TOEIsaev

Рис. 3.7.

При симметричной нагрузке мощность определяется выражением

P = 3UфIф cos(ϕф ),			Q = 3UфIф sin(ϕф ), S = 3UфIф ,
или
P =		U Л I Л cos(ϕф ),	Q =		U Л I Л sin(ϕф ), S = 3U Л I Л .
	3			3

§3.1 Метод симметричных составляющих

Расчет симметричных режимов гораздо проще несимметричных, поэтому для расчета несимметричных (несбалансированных) режимов в трехфазных цепях широко применяется метод симметричных составляющих (МСС).

Метод симметричных составляющих относится к специальным методам расчета трехфазных цепей и широко применяется для анализа несимметричных режимов их работы, в том числе с нестатической нагрузкой. В основе метода лежит представление несимметричной

трехфазной системы переменных (ЭДС, токов, напряжений и т.п.) в виде суммы трех симметричных систем, которые называют симметричными составляющими. Различают симметричные составляющие пря-

мой, обратной и нулевой последовательностей, которые различаются порядком чередования фаз. Он основан на представлении любой

трехфазной несимметричной системы величин (трех векторов) в виде суммы трех симметричных систем величин. Эти симметричные

системы, которые в совокупности образуют несимметричную систему величин, называются ее симметричными составляющими. Симметрич-

ные составляющие отличаются друг от друга порядком следования (че-

редования) фаз. Они называются системами прямой, обратной и ну-

левой последовательностей.

Любая не симметричная система векторов однозначно раскладывает-

ся на симметричные составляющие

Пример: Пусть имеется трехфазная система векторов (рис. 3.7):

A = −0,5 + j2,5; B = −2 − j4; C = −3 − j3.

Разложим её на симметричные составляющие. В результате разложения каждый из векторов будет иметь свои компоненты прямой обратной и нулевой последовательностей. Например, вектор A будет иметь компо-

ненты A = {A1, A2 , A3}, вектор B = {B1, B2 , B3} и вектор C = {C1,C2 ,C3} Чередование фаз в прямой последовательности и связь между компонентами векторов будет следующей

81

A1, B1 = A1e− j2π / 3 , C1 = A1e j2π / 3 .

Чередование фаз в обратной последовательности

A2 , B2 = A2e j 2π / 3, C2 = A2e− j2π / 3 .

В нулевой последовательности все компоненты векторов равны

A0 , = B0 = C0 .

Полезно ввести обозначение для фазового множителя:

a = e j2π / 3 = −	1	+ j	3	= −0,5 + j0,866 ,								a2 = −					1	− j	3	= −0,5 − j0,866 .
			2																2
2															2
Заметим, что 1 + a2 + a = 1 −					1	− j		3		−	1	+ j		3		= 0. Каждый из векторов
			2				2		2				2

несимметричной системы раскладывается по компонентам прямой обратной и нулевой последовательности.

Прям. Обрат. Нул.

↓ ↓ ↓

A = A1 + A2 + A0 ;

B= B1 + B2 + B0 ;

C= C1 + C2 + C0.

Или если использовать фазовый множитель и в качестве основной фазы выбрать фазу A это выражение можно переписать:

Прям. Обрат. Нул.

↓		↓	↓
A = A1		+ A2	+ A0
		+ A2a + A0
B = A1a	2

C = A1a + A2a2 + A0 .

	A			1	1 1	A1
→	B		=	a2	a 1		A
							2
	C			a a2 1			A0

Если обернуть это матричное выражение то можно получить:

A1	=	1			(A+ Ba + Ca2 )
	3					(A+ Ba2 + Ca)
A2	=			1
	3
A =			1		( A+ B + C)
0	3

.

