Необходимо построить горизонтальную проекцию точки K(k) и фронтальную проекцию точки N(n′), если они принадлежат плоскости Q.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей этой плоскости. Проведем через точку К прямую А1. Построим фронтальную проекцию этой прямой (а′1′). Проведя через точку k′ линию связи, найдем горизонтальную проекцию точки К – точку k (рис. 6).

Фронтальная проекция точки N(точка n′) найдена с помощью прямой В2 (рис. 6).

Рис. 5

Рис. 6

Положение плоскости в пространстве

Плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения.

Плоскости, параллельные или перпендикулярные плоскостям про-

екций, называются плоскостями частного положения. Они делятся на две группы.

Плоскость, перпендикулярную к плоскости проекций, называют

проецирующей плоскостью.

Плоскость, параллельную плоскости проекций, называют плоско-

стью уровня.

Проецирующие плоскости

•Горизонтально-проецирующие (рис. 7).

•Фронтально-проецирующие (рис. 8).

•Профильно-проецирующие.

Если плоскость перпендикулярна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в линию. Эту проекцию можно рассматривать и как след плоскости. На эту же плоскость проекций в натуральную величину проецируются углы наклона данной плоскости к двум другим плоскостям проекций.

Проецирующие плоскости обладают собирательным свойством: если точка, линия или фигура расположены в плоскости, перпендику-

20

лярной плоскости проекций, то на этой плоскости их проекции совпадают со следом проецирующей плоскости.

Горизонтально-проецирующая	Фронтально-проецирующая
плоскость	плоскость

γ

α

β

γ

β

γ

Рис. 7

Рис. 8

Плоскости уровня

Горизонтальная (рис. 9) Фронтальная (рис. 10)

Если фигура параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость она проецируется в натуральную величину. Проекции фигуры на две другие плоскости проекций параллельны осям, определяющим данную плоскость проекций.

Рис. 9

Рис. 10

Главные линии плоскости

Прямых, принадлежащих плоскости, очень много. Среди них есть прямые, занимающие особое, частное положение в плоскости. Эти линии называются главными линиями плоскости.

К ним относятся:

21

•Линии наименьшего наклона к плоскостям проекций (линии уровня) – горизонталь, фронталь и профильная прямая.

•Линии наибольшего наклона к плоскостям проекций. Горизонталь – прямая, лежащая в плоскости и параллельная гори-

зонтальной плоскости проекций (рис. 11). Фронтальная проекция горизонтали параллельна оси x, профильная − оси y.

Фронталь − прямая, лежащая в плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (рис. 12). Горизонтальная проекция фрон-

тали параллельна оси x, профильная − оси z.

Профильная прямая − прямая, лежащая в плоскости и параллельная профильной плоскости проекций. Горизонтальная проекция про-

фильной прямой параллельна оси y, фронтальная − оси z (рис. 13).

Из трех линий наибольшего наклона к плоскостям проекций чаще всего интерес представляет линия наибольшего наклона к горизонтальной плоскости. Эту линию называют линией ската.

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Линия ската – это прямая, лежащая в плоскости и перпендикулярная ее горизонтальному следу или ее горизонтали.

Проведем плоскость Р перпендикулярно плоскости Q и Н. Плоскость Р пересекает плоскость Q по линии ската MN (рис. 14).

α

α

22	α
Рис. 14	Рис. 15

Построив эту линию наибольшего наклона, можно определить величину двугранного угла между заданной плоскостью и плоскостью проекций. Этот угол будет равен линейному углу, который составляет линия наибольшего наклона со своей проекцией на эту плоскость (рис. 15).

Преобразование чертежа плоскости Две основные задачи преобразования чертежа плоскости

Плоскость общего положения можно преобразовать:

•в проецирующую плоскость;

•плоскость уровня.

1. Преобразование плоскости общего положения в проецирующую плоскость

В системе плоскостей V и Н плоскость Q (∆АВС) занимает общее положение (рис. 16). Если мы заменим одну из плоскостей на новую и расположим эту плоскость перпендикулярно плоскости Q, то в новой системе плоскостей плоскость Q будет проецирующей.

Заменим, например, плоскость V на новую плоскость V1. Расположим V1 перпендикулярно плоскости H и плоскости Q. Плоскость V1 будет перпендикулярна плоскости Q, если мы ее расположим перпендикулярно какой-нибудь линии плоскости. Для упрощения решения задачи в качестве этой линии возьмем горизонталь (линию, параллельную горизонтальной плоскости проекций).

