Терёхина, Фикс - Высшая математика
.pdfZAWISIT TOLXKO OT x, A DRUGAQ { TOLXKO OT y, T.E. |
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y0 = f1(x) f2(y) |
ILI |
y0 |
= |
f1(x) |
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ILI |
y0 |
= |
f2(y) |
: |
f2(y) |
f1(x) |
aNALOGI^NO, ESLI URAWNENIE IZNA^ALXNO ZADANO W DIFFERENCIALXNOJ FORME M(x y) dx + N(x y) dy = 0, TO ONO BUDET URAWNENIEM S RAZ- DELQ@]IMISQ PEREMENNYMI TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI FUNKCII PRI DIFFERENCIALAH dx I dy UVE QWLQ@TSQ, ILI MOGUT BYTX PREDSTAW- LENY KAVDAQ W WIDE PROIZWEDENIQ (ILI OTNO[ENIQ) DWUH FUNKCIJ, ODNA IZ KOTORYH ZAWISIT OT x, A DRUGAQ OT y NAPRIMER W WIDE f1(x) f2(y) dx + g1(x) g2(y) dy = 0: rE[ENIE URAWNENIQ S RAZDELQ@]I- MISQ PEREMENNYMI OSU]ESTWLQETSQ PO\TAPNO:
1. pUSTX ISHODNOE URAWNENIE IMEET WID y0 |
= f(x y): |
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a) pREDSTAWLQEM FUNKCI@ W WIDE PROIZWEDENIQ |
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f(x y) = f1(x) f2(y), |
ISPOLXZUQ RAZLI^NYE ALGEBRAI^ESKIE PRIEMY |
. |
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y0 = dy |
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b) zAMENQEM PROIZWODNU@ OTNO[ENIEM |
: uRAWNENIE PRI- |
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MET WID dydx |
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dx |
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= f1(x) f2(y): |
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c) uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNENIQ NA dx I, ODNOWREMENNO, DELIM |
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NA FUNKCI@ f2(y) STOQ]U@ NE U "SWOEGO" DIFFERENCIALA. pOLU- |
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^IM |
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dy |
= f1(x) dx: |
pEREMENNYE RAZDELENY |
. |
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f2(y) |
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d) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI POLU^ENNOGO URAWNENIQ |
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dy |
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Z |
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= Z |
f1(x) dx + C: |
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f2(y) |
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2. |
eSLI URAWNENIE ZADANO W NEQWNOJ FORME, TO SLEDUET IZ NEGO |
WYRAZITX y0 W QWNOM WIDE I DALEE DEJSTWOWATX KAK UVE BYLO SKAZANO. 3. eSLI URAWNENIE ZADANO W FORME M(x y) dx + N(x y) dy = 0 TO a) PERENOSIM WTOROE SLAGAEMOE W PRAWU@ ^ASTX
b) KAVDU@ IZ DWUH FUNKCIJ PREDSTAWLQEM W WIDE PROIZWEDENIQ (ILI OTNO[ENIQ) SOMNOVITELEJ, NAPRIMER
f1(x)f2(y) dx = g1(x)g2(y) dy:
c) dELIM OBE ^ASTI URAWNENIQ NA PROIZWEDENIE FUNKCIJ f2(y)g1(x), STOQ]IH NE U "SWOIH" DIFFERENCIALOW.
Z f1(x) dx = Z g2(y) dy + C: g1(x) f2(y)
pREOBRAZOWANIE URAWNENIQ S CELX@ POLU^ENIQ URAWNENIQ S RAZDELEN- NYMI PEREMENNYMI NAZYWAETSQ R A Z D E L E N I E M PEREMENNYH.
92
1: y0 = (2y ; 1) tg x:
1) zAMENQEM y0 OTNO[ENIEM y0 = dy=dx:
2) uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNE- NIQ NA dx.
3) dELIM NA "STOQ]U@ NE U SWOEGO DIFFERENCIALA" FUNKCI@ (2y ; 1): w REZULXTATE \TIH DEJ- STWIJ PEREMENNYE RAZDELILISX. 4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ I UPRO]AEM POLU^ENNYJ REZULXTAT. OB]EE RE[ENIE:
2: y0 = y2 ln x :
(y ; 1) x
1) zAMENQEM PROIZWODNU@ y0 OT- NO[ENIEM DIFFERENCIALOW
y0 = dy=dx:
2)uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNE- NIQ NA dx:
3)uMNOVAEM OBE ^ASTI NA
(y ; 1) I DELIM NA y2:
4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ.
