ДГМ-3раздел(спектральный анализ)

fmax

ao = (1/T) ∫ T s(t) dt, ak = (2/T) ∫T s(t) cos 2πk f t dt,
0	0
bk = (2/T) ∫T s(t) sin 2πk	f t dt.
0

Количество членов ряда Фурье K = kmax обычно ограничивается максимальными частотами fmax гармонических составляющих в сигналах так, чтобы fmax < K·fp. Однако для сигналов с разрывами и скачками имеет место

→ ∞ , при этом количество членов ряда ограничивается по допустимой погрешности аппроксимации функции s(t).

Одночастотные косинусные и синусные гармоники можно объединить и представить разложение в более компактной форме:

K

s(t) = ∑ Sk cos (2πk f t -ϕk),

k = 0

Sk = ak2 + bk2 , ϕk = arctg (bk/ak).

Рисунок 1.9. Прямоугольный периодический сигнал (меандр). Пример представления прямоугольного периодического сигнала

(меандра) в виде амплитудного ряда Фурье в частотной области приведен на рисунке 1.9. Сигнал четный относительно t=0, не имеет синусных гармоник,

все значения ϕk для данной модели сигнала равны нулю.

С энергетических позиций сигналы разделяют на два типа: с ограниченной (конечной) энергией и с бесконечной энергией.

Для множества сигналов с ограниченной энергией должно выполняться условие:

L2 = {s; ∫∞− ∞ |s(t)|2 dt < ∞}.

О сигналах s(t) данного множества принято говорить, что они интегрируемы с квадратом. Очевидно, что этому множеству могут соответствовать только сигналы, стремящиеся к нулю на бесконечности:

lim s(t) → 0.

|t| ∞

Как правило, к этому типу сигналов относятся апериодические и импульсные сигналы, не имеющие разрывов 2-го рода при ограниченном количестве разрывов 1-го рода. Любые периодические, полигармонические и почти периодические сигналы, а также сигналы с разрывами и особыми

11

точками 2-го рода, уходящими в бесконечность, относятся к сигналам с бесконечной энергией. Для их анализа применяются специальные методы.

Для бесконечных по энергии сигналов, в том числе для периодических, ограничение по энергии может задаваться для определенного интервала (периода) T = t1-t2:

L2(T) = {s; ∫ t2t1 |s(t)|2 dt < ∞}.

Иногда в отдельный класс выделяют сигналы конечной длительности, отличные от нуля только на ограниченном интервале аргументов (независимых переменных). Такие сигналы называют финитными.

С позиций временной динамики сигналы подразделяются на стационарные и нестационарные. Стационарными называются сигналы, частотный спектр которых не изменяется во времени и не зависит от интервала задания сигналов. К ним относятся периодические и почти периодические сигналы. Большинство практических сигналов являются нестационарными на достаточно больших интервалах задания, но могут содержать в своем составе стационарные частотные составляющие. Так, модулированные сигналы радио и телевидения относятся к числу нестационарных, но имеют стационарные несущие частоты.

Типы сигналов

Выделяют следующие типы сигналов, которым соответствуют определенные формы их математического описания.

Рисунок 1.10. Аналоговый сигнал.

Аналоговый сигнал (analog signal) является непрерывной или кусочно-непрерывной функцией y=x(t) непрерывного аргумента, т.е. как сама функция, так и ее аргумент могут принимать любые значения в пределах некоторого интервала y1 ≤ y ≤ y2, t1 ≤ t ≤ t2.

12

Рисунок 1.11. Дискретный сигнал

Дискретный сигнал (discrete signal) по своим значениям также является непрерывной функцией, но определенной только по дискретным значениям аргумента. По множеству своих значений он является конечным

(счетным) и описывается дискретной последовательностью отсчетов y(n t),

где y1 ≤ y ≤ y2, t – интервал между отсчетами (интервал или шаг дискретизации), n = 0, 1, 2,...,N.

Цифровой сигнал (digital signal) квантован по своим значениям и дискретен по аргументу. Он описывается квантованной решетчатой функцией yn = Qk[y(n t)], где Qk – функция квантования с числом уровней квантования k, при этом интервалы квантования могут быть как с равномерным распределением, так и с неравномерным, например – логарифмическим. Задается цифровой сигнал, как правило, в виде дискретного ряда (discrete series) числовых данных – числового массива по последовательным значениям аргумента при t = const, но в общем случае сигнал может задаваться и в виде таблицы для произвольных значений аргумента.

