Сборник задач по высшей математике

277. r 3 2 cos .

279. r2 cos 2 .

281. r2 9sin 2 .

283. r sin 2 .

285. r 3cos 2 .

287. r sin 3 .

289. r cos 4 .

291. r 4 , 4 , . 293 r , 2 , 2 . 295. r e , , .

	278.	r 4 2 cos .
	280.	r2	sin 2 .
	282.	r2	4 cos 2 .
	284.	r cos 2 .
	286.	r 4sin 2 .
	288.	r cos 3 .
	290.	r sin 5 .
	292.	r		2	, , 2 .
					3
	294.	r		1	, ,	3	.
						2
	296.	r e , 0 , 2 .

2.3. Вычисление длины дуги плоской кривой

Пусть кривая L определяется уравнением y f (x) , x a,b в декартовой системе координат. Длина дуги кривой равна:

a

2

l

dx .

1 ( y )

b

Пусть кривая L задана параметрическими уравнениями

x (t) , t T ,T ,

1

2

y (t)

T2

2

2

тогда l

dt .

(x (t))

( y (t))

T1

Пусть теперь кривая L задана уравнением в полярной системе коор-

2

динат r r( ) ,

, , тогда l

r

2

d .

r ( )

Вычислить длину кривой:

21

297.y x2 1, отсеченной прямой y 0 .

2

298.y x2 4 , отсеченной прямой y 0,5 .

2

299.y2 (x 1)3 , отсеченной прямой x 4 .

300.y2 x3 , отсеченной прямой x 43 .

301.y2 94 (2 x)3 , отсеченной прямой x 1.

302.y2 23 (x 1)3 , заключенной внутри кривой y2 3x .

				3			12				y 2x		2	ln x	, x 1,3
303.	y ln x , x				4	,	5	.	304.
									1		1			4
305.	y	x x	2	arcsin						,
									x , x		4	.
									9

306.	x2 y2			a2 .			307. x2 y2	5 .
		x	e		x		x 2, 2 .
308.	y e 2				2 ,

309.9 y2 x(x 3)2 , между точками пересечения с осью абсцисс.

310.y ln(1 x2 ) , x 0,5;0,5 .

311.	x a (t sin t)										, t 0, 2 – арка циклоиды.
	y a (1 cost)
							3	t
312.	x a cos								, астроида.
						3
								t
	y asin
			2
	x t									, между точками пересечения с осью Ox .
313.		t			2
	y			(t			3)
		3

22

		t			6
	x
314.				6						, между точками пересечения с осями координат.
							t 4
	y	2
							4
		t			3
	x
315.				3						, между точками пересечения с осью Ox .
							t 2
	y	4
							2
		t			3
	x
316.				3								, между точками пересечения с осью Ox .
								t 2
	y	24
								2
317.	r 3 cos													318. r 1 cos
319.	r 1 sin													320. r 1 cos
	r	1													r		, ,3 .
321.					,								, 2 .	322.
												2
323.	r a sin3 .													324. r 3sin				3 , , 2 .
								3										3
325.	r e ,					0, 2 .								326.	r e2 ,
																		0,	2	.
327.	r e 3 , 0, 2 .													328.	r aem , , 2 .

2.4. Вычисление объема тела вращения

Пусть некоторое тело T получилось в результате вращения криволинейной трапеции, образованной кривой y f (x) , x a,b , вокруг оси

b

Ox . Тогда объем тела T равен: v y2dx .

a

23

Пусть некоторое тело T получилось в результате вращения криволинейной трапеции, образованной кривой x f ( y) , y c, d вокруг оси

d

Oy . Тогда v x2dy .

c

Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной кривыми:

			x	, x 0, 2 .							y cos x ,				x
	329.	y sin								330.								2	,0 .
			2
		y 2cos 2x , x													x		x 0,3 .
	331.					4	,	4	.	332.		y 3sin				,
															3
													x
	333.	y2 2x ,		x 8 .						334.	y	2		, x 4 .
												2

335.xy 4 , x 1, x 4 , y 0 .

336.xy 6 , x 2 , x 6 , y 0 .

		x			x
337.	y a e		a	e	a		, x a ,	y 0 .
	2

x

x

338.

y 2

4

e

4

,

x 4 ,

y 0 .

e

339.

x2 y2

a2 ,

x 2a .