3: y y0 u + 1 = 0:
v1 ; x2
t1 ; y2
r E [ E N I E.
1)zAPI[EM URAWNENIE W QWNOM WIDE, T.E. WYRAZIM y0
2)zAMENQEM PROIZWODNU@ y0 OT- NO[ENIEM DIFFERENCIALOW y0 =
dy=dx:
3)uMNOVAEM NA dx A ZATEM UMNO- VAEM NA y I DELIM NA p1 ; y2:
4)iNTEGRIRUEM I POLU^AEM OB- ]IJ INTEGRAL.
1) |
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dxdy = (2y |
; 1) tg x |
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2) |
dy = (2y ; 1) tg x dx: |
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3) |
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dy |
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= tg x dx: |
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2y ; |
1 |
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4) |
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Z |
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dy |
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= Z tg x dx + C |
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2y |
; |
1 |
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1 |
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; ln j cos xj + ln C |
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2 ln j2y |
; |
1j |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
q |
2y ; 1 |
= C= cos x: |
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y = |
1 |
(C= cos x)2 + 1=2: |
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2 |
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1) |
dy |
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= |
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y2 |
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ln x |
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: |
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dx |
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(y |
|
1) x |
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2) dy = |
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y2;ln x |
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dx: |
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(y ; 1) x |
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3) |
(y ; |
|
1)dy = ln x dx: |
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y2 |
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x |
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4) |
Z |
|
(y |
; 1) |
dy = |
Z |
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ln x dx: |
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y2 |
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x |
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|||||||||||||
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Z |
dy |
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dy |
|
= Z |
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y ; Z |
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y2 |
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ln x d(ln x): |
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ln y + 1 |
= ln2 x |
+ C: |
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y |
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2 |
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||||||||
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p |
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1) y0 = ; |
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1 |
; |
y2 |
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|
p |
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: |
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|
y |
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1 |
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x2 |
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|||||||||||||||||||||||||||||
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|
dy |
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p |
; |
y |
2 |
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1 |
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2) |
dx |
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= ; |
|
p |
; |
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|
: |
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y |
1 ;2 |
|
x2 |
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dx |
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3) dy = |
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p1 ; y |
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: |
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|
; |
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p1 |
|
x2 |
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|
y |
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|
; |
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||||||||||||||||
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|
;p |
y dy |
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|
= p |
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dx |
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: |
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|||||||||||||||||||||
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1 |
; |
|
y2 |
|
1 |
; |
|
x2 |
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4) q1 ; y2 = arcsin x + C: |
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y = q |
1 ; (arcsin x + C)2 |
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93 |
4: 5x2+y y0 + x = 0:
1)iSPOLXZUQ SWOJSTWO POKAZA- TELXNOJ FUNKCII ax+y = axay, PE- REPI[EM URAWNENIE.
2)zAMENQEM PROIZWODNU@ y0 OT- NO[ENIEM DIFFERENCIALOW y0 =
dy=dx:
3)pERENOSIM x W PRAWU@ ^ASTX, UMNOVAEM NA dx I DELIM NA 5x2 :
4)iNTEGRIRUEM I POLU^AEM OB- ]IJ INTEGRAL.
5: p4 + x2 y0 + x y2 + x = 0:
1) wYNOSIM ZA SKOBKU x I PERE- NOSIM WYRAVENIE x (y2 + 1) W PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ.
2)zAMENQEM y0 = dy=dx:
3)uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNE-
NIQ NA dx I DELIM NA PROIZWE-
DENIE p4 + x2 (y2 + 1):
4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ:
6: y ; x y0 = 2 (1 + x2 y0):
1) rASKRYWAEM SKOBKI.
2) pERENOSIM SLAGAEMYE S y0 W ODNU ^ASTX URAWNENIQ, OSTALXNYE SLAGAEMYE { W DRUGU@. wYNOSIM y0 ZA SKOBKU.