Рисунок 1.12. Цифровой сигнал По существу, цифровой сигнал по своим значениям (отсчетам)

является формализованной разновидностью дискретного сигнала при округлении отсчетов последнего до определенного количества цифр, как это показано на рисунке 1.12.

13

Вопросы для самоконтроля

1.Дайте определение термину «сигнал».

2.С какой целью производится анализ сигналов и каковы возможные задачи анализа сигналов?

3.Что является препятствием для выделения из сигнала информационно значащей составляющей?

4.Каковы виды и причины появления шумов и помех в составе сигналов?

5.Что такое размерность сигнала? Приведите примеры сигналов различных размерностей.

6.В чем отличие спектрального и динамического представления

сигнала?

7.Для чего нужны модели сигналов?

8.Как на основе моделей сигналов классифицируются сигналы?

9.Приведите примеры для сигналов для каждого вида из классификации.

10.На какие типы можно разделить сигналы по признаку непрерывности значений функции и аргумента?

14

Лекция №2 Преобразование Фурье

Структура лекции

1.Разложение сигналов по гармоническим функциям

2.Формы записи гармонических функций

3.Ряды Фурье

4.Тригонометрическая форма рядов Фурье

5.Примеры разложения периодических сигналов в спектр

Введение

Колебательные периодические процессы являются одними из наиболее распространенных в природе и в технике: движение планет в солнечной системе, электромагнитная волна, колебание маятника, колебательные переходные процессы в электрических цепях и в энергосистемах и так далее. Вопросом периодичности колебательных процессов занимался еще Пифагор в VI веке до нашей эры. Однако лишь в начале XVIII в теории колебательных процессов была предана некоторая стройность. Сначала гипотеза о том, что произвольные периодические функции представляют собой суммы простейших гармонических функций была подтверждена в трудах ученых в начале XVIII века, а в 1807 г. Жан Батист Фурье обосновал метод разложения периодические функции в сумму простейших гармонических – ряд Фурье.

На первых этапах своего развития данное математическое направление имело в основном теоретический характер и его стало распространяться на произвольные функции с бесконечным периодом. Гармонический анализ применялся в естественных науках для выявления и изучения состава периодических составляющих в различных природных явлениях и процессах. Широкое практическое применение преобразование периодических функций получило с появлением электротехнических и радиотехнических отраслей науки и техники.

На сегодняшний день математический аппарат спектрального преобразования функций стал основным инструментом анализа и синтеза сигналов и систем.

1. Разложение сигналов по гармоническим функциям

Ряды Фурье представляют собой ряды тригонометрических коэффициентов, которым любую периодическую функцию, определенную на

15

интервале одного периода T, можно отображать с абсолютной точностью (при бесконечном числе членов ряда) или аппроксимировать с заданной точностью (при ограничении числа членов ряда). Условием разложения функции в ряд является условие Дирехле: на интервале разложения функция должна быть ограничена, непрерывная или кусочно-непрерывна, с конечным числом разрывов 1-го рода.

Ряды Фурье произвольных периодических функций могут содержать бесконечно большое количество членов, при этом, для рядов Фурье ограниченной длины добавление каждого последующего значащего члена обеспечивает уменьшение среднеквадратической ошибки и приближение к исходной функции.

Разложение функций в ряды Фурье является основой спектрального анализа, часто называемого частотным анализом. Термин "частотный" обязан происхождением обратной переменной f = 1/|t| временного представления сигналов и функций (смотрите лекцию 1 раздела 3). В математическом аппарате спектрального анализа удобно использовать угловую частоту ω = 2πf.

Разложение сигнала на гармонические функции получило название прямого преобразования Фурье, а обратный процесс восстановления

(синтеза) сигнала по гармоникам – обратным преобразованием Фурье.

2. Формы записи гармонических функций

Понятие собственных функций. Удобство использования частотного представления сигналов заключается в том, что гармонические функции являются собственными функциями операций переноса, интегрирования, дифференцирования и других линейных операций, инвариантных по координатам. Они проходят через линейные системы без изменения формы и частоты гармоники, изменяется только начальная фаза и амплитуда колебаний.