340. 4x2 y2

a2 ,

x 2a .

Вычислить объем тела вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции, ограниченной кривыми:

341.

x2

y2

1,

y b .

342.

x

2

y

2

4 , y 2 .

a2

b2

343.

x2

y2

1 .

344.

y

2

4 x , x 0 .

a2

b2

345.

y x3 ,

x 0 ,

y 8 .

346.

y x3

, x 0 , y 27 .

347. Вычислить объем тела вращения вокруг оси Ox :

24

( y a)2 ax , x 0 , y 2a .

348. Вычислить объем тела вращения вокруг прямой x 2 :

y x2 , y 4 .

349.Вычислить объем тела вращения вокруг прямой x a криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды

xa(t sin t) , y a(1 cost) .

350.Вычислить объем тела вращения вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной осью абсцисс и одной аркой циклоиды

x a(t sin t) , y a(1 cost) .

2.5. Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая L задана явным уравнением y f (x) , x a,b . То-

гда площадь поверхности, образованной вращением кривой вокруг оси Ox , равна:

	b
	S 2 y 1 ( y ')2 dx .
	a
			d
При вращении вокруг оси Oy :		S 2 x( y)		1 (x ')2 dy .
			c
Пусть теперь кривая L задана параметрическими уравнениями
	x (t)		, t T ,T ,
			1 2
	y (t)
T2
тогда S 2 y(t)	(x ')2 ( y ')2 dt (вокруг оси Ox ),
T1
T2
S 2 x(t)	(x ')2 ( y ')2 dt (вокруг оси Oy ).

T1

Вычислить площадь поверхности, полученной от вращения кривых: 351. y x2 , x 0,4 , вокруг оси Oy .

25

	352. y	x2	, y 1.5 , вокруг оси Oy .
		2

353.x2 y2 R2 , вокруг оси Oy .

354.x2 y2 R2 , вокруг оси Ox .

	y a				x	e		x		x a , вокруг оси Ox .
355.			e a					a ,
	2
356.	y	x3		,	x 2,2 , вокруг оси Ox .
	3

357.y2 4 x, x 2 , вокруг оси Ox .

358.y2 1 x 2 , отсеченной прямой x 3 , вокруг оси Ox .

359.y2 4 x , отсеченной осью Oy , вокруг оси Ox .

360.y x2 2 , отсеченной прямой y 3 , вокруг оси Oy .

x a(t sin t)

361.

, вокруг оси Ox .

y a(1

cos t),

t 0, 2

3

x a cos

t

, вокруг оси Ox .

362.

3

y asin

t

t

363. Петли кривой x t 2 ,

y

(t 2

3) , вокруг оси Ox .

3

26

3.ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

3.1.Область определения функции многих переменных

Опр. 5. Переменная z называется однозначной функцией двух независимых переменных x и y, если каждой паре значений x и y в некоторой области их изменения поставлено в соответствие одно значение z. Функ-

циональную зависимость z от x и y записывают в виде z F(x, y) . Геометрически это уравнение определяет поверхность.

Найти области определения функций и построить их геометрическое изображение (где это возможно).

364.

z x2 y2 .

365.

az a2

x2

y2 .

366.

z

4

.

367.

z

a2

x2

y2 .

x

2

y

2

368.

z

xy .

369.

z

1

.

1 x2 y2

370.

z

25 16x2 9 y2 .

371.

z

x2

y2

4 .

372.Для функции z

x 2 y

вычислить значения:

2x y

z(3,1),

z(1,3), z(2,1), z(a,a), z(a, a) .

3.2. Частные производные и дифференциалы

Опр.

6.

Рассмотрим функцию z F(x, y)

во

внутренней точке

(x0 , y0 ) области определения. Дадим приращение x переменной x ,

получим точку (x0 x, y0 ) . Вычислим значения функции в исходной

точке и в точке с приращением. Составим приращение функции, соответствующее приращению x :

z F(x0 x, y0 ) F(x0 , y0 ) .