3) zAMENQEM y0 = dy=dx: uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNENIQ NA dx I DELIM NA PROIZWEDENIE
(2x2 + x) (y ; 2):
4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ.
1) 5x2 5y y0 + x = 0:
x2 y dy
2) 5y 5 dx +x2 x = 0:
3) 5 dy = ;5; x dx:
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|
1 |
|
|
2 |
|
|||
4) |
Z 5y dy = |
22 |
Z 5;x |
d(;x2): |
||||||||||
|
5y |
|
= |
1 |
5;x |
|
|
+ |
C |
: |
|
|
||
|
ln 5 |
2 |
ln 5 |
ln 5 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
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|
||||||||
|
|
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|
5y = |
1 |
|
5;x2 + C: |
||||||
|
|
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|
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|
|
2 |
|
|
|
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|
1)p4 + x2 y0 + x (y2 + 1) = 0 p4 + x2 y0 = ;x (y2 + 1)
2)p4 + x2 dxdy = ;x (y2 + 1)
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|
dy |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
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||||||
3) |
|
|
|
|
|
|
= ; |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y2 + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
4 + x2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
4) Z |
|
|
|
|
dy |
= ; Z |
|
x dx |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
: |
||||||||||||||||
|
y2 + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
4 + x2 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
arctg y = ;p4 + x2 + C: |
|||||||||||||||||||||||||
1) y |
|
|
|
x y0 = 2 + 2x2 y0 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
;2 |
+ x) y0 = (y ; |
2) |
|
||||||||||||||||||||||
2) (2x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
3) (2x2 + x) |
dxdy |
= (y |
; 2) |
|
||||||||||||||||||||||||
(2x2 + x) dy = (y ; 2) dx: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
dy |
|
|
= |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y ; |
2 |
2x2 |
+ x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Z |
|
|
|
dy |
|
|
|
|
Z |
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||
4) |
|
y |
; |
|
2 = |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 + x: |
|
||||||||||||||||||
ln jy ; 2j = ln |
|
|
|
|
|
|
+ ln C: |
|||||||||||||||||||||
|
2x + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y = 2 + |
|
Cx |
: |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
94
7: |
2 |
ydy ; 2xy |
2 |
dx: |
6xdx ; 6ydy = 3x |
|
|
||
1) sOBIRAEM SLAGAEMYE S dx W OD- |
||||
NU ^ASTX URAWNENIQ, A SLAGAEMYE |
S dy W DRUGU@.
2) wYNOSIM dx I dy ZA SKOBKI.
3) wYNOSIM 2x I 3y ZA SKOBKI
I DELIM NA PROIZWEDENIE (2 + x2) (3 + y2):
4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ.
8: 2y2;x2 = |
y y0 |
: |
|
|
|
||||||
x |
|
|
|
||||||||
2y2 |
y |
y0 =) |
2y2 |
y dy |
|
||||||
2x2 |
= x |
2x2 = x dx |
: |
||||||||
x |
2;x2 dx = y 2;y2 dy: |
|
|
|