Строим в плоскости Q горизонталь A1 и перпендикулярно ей проводим новую плоскость V1. Ось x1 проводим в любом месте перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали (x1 a1). Строим новую фронтальную проекцию плоскости Q. Горизонталь на новую плоскость

спроецируется в точку (a1′ =11′),			а плоскость Q (∆ ΑΒC) – в линию
c′1 a′1b′1.
V	→ V1	; V1 H;	V1 Q (∆ ΑΒC);
H	H

V1 A1 (A1 – горизонталь); x1 (a1).

Рис. 16

Рис. 17

23

Для преобразования плоскости Q в горизонтально-проецирующую плоскость, необходимо заменить плоскость H на новую, расположив ее перпендикулярно плоскости V и Q. Для этого в плоскости Q проводим фронталь и перпендикулярно ей строим новую горизонтальную плоскость.

Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня

При таком преобразовании мы определяем натуральную величину плоской фигуры (рис. 18).

В этом случае заменяется фронтальная плоскость V на новую V1. Она проводится перпендикулярно плоскости H и параллельно плоскости

Ρ (∆ ΑΒС). Ось x1 строится параллельно линии abc. При такой замене координаты z не изменяются. Измеряем их на фронтальной плоскости проекций и откладываем на линиях связи от новой оси x1.

VH → VH1 ; V1 H; V1//P(∆ ΑΒC); x1//abc.

Рис. 18

2. Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня

Для того, чтобы преобразовать плоскость общего положения в плоскость, которая будет параллельна одной из плоскостей проекций, необходимо провести две замены (рис. 19). Вначале преобразуем плоскость общего положения (рис. 19, а) в проецирующую плоскость (рис. 19, б), а затем проецирующую плоскость преобразуем в плоскость уровня (рис. 19, в).

24

V	→ x V1			;	V1 H;	V1 P(∆ ΑΒC);
H		H
V1 А1 (А1 – горизонталь); x1 (а1);
V1	→	V1	;		H1 V1;	H1//P(∆ ΑΒC); x2//c′1а′1b′1.
H
		H1

а			б

в

Рис. 19

25

Способыпреобразованиячертежа

Способ вращения

Способ вращения заключается в том, что положение геометрических элементов приводится в удобное для решения задачи относительно плоскостей проекций вращением вокруг оси, которая проводится перпендикулярно какой-нибудь плоскости проекций; положение плоскостей проекций при этом остается неизменным. На эпюре строят новые проекции повернутых геометрических элементов.

На рис. 14 показано вращение точки В вокруг оси I, перпендикулярной плоскости Н. Точку В вращаем вокруг оси I (рис. 14, а) по окружности, радиус О1В которой является перпендикуляром, опущенным из точки В на ось вращения I. Точка О1 – центр вращения точки В. Точка В опишет при вращении дугу окружности, которая располагается в плоскости Т, перпендикулярной оси вращения. А так как ось I перпендикулярна плоскости Н, плоскость Т будет горизонтальной плоскостью. Ось вращения – проецирующая прямая, перпендикулярная плоскости Н. Траектория поворота точки В проецируется на плоскость Н окружностью, а на плоскость V – отрезком прямой линии. Переместив горизонтальную проекцию точки В в новое положение b1, то есть повернув ее на заданный угол α, строим фронтальную проекцию точки В (b1′) с помощью линии проекционной связи. Так как вращение происходит в плоскости Т, перпендикулярной плоскости V, фронтальная проекция b1′ точки В будет находиться на следе TV плоскости Т. Плоскость вращения на эпюре обычно не проводят.

а

Рис. 14

Р

б

Траектория вращения точки проецируется в дугу окружности на плоскость проекций, которой перпендикулярна ось вращения. На плоскость, которой ось вращения параллельна, траектория вращения точки проецируется в отрезок, параллельный оси проекций.

26

При определении натуральной величины отрезка для упрощения построений ось вращения проводят через конец отрезка. На рис. 15, а ось вращения I проведена через точку А перпендикулярно плоскости Н. При вращении точка В отрезка АВ описала дугу окружности с центром в точке, которая проецируется на плоскость Н в точку а, в ту же точку пр о- ецируется ось I (i). Траектория точки В на плоскость Н споецировалась без искажения, а ее фронтальная проекция совпала с осью Ох, так как точка В лежит в плоскости Н. движение точки В остановлено в тот момент, когда горизонтальная проекция ab отрезка АВ стала параллельной оси Ox. Отрезок расположился параллельно плоскости V и проецируется на нее в натуральную величину.

