FNP

170 Индивидуальные задания

15.10. Показать, что заданная функция z = x4x+y + y5x+y удовлетворяет равенству

∂2z − 2 ∂2z + ∂2z = 0, ∂x2 ∂x∂y ∂y2

и преобразовать это уравнение, приняв u = x + y + 1, v = x − y + 2 за новые независимые переменные.

15.11. Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом,

1

вычислить приближ¨енно: а) (3,03)2 − (4,98)2 ; б) значение неявной функции 2) из задачи

15.6при x = 1,03, y = 0,98.

15.12.Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной

точке:

2√x+

√y2

2

√z2

+x

1) z = x2 + y2 + 2x + y − 1, M0(−1, 2, 4); 2)

√

3

−

3

= 0, M0(1, 1, 1).

√

+ 3

z3

+ x

y2

x

15.13.Для функции f (x, y) = ex2y/x4 найти ∂5f/∂x∂y4, полученный результат продифференцировать по направлению вектора ı + 2j.

15.14.Найти экстремумы функции

z = 2x3 − xy2 + 5x2 + y2		y2		z2	2
	w = x +		+		+		, x > 0, y > 0, z > 0.
		4x		y		z

15.15.Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = 2x2 + y2 − x в замкнутой области D : x2 + y2 1, x + y −1, x 0.

15.16.Найти производную скалярного поля u = x2 + arctg(z + y) в точке M(2, 1, 1)

по направлению вектора e = 3j − 4k, полученный результат продифференцировать по
направлению вектора , перпендикулярного e				и k.
15.17. Найти угол между градиентами функций
	y3						√
		2		3		−		6
u =		, v =		+
	x2z		x		2y		4z

в точке M( 2/3, 3/2, 1/2).

Вариант № 16

16.1. Найти область определения функции и изобразить е¨е:

1) z = cos π(x2 + y2); 2) u = ln(3 − x2 − 6y2 − 9z2).

16.2.Построить график функции z = (y − 1)2 + x2.

16.3.Найти пределы: а) по направлению прямой, составляющей угол α = π/4 к оси Ox; б) оба повторных и в) двойной в указанной точке M0(x0, y0) для функции

	sin(xy)				2 y/(x2y+xy2)
1) z =		, M0(0, a);	2) z = (1 + xy )			, M0(0, 3).
	x
16.4. Показать, что функция			x sin y ,		y = 0;
		f (x, y) =
			1
			0,		y = 0

Задания для самоконтроля

171

непрерывна по каждой переменной, но разрывна по их совокупности.

16.5. Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы следующих функций:

	1) z = x sin			1	+ y sin		1	;	2) u =	ln y − ln sin x	,
										cos2 z
				y			x
и функций из заданий 16.1, 16.2, 16.3.
16.6. Определяют ли данные уравнения
1) y sin2		y3				2) ez/y + cos x − 2xy2z = 2, M0(0, 1, 0),
	πx +		= 1, M0(1, 1);
		x

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то найти их производные в этой точке.

16.7.Найти производную и дифференциал сложной функции z = v37ln 2uw , где u = (1 − x)2, v = (4x − 1), w = πx.

16.8.Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции z = ln tg uw , где u = cos(xy), v = ln(x2/y), w = (x/y)x.

v

16.9.Для функции z = arctg x + √y найти dz, d2z, d3z и записать е¨ разложение по

формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(1, 4). 16.10. Показать, что функция u удовлетворяет равенству

u = x4ϕ x2		, x3		, x∂x		+ 2y ∂y		+ 3z ∂z = 4u,
	y		z		∂u		∂u		∂u

и преобразовать это уравнение, приняв r = x + z + 1, s = x + 2y + 2, t = y + 2z за новые независимые переменные.

16.11. Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом,

вычислить приближ¨енно: а) arctg (1,04)2 ; б) значение неявной функции 2) из задачи

16.6 при x = 0,02, y = 1,02.