|||||||
Z |
x 2;x2 dx = Z y 2;y2 |
dy: |
|
||||||||
|
1 2;x2 |
1 C |
|
|
1 2;y2 |
|
|||||
;2 |
|
; 2 |
|
= ;2 |
|
: |
|||||
ln 2 |
ln 2 |
ln 2 |
2;y2 = 2;x2 + C:
10: y (1 + ln y) + x y0 = 0:
|
|
|
|
|
dy |
|
y (1 + ln y) = ;x dx |
|
|||||
|
|
dy |
|
dx |
|
|
|
|
|
= ; x |
|
||
|
y (1 + ln y) |
|
||||
Z |
d(1 + ln y) |
= ; ln x + ln C |
||||
1 + ln y |
|
ln j1 + ln yj = ; ln x + ln C 1 + ln y = Cx =) y = eC=x;1:
1)6xdx + 2xy2dx= 6ydy+3x2ydy
2)(6x + 2xy2)dx = (6y + 3x2y)dy
3)2x (3 + y2) dx = 3y (2 + x2) dy
2x dx = 3y dy2 2
2 + x |
|
|
|
|
|
|
|
3 + y |
|
|
|
|
|
|||||||
4) Z |
|
|
2x |
|
|
|
|
dx = Z |
|
3y |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
||||||||||||
2 + x2 |
3 + y2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
ln j3 + y2j + ln C: |
||||||||
ln jx2 + 2j = 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 + 2 = C q |
|
: |
|
|
|||||||||||||
|
|
(3 + y2)3 |
|
|
||||||||||||||||
9: 2x2 y y0 + y2 = 2: |
= 2 ; y |
2 |
|
|||||||||||||||||
2x2 y y0 = 2 |
|
; |
|
y2 = y0 |
|
: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
2x2 y |
|
||||||
dy = |
2 ; y2 |
|
dx: |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
2x2 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2y dy |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 ; y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2y dy |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||
Z |
|
|
= Z x2 : |
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 ; y2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
; ln j2 ; y2j = ;x1 + C: |
11: y0 + sin(x + y) = sin(x ; y): |
||||||||
y0 = sin(x ; y) ; sin(x + y): |
||||||||
sin ; sin = |
|
|
||||||
= 2 sin ; cos ; : |
||||||||
2 |
|
|
|
2 |
||||
|
dxdy = 2 sin(;y) cos x |
|||||||
|
dy |
|
|
|
||||
|
|
|
= ;2 cos x dx |
|||||
|
sin y |
|||||||
|
|
dy |
|
|
|
|||
Z |
|
= ;2 Z |
cosy |
x dx |
||||
sin y |
||||||||
|
|
|
|
|
ln |
tg2 |
|
= ;2 sin x + C: |
|
|
|
|
95 |
rASSMOTRIM PRIMER NAHOVDENIQ ^ASTNOGO RE[ENIQ URAWNENIQ PO ZA- DANNOMU NA^ALXNOMU USLOWI@.
12: |
rE[ITX ZADA^U kO[I |
|
y0 + 2y ; y2 = 0 |
y(0) = ;1=4: |
|||||||||||||
1) |
nAHODIM SNA^ALA OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ: |
|
|
|
|||||||||||||
y0 |
= y2 |
; 2y |
|
dy |
= (y2 ; 2y) |
|
dy |
= dx |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
dx |
|
y2 ; 2y |
|
|
|
|||||||||||
Z |
|
dy |
|
= |
Z |
dx |
1 |
ln y ; 2 |
|
= x + 1 ln C: |
|
|
|
||||
y2 |
|
2y |
2 |
|
|
|
|
||||||||||
; |
|
|
|
|
y |
|
2 |
|
|
y ; 2 = Ce2x: |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oB]EE RE[ENIE |
|||||||
|
|
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|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2) |
oPREDELIM ZNA^ENIE KONSTANTY C, ISHODQ IZ NA^ALXNOGO USLOWIQ. |
||||||||||||||||
pODSTAWIM W OB]EE RE[ENIE ZNA^ENIQ x = 0 y = ;1=4: |
|||||||||||||||||
;1=4 ; 2 |
= C e0 |
9 = C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
