ДГМ-3раздел(спектральный анализ)

частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности.

Для функций мощности взаимодействия сигналов в частотной области соответственно имеем частотные спектры мощности взаимодействия сигналов:

Wxy(f) = X(f) Y*(f),

Wyx(f) = Y(f) X*(f),

Wxy(f) = W*yx(f).

Функции мощности взаимодействия сигналов комплексные, даже если обе функции x(t) и y(t) вещественны, при этом Re[Wxy(f)] - четная функция, а Im[Wxy(f)] - нечетная. Отсюда полная энергия взаимодействия сигналов при интегрировании функций мощности взаимодействия определяется только реальной частью спектра:

Exy = (1/2π) ∫∞− ∞ Wxy(ω) dω = (1/π) ∫∞− ∞ Re[Wxy] dω,

и всегда является вещественным числом.

4.11. Равенство Парсеваля. Полная энергия спектра сигнала:

Es = ∫∞	W(f) df = ∫∞	|S(f)|2 df.	(4.12)
− ∞	− ∞

Так как координатное и частотное представление по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала, то равной должна быть и энергия сигнала в двух представлениях, откуда следует равенство Парсеваля:

∫∞− ∞ |s(t)|2 dt = ∫∞− ∞ |S(f)|2 df,

т.е. энергия сигнала равна интегралу модуля его частотного спектра – сумме энергий всех частотных составляющих сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия сигналов:

∫∞− ∞ x(t) y*(t) dt = ∫∞− ∞ X(f) Y*(f) df.

Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:

x(t),y(t) = X(f),Y(f) , ||x(t)||2 = ||X(f)||2.

Не следует забывать, что при представлении спектров в круговых частотах (по ω) в правой части приведенных равенств должен стоять множитель 1/2π.

41

Вопросы для самоконтроля

1.Перечислите свойства, которыми обладает преобразование Фурье.

2.Как сумма сигналов преобразуется в частотную область?

3.Как влияет четность и нечетность функции на характер спектра?

4.Как преобразуется свертка и производная свертки?

5.Дайте определение спектру мощности.

6.Следствием какого свойства является инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье?

Основная учебная литература

1.Цифровая обработка сигналов [Электронный ресурс]: учебное пособие / Е. В. Якимов, Г. В. Вавилова, И. А. Клубович; Томский политехнический университет (ТПУ). – 1 компьютерный файл (pdf; 2.8 MB). – Томск: Изд-во ТПУ, 2008. – Электронная версия печатной публикации. – Доступ из корпоративной сети ТПУ.

Схема доступа: http://www.lib.tpu.ru/fulltext2/m/2010/m269.pdf

2.Ряды и комплексный анализ [Электронный ресурс]: учебное пособие / Е.А. Молдованова, А.Н. Харлова, В.В. Ласуков; Томский политехнический университет (ТПУ). – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. Ч. 1: Ряды. – 1 компьютерный файл (pdf; 673 KB). – Электронная версия печатной публикации. – Доступ из корпоративной сети ТПУ.

Схема доступа: http://www.lib.tpu.ru/fulltext2/m/2009/m63.pdf

42