	а	б
		Рис. 15
На рис. 15, б ось вращения проведена перпендикулярно плоскости
V через точку С. Ее фронтальная проекция совпала с фронтальной про-
екцией оси вращения I (i′) точки D. Фронтальная проекция c′d′ отрезка
CD повернута до положения, параллельного оси Ox. Отрезок стал парал-
лельным плоскости Н и спроецировался на нее в натуральную величину.
	Траектория точки D при вращении проецируется на
	плоскость Н отрезком dd1, параллельным оси Ox.
		На рис. 16 показан поворот треугольника
	АВС (плоскость треугольника АВС перпендикуляр-
	на плоскости V) в положение, параллельное плос-
	кости Н. Для этого через одну из вершин треуголь-
	ника (А) проводим ось вращения перпендикулярно
	плоскости V. Отрезок a′b′ – проекцию треугольни-
	ка	АВС на плоскость V – поворачиваем в положе-
	ние, параллельное оси Ox. Траектория поворота
	вершин треугольника спроецировалась на плос-
Рис. 16	кость V в дуги окружностей, а на плоскость Н – в
		27

отрезки прямых, параллельных оси Ox. Проведя линии проекционной

связи из точек с′1 и b′1 до пересечения с этими отрезками, получаем проекцию ab1c1 треугольника после поворота. Точка А своего положения не изменила, так как она находится на оси вращения. На плоскость Н треугольник спроецировался в натуральную величину, так как его плоскость параллельна плоскости Н.

Способ плоскопараллельного перемещения

Способ вращения без указания осей или способ плоскопараллельного перемещения может быть применен в тех же случаях, что и рассмотренный выше способ вращения. Рассмотрим примеры, приведенные на рис. 17. Изобразим на плоскости V на свободном месте чертежа фрон-

тальную проекцию c′d′ прямой CD в новом положении так, что она будет параллельна оси Ox (проекция c′1d′1 = c′d′, рис. 17, а). В этом случае существует такая ось вращения, поворот вокруг которой приведет прямую CD в положение, параллельное плоскости Н. Ось вращения можно не указывать, так как все построения могут быть проделаны без нее. На горизонтальной плоскости проекций траектории перемещения совпадут с прямыми, параллельными оси Ox. Опустив из точек с′1 и d′1 линии связи до пересечения с этими прямыми, получим проекцию с1d1 прямой CD, которая в новом положении проецируется на плоскость Н в натуральную величину.

На рис. 17, б без указания оси вращения показан поворот треугольника АВС в положение, параллельное плоскости Н. Его фронтальная

проекция a′1b′1c′1 изображена на произвольном месте плоскости V параллельно оси Ox.

а

б

Рис. 17

Из сказанного следует, что проекции геометрических элементов при вращении не изменяет своей величины на той плоскости проекций, которой перпендикулярна ось вращения. Это происходит потому, что

28

угол наклона прямой или плоскости к плоскости проекций, к которой перпендикулярна ось, не изменяется при перемещении этих геометрических элементов. Взаимное расположение точек при повороте, а значит и форма и величина проекции вращаемого объекта на этой плоскости проекций остаются без изменений. Меняется лишь ее положение.

На этом и основан способ вращения без указания осей. Одну из проекций вычерчиваем в новом положении по отношению к оси проекций Ox, а на другой плоскости проекций проводим прямые, параллельные оси Ox, изображающие на плоскости проекций путь перемещения точек. В пересечении линий проекционной связи, проведенных от проекций точек после поворота, и линий, параллельных оси Ox, получаем точки, определяющие положение второй проекции после поворота.

Способ совмещения

Способ совмещения можно рассматривать как частный случай вращения. Он применяется для определения натуральной величины геометрической фигуры, расположенной в плоскости. Эту плоскость вместе с геометрической фигурой, лежащей в этой плоскости, вращают вокруг одного из следов, совмещая с той плоскостью проекций, в которой лежит этот след. В совмещенном положении геометрическая фигура изображается в натуральную величину. Если геометрическая фигура задана на эпюре без следов, то следы плоскости нужно построить. Рассмотрим пример совмещения только для проецирующей плоскости. Наклонный след плоскости проходит через прямую, в которую проецируется геометрическая фигура, а второй след – перпендикулярно оси проекций.