;1=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
pOLU^ENNOE ZNA^ENIE C PODSTAWLQEM W WYRAVENIE DLQ OB]EGO |
||||||||||||||||
RE[ENIQ I ZAPISYWAEM |
|
|
|
|
|
|
|
|
y ; 2 = 9e2x: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ASTNOE RE[ENIE: |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1.2.2. uRAWNENIQ WIDA |
y0 = f(a x + b y + c) |
; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
URAWNENIQ, DOPUSKA@]IE RAZDELENIE PEREMENNYH |
||||||||||||||
|
uRAWNENIE WIDA |
y0 |
= f(a x+ b y+ c) |
GDE a |
b c; POSTOQNNYE, |
DOPUSKA@T RAZDELENIE PEREMENNYH, ESLI SDELATX ZAMENU
z(x) = a x + b y + c:
13: y0 = ;4x + 2y ; 6:
sDELAEM ZAMENU |
|
z(x) = ;4x + 2y ; 6: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
) |
|
1 |
|
|
|
|
||
tOGDA |
y = |
2 z + 2x + 3 |
y0 |
= 2 z0 + 2: |
|
|
|||||||||||||
pODSTAWLQEM W ISHODNOE URAWNENIE I POLU^AEM URAWNENIE DLQ z(x) |
|||||||||||||||||||
|
|
21 z0 + 2 = z |
) z0 = 2z ; 4 |
) dxdz = 2z |
; 4: |
|
|||||||||||||
rAZDELQQ PEREMENNYE, POLU^AEM RE[ENIE |
|
|
|
||||||||||||||||
|
dz |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
) 2z ; 4 = Ce2x: |
|||||
|
|
|
|
|
= dx ) |
2 ln j2z ; 4j |
= x + 2 ln C |
||||||||||||
|
2z |
; |
4 |
||||||||||||||||
2( |
|
+ 2y |
|
|
6) |
|
4 = Ce |
2x |
|
|
|
|
1 |
2x |
+ 2x + 4: |
||||
|
4x |
|
|
|
|
|
|
y = 4 Ce |
|||||||||||
96; |
|
|
|
; |
|
; |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
14: y0 = 2 sin2(2x ; y):
dELAEM ZAMENU PEREMENNOJ |
2x ; y |
= z z0 = 2 ; y0 y0 = 2 ; z0: |
|||
pODSTAWLQQ W ISHODNOE URAWNENIE, POLU^IM: |
|||||
2 ; z0 = 2 sin2 z |
z0 = 2 ; 2 sin2 z |
dxdz = 2(1 ; sin2 z) |
|||
dz = 2 cos2 z dx: |
Z |
dz |
= 2 Z dx |
tgz = 2x + C: |
|
cos2 z |
|||||
|
|
|
|
|
tg (2x ; y) = 2x + C: |
1.2.3. uRAWNENIQ WIDA |
y0 = g |
xy! |
; |
||
ODNORODNYE URAWNENIQ |
|
|
o P R E D E L E N I E. dIFFERENCIALXNOE URAWNENIE y0 = f(x y)
NAZYWAETSQ ODNORODNYM, ESLI EGO PRAWAQ ^ASTX ESTX ODNORODNAQ xy ! :
dRUGIMI SLOWAMI: URAWNENIE PERWOGO PORQDKA BUDET QWLQTXSQ OD- NORODNYM, ESLI EGO MOVNO PREDSTAWITX W WIDE
y0 = g yx! :
lEGKO POKAZATX, ^TO WSQKOE ODNORODNOE URAWNENIE SWODITSQ K URAW-
NENI@ S RAZDELQ@]IMISQ PEREMENNYMI PODSTANOWKOJ y
x
nIVE NA PRIMERAH MY PROILL@STRIRUEM \TO UTWERVDENIE.
dLQ PREOBRAZOWANIQ ODNORODNOGO URAWNENIQ K WIDU, S KOTOROGO NA^INAETSQ ISPOLXZOWANIE PODSTANOWKI, NEOBHODIMO:
1)WYRAZITX W QWNOM WIDE PROIZWODNU@ ISKOMOJ FUNKCII IZ L@BOJ
ISHODNOJ FORMY ZAPISI URAWNENIQ, T.E. ZAPISATX URAWNENIE W QWNOM WIDE y0 = f(x y)
2)PREOBRAZOWATX FUNKCI@ f(x y) K WIDU f(x y) = g(y=x) T.E. ^TO-
BY WYRAVENIE, OPREDELQ@]EE FUNKCI@, SODERVALO BY TOLXKO OTNO-
[ENIE y=x I, WOZMOVNO, KONSTANTY
yx = t(x) y = t(x) x y0 = t0 x + t
KOTORAQ OBQZATELXNO POZWOLIT RAZDELITX PEREMENNYE W POLU^ENNOM URAWNENII. k ODNORODNYM MOGUT OTNOSITXSQ URAWNENIQ, W KOTORYH
97
OTNO[ENIQ |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
STOQT POD ZNAKOM KAKOJ-LIBO FUNKCII, NAPRIMER |
