5.2 Колебания. Волны, звук

Колебательным движением (колебанием) называется процесс, при котором система, многократно отклоняется от своего положения равновесия, каждый раз вновь возвращается к нему. Если возврат происходит через равный промежуток времени (период), то колебания называются периодическими.

Гармоническими называются колебания происходящие по закону синуса или косинуса. Таковым будет движение по кругу или колебания маятника.

так как , , где t- время, w-угловая скорость,

T-период полного колебания f-частота колебаний -фаза колебаний, ихвзаимосвязь

, ,

Рис 15 Маятник и график гармонических колебаний.

Сложение двух колебаний:

1. Если разность фаз 2π сложение колебаний

2. Если нечетное π то вычитание

3. Сложение колебаний с близкими частотами ω1, ω2

Разность частот ω₁ - ω₂ – очень мала.

. Это биение.

4. Сложение перпендикулярных колебаний с одной частотой.

Результирующее уравнение сложения.

1. Возможны 3 случая Разность фаз φ₂- φ₁= 0, 2π - Это уравнение прямой линии.

Смещение S=A sin ωt – это гармоническое колебание прямой под углом α к оси x.

2. случай φ₂- φ₁= π/2 получим х²/А²₁ + у²/A²₂ = 1 – это уравнение эллипса с полуосями А ₁ и А_2. Движение точки по эллипсу по часовой стрелке, если φ₂- φ₁= π/2, если 3/2 π против часовой стрелки.

3. случай φ₂- φ₁= π, нечетному количеству π 1,3,5,7 и т.д., тогда как и в 1 случае уравнение прямой под углом π-2 или (-α).

Динамика колебательных движений грузик массой – m висит на пружине.

F=ma = mω²x = - rx, если k = mω² сила смещения пропорциональна х и направлена противоположно смещению.

Если известны m и ω то можно определить период и частоту ω²= k/m ω=

Т=физический смыслk – это упругость по закону Гука, если колебания на пружине или сила тяжести деленная на длину маятника mg/l . из динамики следует новое определение гармонических колебаний – гармоническими называют колебания вызываемое силой пропорциональной смещению и направленной против смещения.

Маятник в поле тяготения.

F= -mg sin α , если α – мало, то sin(α) ~ α ; F= -mg α = mgх/l.;

Т=; отсюдаg = 4² l/T

Это замечательные формулы математического маятника, реализуемого в виде небольшого тяжелого шарика на невесомой нити. Они показывают, что период колебания не зависит от массы шарика и амплитуды (размаха) колебаний, а определяется длинной нити –l и ускорением силы тяжести- g. Таким образом имея шарик на нити и измерив длину нити и период колебания можно найти ускорение силы тяжести на любой планете.

Энергетика колебаний.

В математическом маятнике идет постоянное преобразование потенциальной энергии тяготения – Ep =mgh , в кинетическую энергию движения шарика – Ek так , что сумма этих энергий является величиной постоянной Ek + Ep = const

Полная энергия гармонических колебаний пропорциональна массе, квадрату амплитуды и квадрату частоты.

Затухающие колебания.

Силы трения приводят к затуханию колебаний. Для поддержания гармонических колебаний нужна вынуждающая сила, синхронная колебаниям. Иначе колебания установятся с частотой вынуждающей силы. Интересен случай совпадения частоты вынуждающей силы с частотой собственных колебаний системы. Это порождает резонанс когда амплитуда колебаний стремится к бесконечности.

f=f₀sinωt – сила вынуждающая колебания.

Мост или конструкция может обрушиться, если собственная частота колебаний конструкции совпадет с частотой вынуждающей силы.