A					1	a		a2		A		A				2,687 + j1,289
1			1				2					1
→ A2		=			1	a		a		B		→ A2		=		−1,354 + j0,711
			3
0												0				−1,833+ j0,5
					1	1		1
A									C			A

82

Последовательности

Прямая

Обратная

Нулевая

Рис. 3.8. Результаты разложения трёх векторов А, В, С на симметричные составляющие

83

При использовании МСС возникает вопрос, что конкретно мы собираемся раскладывать на симметричные составляющие. Если в системе действует несимметричная системы ЭДС, а цепь сама симметричная, то нужно раскладывать систему ЭДС. Если действующая система ЭДС симметричная, а электрическая цепь имеет локальную несимметрию, то нужно раскладывать на симметричные составляющие ток или напряжения локального участка.

Рассмотрим пример (рис. 3.9). Пусть задана симметричная система ЭДС с несимметричной нагрузкой:

		IA			a = e j120 = −0,5 + j0,866,
		EA	RA		E A = 220 B,
	EC		RC		E	B	= 220a2 ,
		EB		RB			= 220a,
					EC
		IB			RA = 10 Ом,
		IC			RB = 20 Ом, RC = 30 Ом
		Рис. 3.9

Определим токи методом узловых потенциалов:

			ϕ =	E A RA + E B RB + EC RC			= 70 − j17,321B ,
			E A − ϕ		1 RA + 1 RB + 1 RC			− ϕ
	I A	=			= 15 − j1,732 A, I B	=	E B		= −9	− j8,66 A,
			RA				RB
	I C	=	EC − ϕ		= −6 + j6,928 A.
			RC

Определим симметричные составляющие. Так как нет нулевого провода, то нулевая последовательность будет отсутствовать:

I						1
	1		=	1
I	2					1
				3
I	0				1

I

=

I

A

+ a I

B

+ a

2 I

C

,

I

1

2

3

a

a

2

I A

2

a

a

I B

,

1

1

I C

=

I

A

+ a2 I

B

+ a I

C

, I

= 0 .

2

3

84

ORIGIN:= 1

R

IA

EA

rA

RA

EC

EB

RC

RB

R

IB

IC

R

Рис. 3.10

Ua := 100

a := ei×120×deg

E := (Ua

Ua×a2

Ua×a )T

R := 20

r := 5

Ra :=

R×r

R + r

E1

+

E2

+

E3

f :=

Ra + R

R×2

R×2

f = 18.182

1

+

1

+

1

R×2

Ra + R

R×2

I :=

E1 - f

I

:=

E2 - f

I :=

E3 - f

IT = ( 3.409

-1.705 - 2.165i -1.705 + 2.165i)

Ra + R

1

2

R×2

3

R×2

Ir :=

I1×R

Ir = 2.727

I_R := I

- Ir

I_R = 0.682

R + r

1

S := I1×E1 + I2×E2 + I3×E3

S = 886.364

P := (

I1

)2×(Ra + R) + (

I2

)2×R×2 + (

I3

)2×R×2

P = 886.364

(

Ir

)2×r +

(

I_R

)2×R + (I1)2×R + (

I2

)2×R×2 + (

I3

)2×R×2 = 886.364

1

×I_r

1 a2

I_r

3

a

1

1

A :=

×

1

a a

2

A×

0

®

×I_r

3

3

1

1 1

0

1

×I_r

1

3

×Ir

I1

3

I2

1

×Ir

3

I0

1

×Ir

3

2×U2

Ua - 2×U1

-I2×R

-Ir×R

-Ir

I0

-

U0

I2

-

I1

U2

U0

-I0×R

×R

3×2

R

R

R

2

3

85

-1

×Ir×R

+ Ua

-I1×R + Ua

3

U1

2

2

R

IA

U1

EA

U2

RA

U0

EC

U0

U2

U1

EB

RC

R

IB

U2

U0

RB

U1

IC

R

Рис. 3.11

Ir×r

(U1 + U2 + U0)

