TOEIsaev

X C (ω) =	1
	ωC
						Z (ω) =		R + j ( X L (ω) − X C (ω))
				X L (ω) = ωL
					R

	ω =		1			ω =		1
			LC					LC
						X (ω) = X L (ω) − XC (ω)
	X (ω) = X L (ω) − XC (ω)

Рис. 2.33

Зависимость емкостного сопротивления X C (ω) = 1ωC от частоты имеет гиперболическую зависимость. При увеличении частоты уменьшается емкостное сопротивление и при этом ток в цепи с емкостью увеличивается. То есть чем быстрее изменяется ток тем меньше емкостное сопротивление. При уменьшении частоты до нуля емкостное сопротивление становится бесконечным. То есть емкость не пропускает постоянный ток. И, наоборот, при увеличении частоты емкостное сопротивление уменьшается, и ток в цепи увеличивается. Вспомним, что емкость пропускает ток смещения.

В цепи с последовательно соединенными элементами RLC сопротивление записывается в виде:

Z (ω) = R + jX L (ω) − jX C (ω)

Будем изменять частоту входного напряжения в цепи. При изменении частоты будут изменяться сопротивления реактивных элементов. При увеличении частоты уменьшается емкостное сопротивление и увеличивается индуктивное сопротивление, и наоборот. При постепенном изменении частоты может наступить такой момент, когда емкостное и индуктивное сопротивления сравняются, и будет выполняться равенство

X		(ω) = X		(ω), ωL =	1	→ ω = ω =		1		.
	L		C		ωC
						0		CL

Полученная частота называется частотой свободных колебаний. При такой частоте возникаю свободные колебания в цепи. Колебания электри-

ческой цепи не связанные с источником энергии, называются собст-

венными или свободными.

71

В нашем случае при рассмотрении последовательной цепи эти ко-
лебания возбуждены внешним источником e(t) . При резонансной час-
тоте общее сопротивление цепи уменьшается, так как индуктивное со-
противление компенсируется емкостным сопротивлением
ω =	1	= R
	Z (ω) = R + jX L (ω) − jX C (ω)
	LC
При этом ток в цепи возрастает, Ток и напряжение совпадают по
фазе. При дальнейшем увеличении частоты индуктивное сопротивление
становится больше емкостного, и реактивное сопротивление становится
индуктивным.
	Волновая диаграмма напряжений.
	U C	U R
		t
U	U L
	Векторная диаграмма

+j

U L I

U R

U С

U +1

Рис. 2.34

72

Q = X L

Режим электрической цепи при последовательном соединении участков с индуктивностью и ёмкостью, характеризующийся равенством индуктивного и ёмкостного сопротивлений, называют резонансом напряжений.

Напряжения на индуктивности и ёмкости при резонансе могут значительно превышать напряжение на входе, которое равно напряжению на активном сопротивлении.

Отметим, что частоты, при которых наблюдаются фазовый и амплитудный резонансы, не совпадают с частотой собственных колебаний контура (они совпадают только в теоретическом случае, когда катушка индуктивности и конденсатор без потерь).

Добротность Q определяется соотношением:

= X C = ρ ,

					R	R R
где ρ = XC = X L =		L
				–	характеристическое сопротивление.
		C

Чем выше добротность контура Q (и уже полоса пропускания) тем выше селективность контура (лучше избирательная способность) При резонансе происходит совпадение по фазе входного напряжения e(t) и тока i(t) протекающего в контуре. Характер сопротивления становится чисто активным вследствие совпадения по величине емкостного и индуктивного сопротивлений.

Q1 Q2 Q3

Q1 Q2 Q3

ω = 1 LC

ω = 1LC

АЧХ- I (ω)

ФЧХ-ϕ (ω)

Рис. 2.35

73

Ширина АЧХ I (ω) зависит от добротности. Ширина

АЧХ определяется

на высоте

0,707 от амплитудного значения (рис. 2.36). Определим гра-

ничные частоты

I (w) =

E

=

E

1

;

R2 + (wL -1 wC )2

R

2

2

1 +

1

L

(w

LC -1 w

LC )

R2

C

1

1

1

1

w =

, Q =

L

®

=

;

0

LC

C R

w

w

2

2

1 + Q

2

-

0

w

w0

w

- w0

w0

( 1 + 4Q2 1)

1 + Q2

= 2

® w1,2 =

2Q

w0

w

и полосу пропускания

Dw = w2 - w1 = ω0 .

Q

Таким образом, рассмотренная схема является полосовым фильтром, рассмотренный фильтр эффективно пропускает частоты, находящиеся в полосе ω увеличивая их относительный вклад. Относительный вклад всех остальных частоты уменьшается.

I (ω)

I (ω) = 0, 707

ω	ω = 1		ω2
		LC
1

Рис. 2.36

Пример. Рассчитать резонансную частоту для схемы, приведенной на рисунке 2.36 при условии, что даны значения

C = 400 ×10−6 Ф, L = 2Гн, R = 20Ом,

e(t) = 202 sin(wt)В.

Определить добротность контура, ток, полосу пропускания и граничные частоты.

