- •В.П. Литвиненко
- •Введение
- •1. Метод комплексных амплитуд
- •2. Расчет гармонических токов
- •3. Расчет частотных характеристик
- •4. Измерение характеристик сигналов
- •5. Моделирование электрических цепей
- •6. Задание к курсовой работе
- •Измерительные приборы
- •112 Оглавление
- •Линейные цепи при гармонических воздействиях
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
1. Метод комплексных амплитуд
1.1. Гармонический сигнал
Гармонический сигнал записывают в виде
, (1.1)
где - амплитуда сигнала (индексот слова «максимум»),- круговая частота, а- начальная фаза. Временная диаграмма гармонического сигналапоказана на рис. 1.1.
Рис. 1.1
Амплитуда гармонического сигнала – это его максимальное значение, она измеряется в единицах сигнала (вольтах для напряжения и амперах для тока).
Период сигнала (рис. 1.1) определяетциклическую частоту его повторения,
, (1.2)
измеряемую в герцах (Гц). Ее физический смысл – число периодов колебаний в секунду.
Аргумент косинуса в (1.1) вида
4
(1.3)
называют полной фазой колебания, она пропорциональна текущему времени и измеряется в радианах или градусах.
Круговая частота равна
(1.4)
и представляет собой число радиан, на которое изменяется полная фаза колебания в единицу времени (1 с).
При полная фаза равна, поэтому параметрназываютначальной фазой гармонического сигнала. Она измеряется в радианах или градусах. Так как период функции равенили 3600, то начальная фаза оказывается многозначной величиной. Например, значения начальной фазы 300 и (300+3600)=3900, а также (300-3600)=-3300 оказываются эквивалентными. Для устранения неоднозначности договариваются, что значения начальной фазы должны находиться, например, в интервале от 0 до , или отдо(аналогичные границы могут быть заданы в градусах).
Начальная фаза связана со смещением гармонического сигнала во времени на величину относительно функции, как показано на рис. 1.1. Функциясмещена влево относительно, а- вправо.Положительные значения отсчитываются в сторонуувеличения , а отрицательные – наоборот.
Из (1.1) можно записать
, (1.5)
5
где смещение во времени равно
. (1.6)
Тогда для начальной фазы получим
. (1.7)
Как видно, начальная фаза определяется временным сдвигом гармонического сигнала относительно функции. Присигналсмещается вправо по оси времени, при этом его начальная фаза, а если, то временная диаграмма смещается влево по оси времени, а. Величина начальной фазы зависит от начала отсчета времени (положения точки). При смещении начала отсчета времени изменяется и начальная фаза.
Применительно к двум гармоническим сигналам ис разными начальными фазамиивводится в рассмотрениесдвиг фаз между первым и вторым сигналами,
. (1.8)
На рис. 1.2 показаны два гармонических сигнала с начальными фазами и, причеми. В этом случае говорят, что первый сигналопережает по фазе второй или второй сигнал отстает по фазе от первого.
Сдвиг фаз связан со смещениемсигналов во времени
, (1.9)
6
положительные значения временного сдвига отсчитываются в направлении оси времени. Гармоническое колебание может быть задано в нетипичной форме, которую необходимо преобразовать к виду (1.1), иначе начальная фаза
Рис. 1.2 оказывается неопреде-
ленной. Примеры преобразования показаны в табл. 1.1.
Таблица 1.1.
Исходный сигнал |
Преобразованный сигнал |
Начальная фаза |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Комплексная амплитуда гармонического сигнала
Для гармонического сигнала (тока или напряжения) комплексная амплитуда равна
, .(1.10)
Комплексная амплитуда является комплексным числом (-мнимая единица) и определяется только амплитудой и начальной фазой сигнала и не зависит от его час-
7
тоты. Комплексная амплитуда обозначается тем же символом, что и амплитуда сигнала, но с точкой сверху.
Например, если мгновенное значение гармонического напряжения равно В, то его комплексная амплитуда равнаВ илиВ.
Если запись сигнала отличается от формы (5.1) то необходимо провести соответствующие тригонометрические преобразования, представленные в табл. 1.2.
Таблица 1.2.
|
|
Если гармоническое напряжение имеет вид мВ, то после преобразования получиммВ, а комплексная амплитуда будет равнамВ.
1.3. Операции с комплексными числами
Комплексные числа могут быть записаны в двух формах: алгебраической и показательной. В алгебраической форме комплексное число (точка сверху используется для обозначения комплексной амплитуды сигнала, а если речь идет о комплексном сопротивлении или проводимости, то используется подчеркивание символа) записывается в виде
8
, (1.12)
где -действительная, а -мнимая части комплексного числа, -мнимая единица.
В показательной форме комплексное число представляется выражением
, (1.13)
величину называютмодулем, а -аргументом комплексного числа. От алгебраической формы можно перейти к показательной, модуль комплексного числа равен
, (1.14)
а аргумент
(1.15)
Аргумент комплексного числа, как и начальная фаза гармонического сигнала, величина многозначная, к ней можно добавить (или вычесть) любое число раз. Для обеспечения однозначности аргумента комплексного числа его значения выбирают в диапазоне, например, отдоили от 0 до.
Показательную форму комплексного числа можно заменить алгебраической с помощью соотношений
(1.16)
Они вытекают из известной в математике формулы Эйлера,
9
(1.17)
Например, если комплексное число в алгебраической форме равно , то в показательной форме его можно записать в виде
.
Если комплексное число равно , то в показательной форме получим
.
Для комплексного числа в показательной форме в виде его алгебраическая форма имеет вид
.