0,98

16.12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной

точке:

1) z = x2 + 2yx + 3y2, M0(1, 0, 1); 2)

exp(x/z)

exp(y/z)

−

√

= 0, M0(1, 1, 1).

y

4

+ z

5

x

4

+ z

5

x

∂4f

16.13. Для функции

f (x, y) = ln

найти

, полученный результат про-

x2 + y2

∂x∂y3

дифференцировать по направлению вектора 3ı + j. 16.14. Найти экстремумы функции

z = x2 + y2 − 2x − 4√xy − 2y + 8, w = xy2z3(1 − x − 2y − 3z).

16.15.Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = 4x2 − 3y2 − 13y в замкнутой области D : x2 + y2 1, x + y −1, y 0.

16.16.Найти производную функции

	x2			y2			z2
u =			+			+
	a	2		b	2		2
							c

в точке M(a, b, c) в направлении радиуса-вектора r этой точки, полученный результат

продифференцировать по направлению вектора , перпендикулярного .

r + ı

16.17. Найти точки, в которых градиент скалярного поля u = ln(x + 1/y) равен

	−	16	j.
вектору = ı		9

172	Индивидуальные задания

Вариант № 17

17.1. Найти область определения функции и изобразить е¨е:

	1) z = arcsin	y − 1	; 2) u =	4x	.
		x		x + y + z − 2

17.2. Построить график функции z = − 4 − (y − 2)2 + x2.

17.3. Найти пределы: а) по направлению прямой, составляющей угол α = π/4 к оси Ox; б) оба повторных и в) двойной в указанной точке M0(x0, y0) для функции

	1) z = (1 + x2y2)−1/(x2+y2), M0(0, 0); 2) z =	tg 2xy	, M0(1, 0).
		x2y

17.4. Исследовать на непрерывность в точке (0, 1) функцию

f (x, y) =		x	, x = 0;
		sin xy
		1,	x = 0.

17.5. Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы следующих функций:

				z
	1) z = y ln x; 2) u = arcsin3				+ z3x,
				x + y

ифункций из заданий 17.1, 17.2, 17.3.

17.6.Определяют ли данные уравнения

1) e−xy + x + 1 = 2, M0(0, 1); 2) arcsin 3(z + x) = x2 − 3y + z, M0(1, 0, −1), y2

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то найти их производные в этой точке.

sin √

17.7. Найти производную и дифференциал сложной функции z =

uvw

, где

cos(u − v)

3

1

√

x

u = (x − 1)

, v =

, w = e + cos x.

x − 1

17.8. Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции z =

2x

(1 + u2) ln vw, где u =

, v = 3x − y, w = xπ−y.

y

17.9. Для функции z = arcsin(xy) − 3xy2 найти dz, d2z, d3z и записать е¨ разложение по формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(1, −1).

17.10. Показать, что функция z = ex/y удовлетворяет равенству

∂	x2	∂z	− y2	∂2z	= 0,
∂x		∂x		∂y2

и преобразовать это уравнение, приняв u = 2 − x + 2y, v = 2 − y за новые независимые переменные.

17.11. Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом,

2,03

вычислить приближ¨енно: а) (2,03)4 + (2,97)2 ; б) значение неявной функции 2) из задачи 17.6 при x = 0,98, y = 0,02.

Задания для самоконтроля

173

17.12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной

точке:

1) z = x2 + y2 + 6x + 3y, M0(1, 2, 3);

2)

exp( 3

x3/z2)

exp(

4 y4/z3)

(1, 1, 1).

= 0, M0

− −

3

3 y + z4

− √x + z3

17.13.Для функции f = exy2 /y4 найти ∂5f /∂x4∂y, полученный результат продифференцировать по направлению вектора ı + 3j.

17.14.Найти экстремумы функции

z = 2xy − 4x − 2y, w = x +	y			z		t	2
			+		+		+		, x, y, z, t > 0.
	x			y		z		t

17.15.Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x2 + xy − 3x − y в замкнутой области D: 0 x 2, 0 y 3.

17.16.Найти производную поля u = x2 + y3 − z4 в точке M(2, 3, 4) по направлению вектора e, образующего с координатными осями тупые углы α, β, γ, прич¨ем α = 135◦,

◦, полученный результат продифференцировать по направлению вектора , пер-

γ = 120

пендикулярного e и j.

17.17. Найти направление и величину наибольшего изменения функции u = xyz в точке M0(2, 1, −1).