|||||||||||||||||||||
1: x y0 |
|
|
|
|
|
|
p y |
|
y0 |
|
y |
|
y=x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
; |
y |
= x |
x |
e = |
= |
+ e |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
) |
y x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
2: y ; x y0 |
= x arctg (y=x) |
x ; y0 = arctg (y=x) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y0 = y + arctg (y=x): |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3: x y0 ; y = (x + y) ln x +x y ) y0 ; xy = 1 |
+ |
xy ! ln 1 + xy ! |
|
|
|||||||||||||||||
4: (y + p |
|
|
) dx = x dy =) |
y0 = xy + |
p |
xy |
y0 = xy + s |
xy |
: |
||||||||||||
xy |
|||||||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||
wO WSEH SLU^AQH POSLE DELENIQ NA |
x |
URAWNENIQ PRIWELISX K |
|||||||||||||||||||
WIDU y0 |
= g xy |
! : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ODNORODNYM URAWNENIQM 1-GO PORQDKA OTNOSQTSQ TAKVE URAW-
NENIQ y0 = f(x y) PRAWAQ ^ASTX KOTORYH QWLQETSQ OTNO[ENIEM DWUH MNOGO^LENOW, PRI^EM WSE ^LENY ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ IME@T ODI-
NAKOWU@ SUMMARNU@ STEPENX PEREMENNYH |
x |
I y: |
tOGDA POSLE DE- |
LENIQ ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ DROBI NA |
x |
ILI |
x2 ILI x3 (W |
ZAWISIMOSTI OT STEPENI MNOGO^LENOW), OSTANUTSQ TOLXKO POSTOQNNYE ^ISLA I OTNO[ENIQ y=x W RAZNYH STEPENQH. nAPRIMER:
1: (x + y) dy ; (x ; y) dx = 0:
mNOGO^LENY PRI dx I dy IME@T PERWU@ STEPENX, URAWNENIE QWLQETSQ
ODNORODNYM, DELIM NA |
x x |
; |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
dy |
= x ; y |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
1 |
; y=x |
|
|
|
= |
y0 |
x |
x |
|
= |
y0 = |
|
ODNORODNOE: |
|||||||
|
|
x |
|
y |
|
|
|
||||||||
dx |
x + y |
) |
|
|
+ |
) |
|
1 |
+ y=x |
; |
|
||||
|
|
x |
x |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2: (x2 y + y3) dx + (x3 ; xy2) dy = 0:
rAZDELIM NA dx I WYRAZIM y0 |
|
|
x2 y + y3 |
|||||||||||||
(x2 y + y3) + (x3 |
; xy2) y0 = 0 =) |
|
||||||||||||||
y0 = ; x3 |
; xy2 : |
|||||||||||||||
wSE SLAGAEMYE ^ISLITELQ I ZNAMENATELQ IME@T TRETX@ STEPENX, RAZ- |
||||||||||||||||
DELIM NA x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x2 y |
+ |
y3 |
|
|
y=x + (y=x)3 |
|
||||||||
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
y0 = ; |
x3 |
|
; |
xy2 |
|
=) |
y0 = ; 1 |
; |
(y=x)2 |
; ODNORODNOE: |
||||||
x3 |
x3 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
98
15: y0 = y2 + 3y + 2: x2 x
uRAWNENIE ODNORODNOE I NE TRE- BUET NIKAKIH PREDWARITELXNYH PREOBRAZOWANIJ.
1)dELAEM ZAMENU y=x = t I WSE PREOBRAZOWANIQ, KOTORYE NEOBHO- DIMY.
2)rAZDELQEM PEREMENNYE.
3)iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI WYRA- VENIQ.
4)dELAEM OBRATNU@ ZAMENU
t = y=x:
16: (x2 ; x y) dy + y2 dx = 0:
1) rAZDELIM NA dx I WYRAZIM W QWNOM WIDE y0 ZATEM RAZDE- LIM ^ISLITELX I ZNAMENATELX PRAWOJ ^ASTI URAWNENIE NA x2: 2) sDELAEM ZAMENU y=x = t:
3) rAZDELQEM PEREMENNYE.
4) iNTEGRIRUEM.
