FNP

180	Индивидуальные задания

23.3. Найти пределы: а) по направлению прямой, составляющей угол α = π/4 к оси Ox; б) оба повторных и в) двойной в указанной точке M0(x0, y0) для функции

1) z =	(x + y)2		, M (0, 0);	2) z =	ln(x3 + y3) − 4 ln 2			, M (2, 2).
	x4 + y4		0		x3 + y3 − 4			0

23.4. Исследовать на непрерывность функцию

f (x, y) =	cos x4x+yy2 ,		x2 + y2 > 0;
	2
	1,		x2 + y2 = 0.

23.5.Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы следующих функций:

1)z = ex sin(y/x); 2) u = z3 ln(y cos z − z cos x),

ифункций из заданий 23.1, 23.2, 23.3.

23.6.Определяют ли данные уравнения

1)lg(xy) + tg π(x + 4y) = 0, M0(10, 1); 2) x + y + z − 1 = e−(x+2y+4z), M0(2, 1, −1),

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то найти их производные в этой точке.

23.7.Найти производную и дифференциал сложной функции z = 4w − cos2(2u − 3v), где u = (x2 + 1)/x, v = ln 4x, w = x arctg x.

23.8.Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции:

√ √

z=

23.9.Для функции z = ln(x + xy − y2) найти dz, d2z, d3z и записать е¨ разложение по формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(1, 0).

23.10.Показать, что заданная функция z = sin2(y − ax) удовлетворяет равенствуv u , где 2 3, x , .−

∂2z ∂2z ∂y2 = ∂x2 ,

и преобразовать это уравнение, приняв u = 2x+3y+5, v = x−y+1 за новые независимые переменные.

23.11. Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом,

вычислить приближ¨енно: а) 3 2,01 + (0,97)2 + 5; б) значение неявной функции 2) из задачи 23.6 при x = 1,98, y = 0,97.

23.12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке:

				√			√
					x
	−	0				z		y	− 2x2 − y2		0
				2
1) z = 2xy + 3x		2y, M	(1, 0, 3); 2) cos			− 2				z	= 0, M (1, 1, 1).

23.13.Для функции f = x4 cos(y/x) найти ∂4f/∂x2∂y2, полученный результат продифференцировать по направлению вектора ı + 4j.

23.14.Найти экстремумы функции

z= 3x2y − x3 − y2; w = x2 − 2xy + 4xz + 8yz + 5y2 + 9z2.

23.15.Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = x2 +xy−2 в замкнутой области D: y = 4x2 − 4, y = 0.

23.16.Найти производную скалярного поля u = y ln(1+x2)−arctg z в точке M(0, 1, 1)

		− 3j
по направлению вектора = 2ı			− 2k, полученный результат продифференцировать
				и j.
по направлению вектора 1	, перпендикулярного

23.17. Найти угол между градиентами функции u = arctg(x2 + y2 + z2) в точках

M1(2, −1, 1), M2(3, −2, 1).

Задания для самоконтроля

181

Вариант № 24

24.1. Найти область определения функции и изобразить е¨е:

1) z = ln(2x − y);

√

2) u = xy z − 1.

24.2. Построить график функции z =

.

1 + x2 − (y2/4)

24.3. Найти пределы: а) по

направлению прямой, составляющей угол α = π/4 к оси

Ox; б) оба повторных и в) двойной в указанной точке M0(x0, y0) для функции

1) z = xye−(x4+y4), M (

,

∞

);

2) z =

(x2 − y)y

, M (2, 0).

0

∞

xy − 1

0

24.4. Исследовать на непрерывность функцию

f (x, y) = 0,

xy

x2

+ y2

= 0.

x2 + y2

cos

,

x2

+ y2

> 0;

24.5. Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы следующих функций:

1) z =		x + ey)		;	2) u =	x		z
	ln(x2		+ y2			y		,

ифункций из заданий 24.1, 24.2, 24.3.

24.6.Определяют ли данные уравнения

1) tg(x + y) +	2x	= 2, M0(1, −1); 2) ez/x − ey = 2z, M0(1, 0, 0),
	y2

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то

найти их производные в этой точке.			,
где u = 1/x2, v = x/(2x − 1), w = arctg ex.
24.7. Найти производную и дифференциал сложной функции z =		(1/w) + tg(uv)

24.8. Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции z =

w u/(u + v), где u = yex, v = xey, w = (y + 2x)e2y .