Вариант № 18

18.1. Найти область определения функции и изобразить е¨е:

1) z = ln(3x2		y2);	2) u =	1 − x − y .
	−			√
					z − 4

18.2.Построить график функции z = 2x − x2 − y2 − 1.

18.3.Найти пределы: а) по направлению прямой, составляющей угол α = π/4 к оси Ox; б) оба повторных и в) двойной в указанной точке M0(x0, y0) для функции

2/(x2	+xy)	, M0	(0, 2); 2) z = e	xy/(4xy+5)	, M0	(∞, ∞).
1) z = (1 + xy)

18.4. Исследовать на непрерывность функцию

f (x, y) =	1,		2 x2y2	x = y = 0.
	(x	2		, x	2	+ y	2	> 0;
			+ y )

18.5. Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы следующих функций:

	1) z = arccos	x − y	;	2) u = ctg	xy	−	ln3	(xy),
		2x			z

ифункций из заданий 18.1, 18.2, 18.3.

18.6.Определяют ли данные уравнения

	x2		x + y
1) arctg		− x3y2 − 5y = 5, M0(0, −1); 2) ex+y−z +		= 2, M0(1, 1, 2),
	y		z

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то найти их производные в этой точке.

174

Индивидуальные задания

√

,

u

2

v

2

18.7.

Найти производную и дифференциал сложной функции z = arcsin 1

−

−

3

w

где u = lg x , v = (x + 3)/√x, w = logπ x.

w

18.8. Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции z =

u

, где u = (x + y) , v = sin(32x −

2

,

3

2

.

3

√

2v

2

2y)

w = arctg(x + 3y)

18.9. Для функции z = cos(x − y ) + x найти dz, d z, d z и записать е¨ разложение

по формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(−1, 1).

18.10. Показать, что функция z удовлетворяет равенству

1

∂

∂z

∂2z

z =

sin(x − y),

x2

− x2

= 0,

x

∂x

∂x

∂y2

и преобразовать это уравнение, приняв u = y + 1, v = 2x + y − 2 за новые независимые переменные.

18.11.Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом, вычислить приближ¨енно: а) √3,98(1,03)3,98; б) значение неявной функции 2) из задачи

18.6при x = 1,03, y = 0,97.

18.12.Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной

точке:

1) z = x2 + 3xy − 6y, M0(1, −2, 10); 2) x√ze√xy2 − zye√zx2 = 0, M0(1, 1, 1).

18.13.Для функции f (x, y) = ln(x3 + 2x2y + xy2) найти ∂5f/∂x∂y4, полученный результат продифференцировать по направлению вектора 5ı + j.

18.14.Найти экстремумы функции

z= 3x2 − 2x√y + y − 8x + 8, w = xyz(1 − x − y − z), x, y, z > 0.

18.15.Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = 3x2 − y2 − y в замкнутой области D : x2 + y2 1, x − y 1, y 0.

18.16. Найти производную скалярного поля u = (x − 1)2 + y2 + z2 в точке M(0, 0, 0) по направлению оси Oy, полученный результат продифференцировать по направлению

вектора .

= ı + k

18.17. Найти наибольшую скорость возрастания поля u = ln(x2+4y2) в точке M(6, 4, 1).

Вариант № 19

19.1. Найти область определения функции и изобразить е¨е:

	x + y + 4z
1) z = ln(xy); 2) u =		.
	x2 + y2 + z2 − 4

19.2.Построить график функции 4 − (x − 2)2 − y2.

19.3.Найти пределы: а) по направлению прямой, составляющей угол α = π/4 к оси Ox; б) оба повторных и в) двойной в указанной точке M0(x0, y0) для функции

1		y3	/(x2+y2)		xy + 4
1) z = 1 +				, M0(1, ∞); 2) z =			, M0(−2, −2).
	y				(2 − x)(2 + y) + sin(x + y)

19.4.Исследовать на непрерывность функцию

x + y f (x, y) = x2 + y3 .

19.5.Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы следующих функций:

1)z = (2x + y)x+2y; 2) u = zx ln(4x + y3z),

Задания для самоконтроля

175

ифункций из заданий 19.1, 19.2, 19.3.