5) dELAEM OBRATNU@ ZAMENU.
|
1) xy = t y = t x y0 = t0 |
x + t: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
x + t = t2 + 3t + 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
x = t2 + 2t + 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2) x dxdt |
= (t2 + 2t + 2) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
= |
|
dx |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
t2 + 2t + 2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3) |
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
= |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
(t + 1)2 + 1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
Zarctg(ty+ 1) = lnZjxj + ln C |
|
||||||||||||||||||||||||
|
4) |
|
|
arctg( x |
+ 1) = ln(C x): |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y = x [tg(ln(C x) ; 1]: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1) (x2 |
|
|
|
x y) y0 + y2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
y0 |
|
|
|
|
|
; y2 |
|
|
|
|
|
|
y0 |
|
|
|
|
y2=x2 |
|
|
|
||||||||
=y |
; |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
: |
|
||||||||||||||||
x2 |
; xy |
|
|
y=x ; |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
2) x |
= t y = t x y0 = t0x + t: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
t0x + t = |
|
t2 |
|
t0x = |
|
|
t2 |
|
; t |
|
|||||||||||||||||||
t |
; |
1 |
t |
; |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||||
t0 |
|
x |
= t |
|
; t |
|
|
|
+ t x |
|
|
dt |
= |
|
: |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
t ; 1 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t ; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3) |
(t ; |
1) dt |
= dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4) t |
|
|
|
ln |
|
t |
= ln |
x |
+ ln C |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
;t |
|
j j |
|
|
|
|
|
j j |
y=x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
5) |
|
e = C tx |
|
|
e |
|
|
|
|
= Cy: |
|
|
|
|
17: y0 = xy (1 + ln y ; ln x): |
1) |
pREOBRAZU- |
EM URAWNENIE, ISPOLXZUQ SWOJST- y
WO LOGARIFMOW ln y ; ln x = ln x:
2) sDELAEM ZAMENU y=x = t:
3) rAZDELQEM PEREMENNYE.
4) iNTEGRIRUEM.
5) dELAEM OBRATNU@ ZAMENU.
1) y0 = xy 1 + ln yx!
2)y |
= t(x) y |
= t x y0 = t0x + t: |
||||
x |
x + t = t (1 + ln t) |
|
|
|||
3) t0 |
|
|
||||
dt |
|
dt |
dx |
|
||
x dx = t ln t |
|
|
= |
|
|
|
|
t ln t |
x |
4) ln j ln tj = ln jxj + ln jCj
ln t = Cx t = eCx y = xeCx:
99
|
18: x y0 |
; y = |
x |
: |
|
||||
cos y |
||||
|
|
|
x |
|
1)wYRAZIM W QWNOM WIDE y0 RAZ- DELIW ^ISLITELX I ZNAMENATELX PRAWOJ ^ASTI URAWNENIE NA x:
2)sDELAEM ZAMENU y=x = t:
3)rAZDELQEM PEREMENNYE.
4)iNTEGRIRUEM.
5)dELAEM OBRATNU@ ZAMENU.
19: x y0 = q4x2 + y2 + y:
1)wYRAZIM W QWNOM WIDE y0 RAZ- DELIW ^ISLITELX I ZNAMENATELX PRAWOJ ^ASTI URAWNENIE NA x:
2)sDELAEM ZAMENU y=x = t:
3)rAZDELQEM PEREMENNYE.
4)iNTEGRIRUEM.
5)dELAEM OBRATNU@ ZAMENU.