Допустим, что сигнал является линейной комбинацией функций синуса и косинуса:

s(х) = А sin(х)+B cos(х).

Сдвинем сигнал по аргументу на величину h. При этом получаем: s(х+h) = C sin(х)+D cos(х),

C = А cos(h) – B sin(h), D = A sin(h) + B cos(h),

где коэффициенты C и D, как и в исходном выражении коэффициенты А и В, не зависят от аргумента, при этом C2+D2 = А2+В2. Таким образом, при произвольном переносе функции по аргументу (а равно и при

16

интегрировании, дифференцировании и других линейных преобразованиях) любую линейную комбинацию синуса и косинуса можно представить линейной комбинацией этих же функций.

Рисунок 2.1. Представление гармонической функции времени в полярной системе координат

Экспоненциальная комплексная запись гармонических функций

делает это свойство еще нагляднее. Для произвольной гармонической функции имеем:

cos(ωt-ϕ) = A cos(ωt)+B sin(ωt),

где A = cos(ϕ), B = sin(ϕ), ϕ – начальный фазовый угол колебания при t = 0. Переходя к комплексной записи данной функции с использованием тождеств Эйлера

cos(ωt) = [ехр(jωt)+exp(-jωt)]/2, sin(ωt) = [ехр(jωt)-exp(-jωt)]/2j,

получаем:

cos(ωt-ϕ) = C exp(jωt)+C*exp(-jωt),

где: C = 0,5 exp(-jϕ), C* = 0,5 exp(jϕ) – величина, комплексно сопряженная с С. Применяя в качестве гармонической составляющей разложения сигнала функцию ехр(jωt), можно рассматривать вторую функцию ехр(-jωt), комплексно сопряженную с первой, как такую же составляющую, но с отрицательной частотой. Естественно, что отрицательная частота является математической абстракцией, но нужно помнить, что пара таких комплексно сопряженных составляющих в сумме всегда дает вещественную функцию, т.е. является отображением (образом) вещественной функции в новом математическом пространстве, базисом которого являются комплексные экспоненциальные функции.

Экспоненциальные функции также являются собственными функциями линейных операций. Для операции переноса по аргументу:

exp[jω(t+h)] = exp(jωh)·exp(jωt) = H(ω) exp(jωt),

где Н(ω) = exp(jωh) – собственное значение операции переноса, независимое от переменной.

Для операции дифференцирования:

d[exp(jωt)]/dt = jω exp(jωt), H(ω) = jω.

Для операции интегрирования:

17

∫exp(jωt) dt = (1/jω) exp(jωt), H(ω) = 1/jω.

Вобщей форме, для любых линейных операций преобразования:

Т[exp(jωt)] = H(ω) exp(jωt),

где T[.] – произвольный линейный оператор, H(ω) – собственное значение операции, независимое от аргумента.

У специалистов существует предубеждение против использования комплексных функций с их мнимыми частотами. Поэтому в дальнейшем будем использовать и вещественные функции, и их комплексные аналоги, по крайней мере, до тех пор, пока простота и удобство использования последних не станет очевидными.

3. Ряды Фурье

Разложению в ряды Фурье подвергаются периодические сигналы. Периодическую функцию любой формы, заданную на интервале одного периода и удовлетворяющую на этом интервале условиям Дирехле, можно представить в виде ряда Фурье:

	∞
s(t) =	∑ Sn exp(jnΔωt), Sn = S(nΔω), Δω = 2π/T,
	n = − ∞
где весовые коэффициенты Sn ряда определяются по формуле:
	Sn = (1/T) ∫b s(t) exp(-jnΔωt) dt.
	a
Ряд Фурье	представляет собой набор комплексных экспонент

exp(jnΔωt) с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Функцию весовых коэффициентов S(nΔω) принято называть комплексным спектром периодического сигнала или фурье-образом функции s(t). Спектр периодического сигнала является дискретной функцией, т.к. он определен только для целых значений n с шагом по частоте, обратным периоду: Δω = 2π/Т (или f = 1/T). Первую частотную составляющую спектра при n = 1,

равную ω1 = 1Δω = 2π/T (или f1 = 1/T), называют основной частотой сигнала

(первой гармоникой), остальные частоты дискретного спектра nΔω при n>1

называют гармониками сигнала. Значения S(n ω) по положительным и отрицательным значениям n являются комплексно сопряженными. Шаг по частоте Δω между двумя соседними синусоидами называется частотным разрешением спектра.