19.6.Определяют ли данные уравнения

1) arcsin xy +	x2 + 1	= 1, M0(0, 1); 2)	x		= ln	z	+ 1, M0(1, 1, 1),
	y3		z			y

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то найти их производные в этой точке.

19.7. Найти производную и дифференциал сложной функции z = ln3(uv3 + πw), где

√

u= x +x1 , v = tg x2, w = sin(xx).

19.8.Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции z = ctg u/vw, где u = x3y2, v = x + 2y + 1, w = tg xy.

19.9.Для функции z = 5xy2 − 3x3y4 найти dz, d2z, d3z и записать е¨ разложение по формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(−1, −1).

19.10. Показать, что функция z = x exp[−(x2 + y2)/2] удовлетворяет равенству

∂2z		∂z
	+ y		+
∂x∂y		∂x

и преобразовать это уравнение, приняв u = переменные.

x∂y∂z + xyz = 0,

x− y + 1, v = y − x + 2 за новые независимые

19.11.Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом, вычислить приближ¨енно: а) (1,03)−3,05; б) значение неявной функции 2) из задачи 19.6 при x = 1,01, y = 0,98.

19.12.Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной

точке:

√

z√

2

yz3

x

√xe

1) z = 3x

− xy + x + y, M0

(1, 3, 4); 2)

−

√ye

= 0, M0

(1, 1, 0).

19.13. Для функции f = x3 + xy найти ∂4f /∂x∂y3, полученный результат продифференцировать по направлению вектора 5ı − j.

19.14. Найти экстремумы функции

1

x2

y2

z2

z = 3x + 6y − x2 − xy − y2, w =

+

+

+

, x, y, z > 0.

x

y

z

4

19.15. Найти

наибольшее и наименьшее значение функции z = 2x2

−

3y2 + 8x в

2

2

1, x + y −1, x 0.

замкнутой области D : x

+ y

19.16. Найти производную скалярного поля u =

(x − 1)2 + y2 + z2

в точке M(0, 0, 0)

по направлению оси

Ox

, полученный результат

продифференцировать по направлению

вектора = j + k.

19.17. Определить, в каких точках поверхности S: x2				+ y2/5 − z2	= 1 нормаль к ней
	√
параллельна вектору = (2,	5, 2).

Вариант № 20

20.1. Найти область определения функции и изобразить е¨е:

1)	√		ln(y2 − x2); 2) u = arccos(x2 + y2 + z2 − 6).
		x + y
				x2		y2
20.2. Построить график функции z =					+		.
	4				2

√

w v), где

176	Индивидуальные задания

20.3. Найти пределы: а) по направлению прямой, составляющей угол α = π/4 к оси Ox; б) оба повторных и в) двойной в указанной точке M0(x0, y0) для функции

1			x2/(x+y)					sin(xy2) + (x 1)2
1) z = 1 +			, M0(∞, 1);			2) z =			−		, M0(1, 0).
	x								y2 + (ln x)2
20.4. Показать, что функция
				x2		xyz
			f (x, y, z) =		,			y2	+ z2	= 0
				x2	+ y2 + z2 , y2				+ z2	= 0;

терпит разрыв в точке (1, 0, 0), являясь непрерывной вдоль прямой x = 1, y = 0.

20.5. Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы следующих функций:

1			x2	/(3+y)	; 2) u = x2 arcsin	z	+ ln z,
1) z = 1 +
	x					z + y

ифункций из заданий 20.1, 20.2, 20.3.

20.6.Определяют ли данные уравнения

1) 5sin y + 3cos x = 4, M0(0, 0); 2) ex2−1 − yez2−1 + z = 1, M0(1, 1, 1),

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то найти их производные в этой точке.

20.7. Найти производную√и дифференциал сложной функции z = tg4(u −

u = ln3 x, v = 1/(ln3 x), w = x x.

20.8. Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции z =

(u − 2v)/u3w, где u = x tg y, v = y − ex, w = (x/y)y .

2 3

и записать е¨ разложение по

20.9. Для функции z = arctg(2x − y) найти dz, d z, d z

формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(1, 1).

20.10. Показать, что заданная функция z удовлетворяет равенству

√

y

∂2z

∂2z

∂2z

z = x

x + y + √

,

−

2

+

= 0,

∂x2

∂x∂y

∂y2

x + y

и преобразовать это уравнение, приняв u = 0,5x − y + 3, v = y − 1,5x − 2 за новые независимые переменные.