С комплексными числами проводятся все четыре арифметические действия.
При сложении и вычитании комплексных чисел ив алгебраической форме получим
. (1.18)
Если числа заданы в показательной форме, то перед сложением или вычитанием их необходимо преобразовать в алгебраическую форму.
Операции умножения и деления удобнее выполнять в показательной форме, когда и, при этом при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются
10
, (1.19)
а при делении делятся модули и вычитаются аргументы числителя и знаменателя
. (1.20)
Умножение можно провести и с алгебраической формой сомножителей по известным правилам с учетом того, что :
. (1.21)
При делении комплексных чисел в алгебраической форме используется операция устранения комплексности в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя дроби на число, комплексно сопряженное знаменателю. Для заданного числа комплексно сопряженное числоравно, то есть отличается отпротивоположным знаком примнимой части. Произведение двух комплексно сопряженных чисел всегда равно квадрату их модуля,
. (1.22)
Тогда при делении в алгебраической форме получим
(1.23)
11
Рассмотрим пример и, тогда
,
Эти операции можно провести и в показательной форме
,
,
,
.
Как видно, полученные результаты совпадают.
Полезно запомнить следующие равенства (табл. 1.3.), вытекающие из формулы Эйлера,
(1.24)
12
Таблица 1.3.
|
|
|
|
Вычисления с комплексными числами удобно проводить на персональной ЭВМ с помощью пакета программ MathCAD.
1.4. Законы Ома и Кирхгофа для комплексных
амплитуд токов и напряжений
Законы Ома и Кирхгофа применимы в своих классических формулировках для комплексных амплитуд токов и напряжений.
Закон Ома: комплексная амплитуда напряжения на участке цепи прямо пропорционально комплексной амплитуде протекающего через него тока. Для двухполюсного участка цепи его можно записать в виде
или , (1.25)
где -полное комплексное сопротивление, а -полная комплексная проводимость участка цепи.
Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных амплитуд сходящихся в узле токов равна нулю,
. (1.26)
Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма комплексных амплитуд падений напряжения на элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме комплексных амплитуд ЭДС идеальных источников напряжения, включенных в этот контур,
13
. (1.27)
Знаки в алгебраических суммах определяются выбранными положительными направлениями токов и напряжений и направлением обхода контура.
1.5. Комплексные сопротивления и проводимости
элементов цепи
Значения комплексных сопротивлений и проводимостейэлементов цепиR, L и C приведены в табл. 1.4 (запомните эти формулы).
Таблица 1.4
Элемент |
R |
L |
C |
Комплексное сопротивление |
|
| |
Комплексная проводимость |
|
|
Комплексные сопротивление и проводимость сопротивления всегдадействительны (мнимая часть равна нулю), а индуктивности и емкости – мнимые (действительная часть равна нулю).
Для комплексного сопротивления из закона Ома получим
, (1.28)
где -сдвиг фаз между напряжением и током в
14
элементе. Для сопротивления напряжение и ток совпадают по фазе, то естьи из (1.28) величинадействительна.
В индуктивности напряжение опережает по фазе ток на 900 (на радиан), следовательно, тогдаи величина комплексного сопротивления индуктивностиоказывается снулевой действительной и положительной мнимой частями. В емкости ,и ее комплексное сопротивление имеетнулевую действительную и отрицательную мнимую части.
1.6. Комплексные сопротивление и проводимость
участка цепи
Полные комплексные сопротивления (и проводимости) двухполюсного участка цепи с произвольным соединением элементов определяются по следующим правилам:
- комплексное сопротивление последовательного соединения двухполюсников равно сумме их комплексных сопротивлений;
- комплексная проводимость параллельного соединения двухполюсников равна сумме их комплексных проводимостей.
Например, сопротивление последовательной цепи, показанной на рис. 1.3а прикОм ипФ и частотекГц равно
кОм,
Рис. 1.3 а проводимость параллельной це-
пи на рис 5.1б -
Сим.
Зная комплексное сопротивление цепи, можно определить ее комплексную проводимость и наоборот,
15
(1.29)
Для последовательной цепи на рис. 1.3а ее проводимость равна
Расчет проведен методом устранения комплексности знаменателя путем умножения числителя и знаменателя дроби на множитель, комплексно-сопряженный знаменателю. Можно провести вычисление проводимости путем преобразования комплексного сопротивления из алгебраической формы в показательную,
.
Тогда для проводимости получим
Сопротивлениепараллельного соединения двух элементов с сопротивлениями иопределяется выражением
.
Комплексное сопротивление цепи со смешанным со-
16
единением элементов определяется следующим образом:
- в цепи выделяется фрагмент с простым (последовательным или параллельным) соединением элементов и определяется его сопротивление или проводимость;
- фрагмент заменяется эквивалентным элементом, в полученной цепи вновь выделяется простой фрагмент и повторяется предыдущее действие;
- эти действия повторяются до тех пор, пока цепь не трансформируется в один элемент с соответствующим сопротивлением или проводимостью.
Рассмотрим цепь, схема которой показана на рис. 1.4 прикОм,нФ,рад/с и определим ее комплексное сопротивление . В цепи выделяется простой параллельный фрагмент из элементовиопределяется его сопротивление , равное
Рис. 1.4 .
Тогда параллельный фрагмент заменяется эквивалентным элементом с сопротивлениеми схема цепи принимает вид, показанный на рис. 1.5.
Для полученной последовательной цепи ее сопротивлениеравно
.
Подставляя исходные данные, получим
Рис. 1.5
Ом.
17