24.9. Для функции z = 3x2 − 2y2 + 3 найти dz, d2z, d3z и записать е¨ разложение по формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(1, 1).

24.10. Показать, что заданная функция z = ln(x2 + y2 + 2y + 1) удовлетворяет равенству

∂2z ∂2z

∂x2 + ∂y2 = 0,

и преобразовать это уравнение, приняв u = 2x+y +2, v = x+y +2 за новые независимые переменные.

24.11. Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом,

√ √

вычислить приближ¨енно: а) ln( 3 1,01 + 0,99 − 1); б) значение неявной функции 2) из

задачи 24.6 при x = 0,98, y = 0,02.

24.12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке:

	cos(				2	−y		1
			√xz)ey
1) z = y2 − 2, M0(2, 1, −1); 2)			3
								−		= 0, M0(0, 1, 2).
									x + y + z
		x + y2 + z3

24.13. Для функции f = y/(x + y2) найти ∂5f/∂x3∂y2, полученный результат продифференцировать по направлению вектора 4ı − j.

182	Индивидуальные задания

24.14. Найти экстремумы функции

z= y√x − y2 − x + 6y; w = 3 ln x + 2 ln y + 5 ln z + ln(22 − x − y − z).

24.15.Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = sin x+sin y +cos(x+y)

взамкнутой области D: 0 x 3π/2, 0 y 3π/2. √

24.16.Найти производную скалярного поля u = x yz − yz3 в точке M(2, 1, 1) по

направлению нормали n к поверхности x2 + y2 = 5z, образующей острый угол с осью

, полученный результат продифференцировать по направлению вектора , перпенди-

Oy

кулярного и .

n k

24.17. Найти угол между градиентами функции u = ln(x2+y2+z2) в точках M1(2, −1, 3),

M2(3, −2, 1).

Вариант № 25

25.1. Найти область определения функции и изобразить е¨е:

1) z = ln x − ln sin y; 2) u = 1 − x − y − z.

25.2. Построить график функции z = x2 + 9y2.

25.3. Найти пределы: а) по направлению прямой, составляющей угол α = π/4 к оси Ox; б) оба повторных и в) двойной в указанной точке M0(x0, y0) для функции

	(x + 2y)2			sin(4xy)
1) z =			, M0(0, 0); 2) z =		, M0(0, 0).
				y
		x2 + 4y2

25.4. Исследовать на непрерывность функцию

f (x, y) =	x4x+yy2 , x2				+ y2	> 0;
			2
		1,		x = y = 0.

25.5.Найти все частные производные первого порядка и частные дифференциалы следующих функций:

1)z = sin3 x ln xy ; 2) u = √arcsin 4z + cos(x + 4y2 + z3),

ифункций из заданий 25.1, 25.2, 25.3.

25.6.Определяют ли данные уравнения

1)y = 2x arctg xy , M0(1, 0); 2) x2 + 2y2 + 3z3 − yz + y = 4, M0(1, 1, 0),

неявные функции y = f (x), z = f (x, y) в окрестности указанной точки? Если да, то найти их производные в этой точке.

25.7. Найти производную и дифференциал сложной функции z = (uv)vw , где u =

earcsin x, v =			2	.
	√1 + x, w = πx
	x

25.8. Найти частные производные и частные дифференциалы сложной функции z =

ln(euw + ev), где u = x sin 2y, v = cos 2(x/y), w = arcsin x2 + 2y2.

25.9.Для функции z = y2 − 3xy − x4 найти dz, d2z, d3z и записать е¨ разложение по формуле Тейлора в точке до 3-го порядка в точке M(1, 1).

25.10.Показать, что функция z = e− cos(ax+y) удовлетворяет равенству

a2 ∂2z = a2 ∂2z , ∂y2 ∂x2

Задания для самоконтроля

183

и преобразовать это уравнение, приняв u = 2x+2y−1, v = 2x−y+3 за новые независимые переменные.

25.11. Заменяя приращение соответствующей функции е¨ полным дифференциалом,

25.6 при x = 1,02, y = 0,97.	1, 02 −
вычислить приближ¨енно: а) arctg	1, 97		1 ; б) значение неявной функции 2) из задачи

25.12. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в заданной точке:

					3 √			√
	2			5			3		x/y
1) z = xy + y		− 2x, M0	(2, 1, −1);			xyz				= 0, M0	(1, 1, 1).
				2) x	y e		− zx e

25.13.Для функции f (x, y) = ln(x2 + y2) найти ∂5f/∂x2∂y3, полученный результат продифференцировать по направлению вектора ı − 4j.