20.11. Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом,

вычислить приближ¨енно: а) 4 (2,02)2 + (2,99)2 + 3; б) значение неявной функции 2) из задачи 20.6 при x = 1,02, y = 1,03.

20.12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке:

1) z = x2 + xy + y2, M0(2, −1, 3); 2) x2√yexz − z2√xey√z = 0, M0(1, 1, 1).

20.13. Для функции f (x, y) = x3 + xy найти ∂4f/∂x2∂y2, полученный результат продифференцировать по направлению вектора ı + 5j.

20.14. Найти экстремумы функции

z= ex/2(x + y2); w = x3 + y2 + z2 + 12xy + 2z.

20.15.Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x22 − xy в замкнутой области D: y = 2x2, y = 8.

Задания для самоконтроля

177

20.16. Найти производную скалярного поля u = ln(3 − x2) + xy2z в точке M(1, 3, 2)

по направлению вектора e = −ı + 2j − 2k, полученный результат продифференцировать
по направлению вектора , перпендикулярного e и ı.					= 1 нормаль к ней
20.17. Определить, в каких точках поверхности S: x2				+ y2/7 + z2
	√
параллельна вектору = (0, 1,	2).

Вариант № 21

21.1. Найти область определения функции и изобразить е¨е:

5√

1) z =

x −

√

; 2) u =

z

.

y

1

−

x2

y2

−

z2

−

21.2. Построить график функции z = 4x2 + y2.

21.3. Найти пределы: а) по направлению прямой, составляющей угол α = π/4 к оси Ox; б) оба повторных и в) двойной в указанной точке M0(x0, y0) для функции

1) z = ln

4xy + 5

, M ( ,

∞

); 2) z =

(4x − y)2

, M (0, 0).

xy

0 ∞

sin x4 + 3 sin y4

0

21.4. Указать значение параметра

p

, при

котором функция

f (x, y) =

x2

+ y2

x2

− y2

, x2 + y2 > 0;

p,

x = y = 0,

непрерывна: 1) по x; 2) по y в точке (0, 0).

21.5. Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы

следующих функций:
		x2	+ y2				xy
1) z = arcsin		x2	− y2		;	2) u = ysin x + tg3	z	,

и функций из заданий 21.1, 21.2, 21.3.

21.6.Определяют ли данные уравнения

1)tg(4x − y2) + 5x + 6y = 17, M0(1, 2); 2) x2 + y2 + xz2 + zy5 = 6, M0(0, 1, 1),

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то найти их производные в этой точке.

w

, где u =

√

21.7. Найти производную и дифференциал сложной функции z = √uv2

3x + 1

/x,

v = tg 3x, w = xcos x.

2

21.8. Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции z =

w√

4u

5v

3

, где u = sin

2

(xy), v = cos(x

y), w =

√

y

.

−

−

x2

найти dz, d2z, d3z и записать е¨ разложение

21.9. Для функции z =

x2 + y2 − 2xy

по формуле Тейлора в

точке до 3-го порядка в точке M(0, 1).

21.10. Показать, что заданная функция z удовлетворяет равенству:

y

y

2

∂2z

∂2z

2

∂2z

z = cos

+ x sin

, x

+ 2xy

+ y

= 0,

x

∂x2

∂x∂y

∂y2

x

и преобразовать это уравнение, приняв u = x+2y +2, v = x+y −1 за новые независимые переменные.

178 Индивидуальные задания

21.11. Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом,

вычислить приближ¨енно: а) (4,05)2e1−(1,02)2 ; б) значение неявной функции 2) из задачи 21.6 при x = 0,02, y = 0,98.

21.12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной

точке:

cos √

cos √

x − z

1) z = 2x2 + 3xy + 4y2, M (0, 1, 4);

2)

y − x

= 0, M (1, 1, 1).

0

√

+ √

− z + 2√

yx

0

x

yz

21.13. Для функции f = x3 + 2xy найти ∂4f /∂x∂y3, полученный результат продифференцировать по направлению вектора ı − 5j.