X		(w) = X		(w), wL =	1	® w = w =		1
	L		C
					wC	0		CL

f = w = 5,627Гц. 2p

74

ω1 = 2ωQ0 (1 + 4Q2 −1) = 100рад/с; ω2 = 2ωQ0 (1 + 4Q2 + 1) = 125рад/с;

Δω = ω2 − ω1 = 25рад/с.

Полоса пропускания устанавливается на высоте сигнала равного значению Im 2 = 0,707Im , Im – максимальное значение тока.

РГР №2 Расчет линейной цепи синусоидального тока

1. В исходной цепи с ЭДС e(t) = 2E sin(ωt + ϕ) рассчитать токи ветвей и составить баланс мощностей (активных и реактивных). Коэффициент связи k = 0,9 . Взаимная индуктив-

ностьM = k L1L2 .

Записать уравнения Кирхгофа для мгновенных значений без развязки индуктивной связи. Переписать уравнения в комплексной форме и найти все токи и показание вольтметра.

2.Произвести развязку индуктивной связи.

3.Определить все токи методом контурных токов.

4.Определить ток в ветви с индуктивностью L2 методом эквивалентного генератора;

5.Записать мгновенные значения токов и напряжений и построить их волновую диаграмму.

Построить в одних осях векторные диаграммы токов (лучевую) и напряжений (топографическую).

6.Определить показание электродинамического вольтметра аналитически и по топографической диаграмме.

7.Подтвердить расчеты пунктов 1, 3 ,проделав работу в среде

ElectronicsWorkbench.

75

			Таблица №1				Таблица №2
№	E	R		C	ϕ	L1	L2	f
	В	Ом		МкФ	град	Гн	Гн	Гц
0	50	10		250	30	0,15	0,15	50
1	30	20		100	0	0,2	0,2	50
2	20	30		300	90	0,12	0,12	50
3	40	40		250	-90	0,22	0,22	50
4	25	50		100	180	0,19	0,19	50
5	15	25		220	90	0,15	0,15	50
6	22	35		300	-90	0,19	0,19	50
7	45	50		400	180	0,11	0,11	50
8	30	10		600	0	0,17	0,17	50
9	12	30		500	15	0,21	0,21	50

76

77

Лекция № 8

ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ

(t) = E

sin(ωt),

(t) = E

sin(ωt −

2π

),

(t) = E

sin(ωt +

2π

).

U

A

0

2

U

B

0

2

U

C

2

3

0

3

Или в символической форме:

= E ,

− j

2π

j

2π

E

E

E

–

фазные напряжения.

A

B

= E e

3 ,

C

= E e 3

0

0

0

Полезно ввести обозначение для фазового множителя:

a = e j2π / 3 = −

1

+ j

3

= −0,5 + j0,866 ,

a2 = −

1

− j

3

= −0,5 − j0,866 .

2

2

2

2

Тогда можно записать: E

A

= E ,

E

B

= E a2 ,

E

C

= E a.

0

0

0

Заметим, что

1 + a2 + a = 1 −

1

− j

3

−

1

+ j

3

= 0.

2

2

2

2

И, следовательно

E

A

+ E

B

+ E

C

= E

0

(1 + a2

+ a) = 0.

Рис. 3.1

I A , I B , I C - линейные токи.

Рис. 3.2

78

При наличии нулевого провода (нейтрали) (рис. 3.2) схема разделяется на три независимые схемы

I

A

=

E A

, I

B

=

E B

, I

C

=

EC

.

Z A

Z B

Z C

Ток нейтрали определяется выражением

I N = I A + I B + I C .

Рис. 3.3

Для представленной схемы (рис. 3.3) без нейтрали, при симметричной

нагрузке Z A = Z B = Z C

токи как в предыдущем случае, определяются

соотношениями:

I

A

=

E A

, I

B

=

E B

, I

C

=

EC

.

Z A

Z B

Z C

Или через фазовый множитель

I

A

=

E A

, I

B

= a2 I

A

, I

C

= a I

A

.

Z A

Потому что потенциалы точек 0 и n одинаковы (следовательно, если в схеме точки 0 и n соединить проводом в схеме ничего не изменится).

Рис. 3.4

79

В схеме на рис. 3.4 при симметричной нагрузке, «треугольник» можно заменить «звездой».

Рассчитать линейные токи I A , уравнений:

I A

I B

I C

I B , I C , а затем найти фазные токи из

=I AВ − I СA

=I BC − I AB

=I CA − I BС

Или используя связь между линейными и фазными напряжениями генератора

U

AB

= E

A

3

e j300

, U

BC

= U

AB

a2

,U

CA

= U

AB

a можно определить фаз-

ные токи

I

=

U AB

, I

=

U BC

, I

=

U

CA

AB

BC

AB

Z AB

Z BC

Z CA

Рис. 3.5.

Рис. 3.6.

Эти же уравнения применимы для схемы на рис. 3.6.

Мощность в трехфазной цепи определяется как сумма мощностей каждой фазы

S = E A I *A + E B I *B + EC I *C = P + jQ

80