С чисто математических позиций множество функций exp(jnΔωt), -∞ < n < ∞ образует бесконечномерный базис линейного пространства L2[a,b] ортогональных синус-косинусных функций, а коэффициенты Sn

18

представляют собой проекции сигнала s(t) на эти базисные функции. Соответственно, сигнал s(t) в форме ряда Фурье – это бесконечномерный вектор в пространстве L2[a,b], точка с координатами Sn по базисным осям пространства exp(jnΔωt).

Коэффициенты Sn в отображают функцию s(t) в новое пространство единственным образом. Если функция s(t) непрерывна, то ряд сходится равномерно к s(t), при этом ошибка аппроксимации |s(t)-sN(t)| функции s(t) с усечением ряда до ±N членов меньше ошибки аппроксимации любым другим рядом с тем же количеством членов. Если s(t) не является непрерывной (имеет разрывы), но конечна по энергии (квадратично интегрируема), то ошибка аппроксимации |s(t)-sN(t)| стремится к нулю при N → ∞, при этом в точках разрыва сумма ряда стремится к (s(t+)+s(t-))/2.

Подынтегральную функцию экспоненты в выражении с использованием тождества Эйлера

exp(±jωt) = cos(ωt) ± jsin(ωt)

можно разложить на косинусную и синусную составляющие и выразить комплексный спектр в виде действительной и мнимой части:

Sn = (1/T) ∫ba s(t) [cos(nΔωt) - j sin(nΔωt)] dt = Аn - jBn. An ≡ A(nΔω) = (1/T) ∫ba s(t) cos(nΔωt) dt,

Bn ≡ B(nΔω) = (1/T) ∫ba s(t) sin(nΔωt) dt.

На рисунке 2.2 приведен пример периодического сигнала (прямоугольный импульс, повторяющийся с периодом Т=40), а на рисунке 2.3 форма действительной и мнимой части его спектра. Обратим внимание, что действительная часть спектра является четной относительно нуля функцией A(nΔω) = A(-nΔω), так как при вычислении значений A(nΔω)

используется четная косинусная функция cos(nΔωt) = cos(-nΔωt). Мнимая часть спектра является нечетной функцией B(nΔω) = -B(-nΔω), так как для ее вычисления используется нечетная синусная функция sin(nΔωt) = -sin(-nΔωt).

Рисунок 2.2. Периодический прямоугольный сигнал

19

Рисунок 2.3. Комплексный спектр периодического прямоугольного сигнала

Комплексные числа дискретной функции могут быть представлены в виде модулей и аргументов комплексной экспоненты, что дает следующую форму записи комплексного спектра:

Sn = Rn exp(jϕn),

Rn2 ≡ R2(nΔω) = A2(nΔω)+B2(nΔω), ϕn ≡ ϕ(nΔω) = arctg(-B(nΔω)/A(nΔω)).

Модуль спектра R(nΔω) называют двусторонним спектром амплитуд или амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) сигнала, а аргумент спектра (последовательность фазовых углов ϕ(nΔω)) – двусторонним спектром фаз или фазочастотной характеристикой (ФЧХ). Спектр амплитуд всегда представляет собой четную функцию: R(nΔω) = R(-nΔω), а спектр фаз нечетную: ϕ(nΔω) = -ϕ(-nΔω). Пример спектра в амплитудном и фазовом представлении для сигнала, показанного на рисунке 2.2, приведен на рисунке 2.4. При рассмотрении спектра фаз следует учитывать периодичность 2π угловой частоты (при уменьшении фазового значения до величины менее -π происходит сброс значения -2π).

Рисунок 2.4. Модуль и аргумент спектра.

Если функция s(t) является четной, то все значения B(nΔω) равны нулю, т.к. четные функции ортогональны синусным гармоникам и подынтегральное произведение s(t)·sin(nΔωt) дает нулевой интеграл. Следовательно, спектр функции будет представлен только вещественными коэффициентами. Напротив, при нечетности функции s(t) обнуляются все

20