	На рис. 18 показано совме-
	щение плоскости Р (∆АВС) с фрон-
	тальной плоскостью проекций V
	вращением ее вокруг фронтального
	следа PV . Плоскость Р перпенди-
	кулярна плоскости V. Через вер-
	шины треугольника АВС проведе-
	ны в плоскости Р горизонтали и
	фронтали. Вершины треугольника
	лежат в точках пересечения этих
	линий. Горизонтальные проекции
	горизонталей	параллельны гори-
	зонтальному следу РН плоскости Р,
	а горизонтальные проекции фрон-
	талей параллельны оси Ox. На
Рис. 16	фронтальную	плоскость проекций

29

горизонтали, которые перпендикулярны плоскости V, проецируются в

точки a′, b′ и с′ на след PV. На этот же след проецируются и фронтали. Для построения совмещенного положения плоскости Р с плоско-

стью V проводим совмещенный горизонтальный след PH1 плоскости Р перпендикулярно фронтальному следу PV через точку схода следов PX. Следы PH и PV расположены в пространстве перпендикулярно друг другу, и в совмещенном положении прямой угол между ними сохранится. Затем проводим в совмещенной плоскости Р горизонтали и фронтали через точки их пересечения со следами плоскости. Горизонтали пересека-

ют след PV в точках, совпадающих с проекциями a′, b′, с′, и через эти точки проводим горизонтали параллельно совмещенному следу PH1.

Фронтали пересекают горизонтальный след PH в точках 1, 2, 3. Из этих точек проводим дуги с центром в точке PX, находим точки 11, 21, 31 и через них проводим совмещенные фронтали параллельно следу PV, так как все фронтали плоскости параллельны ее фронтальному следу. Каждая из проведенных фронталей, пересекаясь с соответствующей горизонталью, дает одну из вершин треугольника. Треугольник АВС в совмещенном положении изображается в натуральную величину.

30

Лекция4.Взаимноеположениепрямойиплоскости. Взаимноеположениеплоскостей

Взаимное положение прямой и плоскости

Взаимное положение прямой и плоскости определяется количеством общих точек:

а) если прямая имеет две общие точки с плоскостью, то она принадлежит этой плоскости;

б) если прямая имеет одну общую точку с плоскостью, то прямая пересекает плоскость;

в) если точка пересечения прямой с плоскостью удалена в бесконечность, то прямая и плоскость параллельны.

Задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических фигур относительно друг друга. Называются позиционными задачами.

Прямая параллельна плоскости

									Прямая параллельна плоскости, ес-
									ли она параллельна какой-нибудь прямой,
									лежащей в этой плоскости. Чтобы по-
									строить такую прямую, надо в плоскости
									задать прямую и параллельно ей провести
									нужную прямую (рис. 1).
									(AB) //(CD) Q (AB) // Q
									Прямая	будет также параллельна
									плоскости, если она лежит в плоскости,
									параллельной данной.
		Рис. 1								(AB) P // Q (AB) // Q

Прямая пересекает плоскость

Построить точку пересечения прямой с плоскостью – значит определить точку, принадлежащую одновременно заданной прямой и плоскости. Графически такая точка определяется как точка пересечения прямой

слинией, лежащей в плоскости.

1.Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью

Если плоскость занимает проецирующее положение (например, она перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций, рис. 2), то горизонтальная проекция точки пересечения должна одновременно принадлежать горизонтальному следу плоскости и горизонтальной проекции прямой, то есть быть в точке их пересечения. Поэтому сначала определяется горизонтальная проекция k точки K (точки пересечения прямой AB с горизонтально-проецирующей плоскостью Q (∆ CDE)), а затем ее фронтальная проекция.

31

2. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения

На рис. 3 изображена плоскость общего положения P (∆ CDE) и го- ризонтально-проецирующая прямая AB, пересекающая плоскость в точке

K. Горизонтальная проекция точки − точка k − совпадает с точками a и b. Для построения фронтальной проекции точки пересечения проведем че-

рез точку K в плоскости P прямую (например, 1−2). Сначала построим ее горизонтальную проекцию, а затем фронтальную. Точка K является точкой пересечения прямых AB и 1-2, то есть точка K одновременно лежит на прямой AB и в плоскости P и, следовательно, является точкой их пересечения.

Рис. 3

Рис. 2
3. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего
положения
В этом случае линия, лежащая в плоскости и пересекающаяся с
данной прямой, может быть получена как линия пересечения вспомога-
тельной секущей плоскости Р, проведенной через прямую АВ, с данной
плоскостью Q (линия MN) (рис. 4).
Точку	пересечения				прямой	с
плоскостью	строят	по		следующему
плану.			AB
1. Через	прямую				проводят
вспомогательную плоскость P.

(AB) P

2. Строят линию пересечения MN заданной плоскости Q и вспомогательной плоскости P.

(MN) = Q ∩ P

Рис. 4

32