21.14. Найти экстремумы функции

z= x2 − xy − y2; x2 + y2 + z2 − 2x + 2y − 4z − 10 = 0.

21.15.Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x2 + 2xy + 4x − y2 в замкнутой области D: x = 0, y = 0, x + y + 2 = 0.

21.16. Найти производную скалярного поля u =

(x − 1)2 + y2 + z2

в точке M(0, 0, 0)

по направлению вектора

результат продифференцировать по

= (1, 1, 1)

, полученный

направлению вектора 1, перпендикулярного

и j.

21.17. Найти угол между градиентами функции

yz2

x3

3

√

3

u =

, v =

+ 6y

+ 3 6z

x2

2

√

√

√

в точке M(

2, 1/

2, 1/

3).

Вариант № 22

22.1.Найти область определения функции и изобразить е¨е:

1)z = ln(x2 + y2 − 1); 2) u = arcsin(x + y + z − 4).

22.2. Построить график функции z = 1 −

x2

y2

−

.

4

9

22.3. Найти пределы: а) по направлению прямой, составляющей угол α = π/4 к оси

Ox; б) оба повторных и в) двойной в указанной точке M0(x0, y0) для функции

1) z =

e−1/(x4+3y4)

, M0(0, 0);

2) z = (x2 + y2) sin

1

, M0(0, 0).

2x2 + y2

xy

22.4. Исследовать на непрерывность функцию

f (x, y) = 0,

x2

xy

x = y = 0.

+ y2

sin

,

x2 + y2 > 0;

22.5. Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы

следующих функций:
	4	− 2				2y
1) z = ln ctg	x		y	;	2) u = e2z arctg3	x − 1	,

и функций из заданий 22.1, 22.2, 22.3.

Задания для самоконтроля

179

22.6. Определяют ли данные уравнения

1)

x − 4

+ cos(xy) + 3 = 0, M (0, 1);

2) z

−

x

−

ln

y

= 1, M (1, 1, 2),

y

z

x

0

−

0

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то найти их производные в этой точке.

	u
	√
22.7. Найти производную и дифференциал сложной функции z =		v + sin w	, где
u = x arctg x, v = sin(x2 + 1), w = ln(x/(x + 1)).

22.8. Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции z =

w sin(uv), где u = (ln 4x)/y, v = 6x + y, w =

√x2

y

22.9. Для функции z = cos(3x + y) − x2 найти. dz, d2z, d3z и записать е¨ разложение

по формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(1, −3).

22.10. Показать, что заданная

функция z = y

y/x

удовлетворяет равенству

2

∂2z

2

∂2z

x

− y

= 0,

∂x2

∂y2

и преобразовать это уравнение, приняв u = x+2y +2, v = x−y −1 за новые независимые переменные.

22.11. Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом,

вычислить приближ¨енно: а) arctg 0,98 ; б) значение неявной функции 2) из задачи

(1,02)2

22.6при x = 1,02, y = 0,98.

22.12.Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной

точке:

cos(x2 − z√

)

1

2

2

y

1) z = x

− y

− 2x + y, M0

(3, −3, −9); 2)

1 + √

−

√

+

√

= 0, M0(1, 1, 1).

z

x

y

22.13.Для функции f = x5 cos(y/x) найти ∂4f/∂x∂y3, полученный результат продифференцировать по направлению вектора 4ı + j.

22.14.Найти экстремумы функции

z= x2 − xy + y2; w = x1x22x33(24 − x1 − 2x2 − 3x3), xi > 0.

22.15.Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = 2x2 + 2xy − y22 − 4y в замкнутой области D: y = 2x, y = 2, x = 0. √

22.16.Найти производную функции z = arctg(y/x) в точке M(1/2, 3/2), принадле-

жащей окружности x2 + y2 − 2x = 0, по направлению нормали n к этой окружности,

полученный результат продифференцировать по направлению вектора , перпендику-

лярного n и ı.

22.17. Найти точки скалярного поля u = (x2 + y2)3/2, в которых модуль градиента равен 2.

Вариант № 23

23.1. Найти область определения функции и изобразить е¨е:

		1
	1) z =		;	2) u = cos(x2 + y2 + z2).
		ln(1 − x2 − y2)
	23.2. Построить график функции z =						.
					1 − (x2/4) + y2