25.14.Найти экстремумы функции

z= y√x − y2 − x + 6y; w = x2 + y2 + z2 − xy − x + 2z.

25.15.Найти наибольшее и наименьшее значение функции z = sin x+sin y +sin(x+y)

взамкнутой области D: 0 x π/2, 0 y π/2.

25.16.Найти производную функции z = ln(x + y) в точке M(1, 2), принадлежащей параболе y2 = 4x, по направлению нормали n к этой параболе, полученный результат

	продифференцировать по направлению вектора , перпендикулярного n и ı.
	25.17. Найти угол между градиентами скалярных полей
	3		4		1					x3y2
	u =		+		−	√		z	, v =
		x		y						z
							6

в точке M(1, 2, √6).

184	Список литературы

Список литературы

1.Багров В.Г., Белов В.В., Задорожный В.Н., Трифонов А.Ю. Методы математической физики. Т. I: Основы комплексного анализа. Элементы вариационного исчисления и теории обобщенных функций. — Томск: Изд-во НТЛ, 2002. — 672 с.

2.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука, 1980.

3.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1985.

4.Бермант А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1971.

5.Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М.: Наука, 1985.

6.Бугров Я.С., Никольский С.М. Задачник. – М.: Наука, 1987.

7.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967.

8.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – М.: Высшая школа, 1980.

9.Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Высшая математика для технических университетов. Ч. I: Линейная алгебра. 2 изд. — Томск: Изд-во Томского политехн. ун-та, 2009. — 310 с.

10.Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Высшая математика для технических университетов. Ч. II: Аналитическая геометрия. 2 изд.

—Томск: Изд-во Томского политехн. ун-та, 2010. — 398 с.

11.Задорожный В.Н., Зальмеж В.Ф., Трифонов А.Ю., Шаповалов А.В. Высшая математика для технических университетов. Ч. III: Дифференциальное и интегральное исчисление: 1. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

—Томск: Изд-во Томского политехн. ун-та, 2013. — 325 с.

12.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа (в 2-х томах). – М. Наука, 1971 (т.1), 1973 (т.2).

13.Кальницкий Л.А., Добротин Д.А., Жевержев В.Ф. Специальный курс высшей математики. – М.: Высшая школа, 1976. – 400 с.

14.Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике.(в 3-х томах). – Харьков: Изд-во ХГУ. – Т. 1. – 1965; Т. 2 – 1971; Т. 3 – 1972.

15.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа (в 2-х т.). – М.: Наука, 1981 (т. 1), 1982 (т. 2).

16.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Курс высшей математики. – М.: Наука, 1971.

17.Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1986.

18.Кузнецов Л.А. Сборник индивидуальных заданий по курсу высшей математики. – М. Наука, 1964.

Задания для самоконтроля

185

19.Ляшко И.И., Боярчук А.К., Гай Я.Г., Головач Г.П. Математический анализ в примерах и задачах (в 2-х т.). – Киев: Вища школа, т. 1 – 1975, т. 2 – 1977.

20.Мышкис А.Д. Математика для ВТУЗОВ (в 2-х т.). – М.: Наука, 1971 (т. 1), 1973 (т. 2).

21.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1985.

22.Тер¨ехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика. Ч. 2. Предел, непрерывность, производная, приложения производной, функции нескольких переменных: Учебное пособие. – Томск: Изд-во ТПУ, 2002. – 180 с.

23.Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х т.).

– М.: Наука, 1966.

Учебное издание

ЗАДОРОЖНЫЙ Валерий Николаевич ЗАЛЬМЕЖ Владимир Феликсович ТРИФОНОВ Андрей Юрьевич ШАПОВАЛОВ Александр Васильевич

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА для технических университетов

Часть III. Дифференциальное и интегральное исчисление 2. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Учебное пособие

Технический редактор В.Н. Романенко

Компьютерная верстка В.Н. Романенко

Набор и верстка выполнены на компьютерной технике

виздательской системе TEX – LАTEX

сиспользованием семейства шрифтов Computer Modern

Подписанокпечати . .2010.Формат60х84/16.Бумага«Снегурочка».

Печать . Усл.печ.л. . Уч.-изд.л. . Заказ . Тираж 100 экз.

Национальный исследовательский Томскийполитехническийуниверситет Система менеджмента качества

Томского политехнического университета сертифицирована

NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2008

. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30

Тел./факс: [phone], www.tpu.ru