1) y0 |
= |
|
1 |
|
|
|
|
|
+ y |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2) y |
|
|
|
cos |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= t y |
|
= t x y0 = t0x + t: |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||
t0 x + t = |
|
|
|
|
|
|
+ t t0 |
x = |
|
||||||||||||||||||||||
|
cos t |
|
cos t |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
3) x |
dt |
= |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
cos t dt = dx |
|
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dx |
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cos t |
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dx |
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x |
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4) Z |
cos t dt = Z |
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x |
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sin t = ln jxj + C |
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sin xy = ln x + C: |
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1) y0 = v |
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4x2 + y2 + y |
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x2 |
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x |
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u |
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t |
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+ y |
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y0 = v4 + y2 |
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: |
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u |
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x2 |
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x |
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y t |
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2) x |
= t y = t x y0 = t0x + t: |
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t0x + t = p |
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+ t |
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4 + t2 |
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t0x = p |
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x dxdt = p |
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. |
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4 + t2 |
4 + t2 |
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3) |
p |
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dt |
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= dxx |
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4 + t2 |
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4) ln jt + p |
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j = ln jxj + ln C |
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4 + t2 |
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t + p |
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= C x: |
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4 + t2 |
+ v4 + y2 = C x: |
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y |
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x |
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x2 |
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u |
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t |
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1.2.4. y0 + P(x) y = Q(x) ;
uRAWNENIQ WIDA
LINEJNYE URAWNENIQ
dIFFERENCIALXNOE URAWNENIE y0 = f(x y) QWLQETSQ LINEJNYM, ESLI EGO PRAWAQ ^ASTX ESTX LINEJNOE WYRAVENIE OTNOSITELXNO ISKOMOJ FUNKCII y0 = a(x) y + b(x):
iNYMI SLOWAMI: WSQKOE URAWNENIE 1-GO PORQDKA BUDET LINEJNYM, ESLI ISKOMAQ FUNKCIQ I EE PROIZWODNAQ WHODQT W URAWNENIE W PERWYH STEPENQH I NE PEREMNOVA@TSQ.
100
"kLASSI^ESKAQ" FORMA LINEJNOGO URAWNENIQ { FORMA, S KOTOROJ NA- ^INAETSQ SOBSTWENNO EGO INTEGRIROWANIE:
y0 + P (x) y = Q(x):
wSQKOE LINEJNOE URAWNENIE PREVDE, ^EM PRIMENQTX METODY EGO RE- [ENIQ, NEOBHODIMO PREOBRAZOWATX K "KLASSI^ESKOMU" WIDU.
dLQ RE[ENIQ LINEJNYH URAWNENIJ ISPOLXZU@T DWA, PRIMERNO ODI- NAKOWYH PO TRUDOEMKOSTI, METODA : METOD bERNULLI (PODSTANOWKI) I METOD lAGRANVA (WARIACII PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ).
mETOD bERNULLI (METOD PODSTANOWKI)
|TOT METOD POZWOLQET S POMO]X@ PODSTANOWKI y = U(x) V (x) SWODITX L@BOE LINEJNOE URAWNENIE K DWUM URAWNENIQM S RAZDELQ@- ]IMISQ PEREMENNYMI OTNOSITELXNO FUNKCIJ U(x) I V (x):
20: y0 + 2xy = xe;x2 { LINEJNOE, W "KLASSI^ESKOJ" FORME.
1) rE[ENIE URAWNENIQ I]EM W WIDE PROIZWEDENIQ DWUH FUNKCIJ y = U(x) V (x): tOGDA y0 = U0 V + V 0 U.
2) pODSTAWLQEM WYRAVENIE DLQ FUNKCII I EE PROIZWODNOJ W URAW- NENIE, GRUPPIRUEM WTOROE I TRETXE SLAGAEMYE I WYNOSIM OB]IJ MNO- VITELX
U0V + V 0U + 2xUV = xe;x2 ) U0V + U(V 0 + 2xV ) = xe;x2 :
3) fUNKCI@ V (x) I]EM IZ USLOWIQ, ^TO WYRAVENIE W SKOBKAH RAWNO NUL@. tOGDA POLU^AEM SISTEMU DWUH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ DLQ NAHOVDENIQ FUNKCIJ U(x) I V (x)
8 |
x2 |
|
|
< |
V 0 + 2x V = 0 |
|
|
U0V = x e; |
: |
|
|
: |
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4) iZ 1-GO URAWNENIQ NAHODIM FUNKCI@ V (x): |
|||
V 0 +2xV = 0 |
dVdx = ;2xV |
dVV |
= ;2xdx ln V = ;x2 V = e;x2: |
5) pOLU^ENNOE WYRAVENIE DLQ FUNKCII V PODSTAWLQEM WO 2-E URAW- |
|||
NENIE SISTEMY U0V = x e;x2 I NAHODIM WTORU@ FUNKCI@ U(x) |
|||
U0 e;x2 = x e;x2 U0 = x U = |
x dx U = x2 + C: |
||
6) zAPISYWAEM OB]EE RE[ENIE R |
2 |
||
y = U(x)V (x) = e;x2 (x2=2 + C): |
101