Решив его, найдем общий интеграл уравнения (26). Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли (24).
- •6. Уравнение в полных дифференциалах
- •Нахождение общего решения уравнения
- •III. Числовые ряды Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число, то говорят, что задана числовая последовательность.
- •1. Интегральный признак Коши
- •Следовательно, обобщенный гармонический ряд сходится прии расходится при.
- •Решение. Составим ряд из модулей Получим гармонический ряд, который расходится. Проверим условия признака Лейбница:
- •IV. Функциональные ряды
- •V. Степенные ряды
- •1. Теорема Абеля
- •Решение.
- •3. Методы разложения функций в ряд Тейлора
- •Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
- •Данное разложение имеет место для всех . Варианты заданий для контрольной работы № 6
- •Учебно-методическое обеспечение дисциплины Литература обязательная
1. Уравнения с разделяющимися переменными
Определение. Дифференциальное уравнение вида
(8)
в котором коэффициент при является функцией только от, а коэффициент прифункцией только от, называется уравнением с разделенными переменными.
Функции идолжны быть непрерывными для всех значенийи.
Уравнение с разделенными переменными решается следующим образом:
Перенесем слагаемое в правую сторону равенства (8) с противоположным знаком.
Проинтегрируем правую часть уравнения по , а левую пох.
(9)
Полученное равенство (9) является общим интегралом уравнения с разделенными переменными (8).
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Переменные уравнения разделены.
Тогда
Интегрируя, получим
или
Тогда или семейство гипербол.
Замечание. Дифференциалы идолжны всегда стоять в числителе.
Определение. Дифференциальное уравнение вида
(10)
в котором коэффициенты при дифференциалах можно разложить на множители, зависящие только от и только от, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Разделим уравнение (10) на , получим
Далее
(11)
Проинтегрировав обе части уравнения (11), получим общий интеграл уравнения (10):
Замечание 1. При делении обеих частей уравнения (10) на произведение могут быть потеряны частные решения, обращающие в нуль произведение.
Замечание 2. Уравнение с разделенными переменными (8) является частным случаем уравнения с разделяющимися переменными.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Так как , то получим
Это уравнение с разделяющимися переменными.
Разделив это уравнение на и умножив его на, получим
Интегрируя, получим
Откуда общее решение нашего уравнения в общем виде.
При делении обеих частей уравнения на можно потерять решение. Оно также является особым (или частным) решением уравнения. Заметим, что это решение можно получить из общего при . Поэтому в ответе достаточно указать
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Представим уравнение в виде
Вынесем общие множители за скобки
Это уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем второе слагаемое в правую сторону
Разделим обе части уравнения на произведение
Интегрируя обе части уравнения, найдем общее решение
Умножим обе части уравнения на 2
общее решение (общий интеграл) уравнения в неявном виде.
При делении обеих частей уравнения на произведение могли потерять решение, которое находится из равенстваФункциине являются решением нашего уравнения, т.к. при подстановке в уравнение не обращают его в тождество.
2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными Уравнения вида
(12)
где ис постоянные числа , приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными с помощью подстановки
Замечание 1. Если с = 0, получим уравнение
(13)
которое решается с помощью замены
Замечание 2. Если а = 0 или b = 0, то получим уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Введем новую переменную по формуле
Подставим ив первоначальное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными относительнои.
Интегрируя обе части равенства, получим общий интеграл уравнения
общее решение уравнения.
Замечание. В примерах частные и особые решения дифференциальных уравнений рассматривать не будем.