Терёхина, Фикс - Высшая математика
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15: rE[ITX ZADA^U kO[I |
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y00 ; 3y0 + 2y = |
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y(0) = 1 + 8 ln 2 y0(0) = 14 ln 2: |
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3 + e;x |
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1) nAHODIM RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ |
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y00 |
; 2xy0 + y = 02x ) k2 ; 3k + 2 = 0x |
) |
2xk1 = 1 k2 = 2: |
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y1 |
= e y2 = e |
) |
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Y = C1e |
+ C2e |
: |
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2) pOLAGAEM C1 = C1(x) C2 = C2(x) I OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ I]EM W WIDE Y = C1(x)ex + C2(x)e2x:
pROIZWODNYE FUNKCIJ C1(x) C2(x) DOLVNY UDOWLETWORQTX SISTEME
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1 |
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= 0 |
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C0 (x)ex |
+ C0 (x)e2x = 0 |
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C0 (x)y1 |
+ C0 (x)y2 |
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) > |
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1 |
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C0 (x)y0 + |
C0 (x)y0 = f(x) |
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C0 |
(x)ex |
+ 2C0 |
(x)e2x = |
: |
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3 + e x |
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< |
1 1 |
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2 |
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: |
C0 (x) + C0 (x)ex = 0 |
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>C0 (x) = |
; |
C0 (x)ex |
; |
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> |
C0 (x) + 2C0 (x)ex = |
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1 |
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) > |
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C0 (x)ex + 2C0 (x)ex = |
1 |
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> |
1 |
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2 |
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3ex + 1 |
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> |
; 2 |
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2 |
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3ex + 1 |
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< |
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< |
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: |
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C0 |
: |
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1 |
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iZ 2-GO URAWNENIQ POLU^AEM |
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(x) = |
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: |
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2 |
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ex (3ex + 1) |
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iZ 1-GO URAWNENIQ |
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C0 (x) = |
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C0 |
(x)ex = |
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1 |
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: |
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; |
;3ex |
+ 1 |
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iNTEGRIRUQ POLU^ENNYE RAWENSTWA, OPREDELIM |
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C1(x) = |
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C0 |
(x) dx |
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= |
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dx |
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= |
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(1 + 3ex) ; 3ex dx = |
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; Z |
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1 |
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; Z |
3ex + 1 ; Z |
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3ex + 1 |
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3ex |
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! |
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= ; Z 1 ; |
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dx = ;x + ln j3ex + 1j + C1: |
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3ex + 1 |
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C2(x) = |
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C0 |
(x) dx |
= |
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dx |
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= |
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(1 + 3ex) ; 3ex dx = |
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Z |
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2 |
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Z ex (3ex + 1) Z |
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ex(3ex + 1) |
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= Z e;x |
; 3 |
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! dx = ;e;x ; 3x + 3 ln j3ex + 1j + C2: |
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3ex + 1 |
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3) zAPI[EM OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ
Y = C1(x) ex + C2(x) e2x =
x 2x x x x 2x x 2x x
= C1 e + C2 e + e ln j3e + 1j;xe + 3e ln j3e + 1j;3xe ;e -: pOSLE PREOBRAZOWANIJ POLU^IM OKON^ATELXNOE WYRAVENIE DLQ OB]E
GO RE[ENIQ
y = C1ex + C2 e2x + ex [(1 + 3ex) ln j1 + 3exj ; 1] :
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