I_r×r

-

I_r

×

R

+

Ua

-

I_r

×

R

-

I_r

×R solve , I_r

®

30

= 2.727

3

2

2

3

2

3

11

R

IA

U1

R

IA1

I1

EA

U2

RA

EA

U1

RA

U0

R

IA2

I2

U2

RA

I0

U0

RA

Рис. 3.12

86

a := ei×120×deg

Ea := 220

Eb := a2×Ea

Ec := a×Ea

R := 30

L := 0.3

w := 100×p r := 10

X := w×L

Z := r + i× X

RN := 15

Rn := 5

Схема прямой последовательности

R

Z

Е

U1

Рис. 3.13

Рис. 3.14

Схема обратной последовательности

Схема нулевой последовательности

R

Z

U2

Рис. 3.15

Рис. 3.16

Ik

Ik

Ik

Ea×Z

R×Z

I1

3

I2

3

I0

3

Ua U1

+ U2 + U0

0

Ee :=

Z + R

Ze := Z + R

R

Z

R

Z

IA

Iкз1

IAn

Iкз2

Е

U1

U2

Рис. 3.17

Рис. 3.18

Ze = 26.566+ 8.092i

Ee = 194.816+ 59.34i

U1

Ee - I1×Ze

U2

-I2×Ze

87

Рис. 3.19

U

-I ×

(R + 3×RN)×(Z + 3×Rn)

0

0 R + 3×RN + Z + 3×Rn Ik := 0

Given

Ee -

Ik

×Ze -

Ik

×Ze -

Ik

×

(R + 3×RN)×(Z + 3×Rn)

0

3

3

3 R + 3×RN + Z + 3×Rn

Ikz := Find(Ik)

5.665

-7.29

Ikz

= 5.665

com(Ikz) =

U1 := Ee -

×Ze

Ikz

Ikz = 5.619 - 0.719i

5.619

-0.719

3

U :=

-Ikz

×Ze

2

3

U :=

-Ikz

×

(R + 3×RN)×(Z + 3×Rn)

0

3 R + 3×RN + Z + 3×Rn

R

Z

			IA	Iкз1	IAn
			Е	U1
				Рис. 3.20
UT = ( -91.414- 41.757i			143.115+ 50.548i -51.701- 8.791i)
	Ea - U1	U2	U0	( →I )T = ( 1.34
I1 :=	R	I2 := - R	I0 := - R + 3×RN		3.067 1.748)

RZ

U2

Рис. 3.21

1	1	1		Ia
	a2
A := 1		a				:= A×I
		a2		Ib
1	a			Ic

88

Рис. 3.22

Рис. 3.23

Ia

5.568

arg(Ia)

-8.63

1

U

U

U

Ib

=

2.689

deg

×

arg(Ib)

=

168.73

I_1 :=

1

I_2 :=

2

I_0

:=

0

Ic

Z

Z + 3×Rn

2.131

arg(Ic)

68.28

Z

Ina

Ina

0.163

arg(Ina)

-134.54

1

(

¾→ T

Inb := A×I_

Inb

=

2.689

deg

×

arg(Inb)

=

168.73

I_

)

= ( 1.031 1.601 0.553)

Inc

Inc

2.131

arg(Inc)

68.28

arg(IrN)

= 24.55

IrN := Ia + Ib + Ic

IrN

= 4.02

Irn

= 3.092

deg

Irn := Ina + Inb + Inc

arg(Irn)

= 129.41

deg

89

§3.2. Примеры расчёта несимметричных режимов

Поперечная несимметрия (замыкание фазы А на землю) Пример расчета в MathCad

E := 220	w := 100×p		L := 0.3	X := L×w
r := 5	LN := 0.032		Ln := 0.016	ZA := r + i×X	za := j ×X
ZN := j ×w ×LN	Zn := j ×w ×Ln		ZN = 10.053i	Zn = 5.027i
	EA	Za		ZA
	EB	Zb		ZB
ZN	EC	Zc		ZC	Zn

Рис. 3.24

LN×3 = 0.096 Ln×3 = 0.048

Комплексные схемы замещения Пряма последовательность

EA	Za	ZA	EЭ	ZЭ
	U1			U1

Рис. 3.25

Обратная последовательность

	Za	ZA	ZЭ
	U2		U2
		Рис. 3.26
Нулевая последовательность
	Za	ZA	Z0
3ZN	U0	3Zn	U0
		Рис. 3.27

90