27

Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при x 0 , то этот предел называется частной

производной по x функции z F(x, y) в точке (x0 , y0 )

и обозначается

одним из символов:

z(x0 , y0 ) , F(x0 , y0 ) , z

x

'(x

0

, y

0

), F '(x

0

, y

0

) .

x

x

x

F(x0 x, y0 ) F(x0 , y0 )

По определению: z (x0 , y0 ) lim

.

x

x 0

x

Опр. 7. Рассмотрим

функцию z F(x, y) во

внутренней точке

(x0 , y0 ) области определения. Дадим приращение

x переменной x ,

приращение y переменной y , получим точку (x0

x, y0 y) . Вы-

числим значения функции в исходной точке и в точке с приращением.

Составим		приращение		функции,	соответствующее		приращениям
x,	y :
		z F(x0 x, y0 y) F(x0 , y0 ) .
Если приращение функции z можно представить в виде:
			z A x B y r ,
где	A, B	– постоянные числа,			r	( x)2 ( y)2	, 0 при
r 0 , то функция			z F(x, y) называется дифференцируемой в точке
(x0 , y0 ) , а величина			A x B y называется дифференциалом функ-
ции z в точке (x0 , y0 ) и обозначается dz(x0 , y0 ) или dF(x0 , y0 ) .
По определению:			dz(x0 , y0 ) A x B y .
Дифференциалы независимых переменных равны их приращениям:
				dx x,	dy y .
Дифференциал функции вычисляется по формуле:
		dz(x0 , y0 )		z(x0 , y0 ) dx z(x0 , y0 ) dy .
				x		y

Вычислить частные производные и дифференциалы:

28

	373.	z 5x y 1.		z	x2		y3
			374.		2		3 7 .

375.	z x2 y y2 7										y .
377.	z	x				y	.
		y
						x
379.	z x		3		3x			2	y		y3	.
											3
381.	z xe y .

376.	z x	y 2 x .
378.	z	x y2 .
380.	z ln(x2 y2 ) .
382.	z ye5x .

Вычислить дифференциалы функций в точках:

383.z x4 y3 4xy, x0 2, y0 3 .

384.z xy2 , x0 2, y0 1.

3.3. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнени-

ем z F(x, y) , в точке (x0 , y0 ) имеет вид:

z F(x0 , y0 ) Fx (x0 , y0 ) (x x0 ) Fy (x0 , y0 ) ( y y0 ) .

Уравнение нормали к поверхности z F(x, y) в точке (x0 , y0 ) имеет вид:

x x0

y y0

z F(x0

, y0 )

.

F

(x0

, y0 )

F

(x0

, y0 )

1

x

y

Написать уравнение касательной плоскости к поверхности в точке:

385. z x2 2 y2 , (1,1) .	386. z	x2		y2	, (3,2) .
	9		4

29

387.	az x				2	y			2	,	a		,	a
												2		.
														2
389.		z2	xy,				(1,4) .
391.		z y2			2x2 ,						(0,1) .
393.		x2		y2				z		2	1,			(x0 , y0 ) .
		a2		b2				c		2

388. az x2 y2 , (0,0) .

390.	z2 2xy,				(9,1) .
392.	z 3y2 x2 ,						(1,0) .
394.		x2	y	2		z2			1, (3,1) .
		9					4

Написать уравнения нормали к поверхности в данных точках:

395.	z x2 y2 , (1,2) .				396.	z 2x2	y2 , ( 1,2) .
397.	z arctg	y	,	(1,1) .	398.	z arctg		y	, (1,	3) .
		x						x
399.	z2 x2 y2 ,			(3,4) .	400.	z2 x2 0.5y2 ,				( 1,2) .

3.4. Экстремум функции нескольких переменных

Опр.8. Рассмотрим функцию z F(x, y) в некоторой окрестности точки (x0 , y0 ) , входящей в область определения. Будем говорить, что функция z имеет максимум в точке (x0 , y0 ) , если для любой точки окрестности выполняется неравенство: F(x, y) F(x0 , y0 ) .

Будем говорить, что функция z имеет минимум в точке (x0 , y0 ) , ес-

ли для любой	точки	окрестности	выполняется неравенство:
F(x, y) F(x0 , y0 ) .
Необходимое	условие	экстремума	функции. Если функция

z F(x, y) имеет экстремум во внутренней точке области определения

	F (x			, y	0	) 0
		x	0
(x0						.
	, y0 ) , то
		F (x0 , y0 ) 0
		y

30