Задача 10.

Для распределений:

1. показательного с параметром ;

2. нормального с параметрами и ;

3. равномерного на отрезке

Выполните следующие задания:

а) найдите функцию плотности вероятности и функцию распределения вероятности и постойте их графики;

б) найдите и.

в) найдите вероятность .

№
1	2	1	2
2	3	3	4
3	1	6	5
4	4	-1	3
5	1	2	2
№
6	5	-2	5
7	3	7	9
8	2	4	7
9	1	-3	8
10	5	8	4
11	6	3	3
12	3	-4	1
13	1	9	7
14	4	5	5
15	2	7	4
16	1	-1	3
17	6	-8	8
18	3	-4	6
19	2	-5	2
20	1	4	8
21	3	2	7
22	2	3	5
23	5	-3	2
24	4	-9	6
25	2	1	4
26	1	2	3
27	4	6	2
28	5	3	1
29	3	8	5
30	2	1	4

Задача 11.

1. Средний размер дивидендов в акционерном обществе 10%. Найдите вероятность того, что в следующие два месяца размер дивидендов превысит 12%, если известно, что он подчинен показательному закону.

2. Средний срок работы компьютерных вентиляторов 3000 часов. Одна фирма купила 3 компьютера. Найдите вероятность того, что ровно один из вентиляторов этих компьютеров не выдержит 2000 часов, если срок безаварийной работы вентиляторов подчинен показательному закону.

3. Длина изготовляемой детали является нормально случайной величиной со средним значением и средним квадратическим отклонением. Каких деталей окажется в большой партии больше – тех, у которых длина превысит 17 мм, или тех, у распределенной которых она заключена в промежуток от 14 мм. до 15мм?

4. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратичным отклонением и математическим ожиданиемНайдите вероятность того, что из двух независимых наблюдений ошибка хотя бы одного из них не превысит по абсолютной величине 0,6 мм.

5. Средняя длина взрослой рыбы равна 70 см. со средним квадратическим отклонением 4 см. Считая длину нормально распределенной случайной величиной, найдите вероятность того, что длина двух пойманных таких рыб превысит 75 см.

6. Размер детали задан в пределах от 65 до 67 мм. В контролируемой партии средний размер оказался 66,1 мм, среднее квадратическое отклонение 0,5 мм. Считая, что размер детали распределен нормально, определить вероятность того, что из трех деталей одна будет бракованной.

7. При среднем весе некоторого изделия в 5,5 кг определено, что отклонения веса, превосходящие 50 г, встречаются в среднем 3 раза на каждые 100 изделий. Считая, что вес изделий подчиняется нормальному закону, найти среднее квадратическое отклонение.

8. Лекарства выводятся из организма человека по показательному закону. Известно, что одно из веществ, содержащихся в лекарстве, выводится из организма в среднем за 10 дней. За какое время количество этого вещества в организме уменьшится в двое (т.е. за какое время вероятность выхода этого вещества из организма равна 0,5).

9. Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднюю квадратическую ошибку 100 мг. Номинальный вес порохового заряда 2 г. Определить вероятность повреждения ружья при трех выстрелах, если максимально допустимый вес порохового заряда 2,2 г.

10. Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 мм и среднюю квадратическую ошибку 12 мм. Считая, что ошибки прибора подчинены нормальному закону, определить вероятность того, что в каждом из двух опытов ошибка измерения не превосходит 6 мм.

11. Стрельба ведется из точки О вдоль прямой Ох. Средняя дальность полета снаряда 1500 м. Предполагая, что дальность полета распределена по нормальному закону, найти вероятность того, что при трех выпущенных снарядах два дадут перелет от 50 до 100 м. Среднее квадратическое отклонение принять равным 30 м.

12. При взвешивании тела получен средний вес 5,2 г, среднее квадратическое отклонение 0,05 г. Считая, что отклонение веса от среднего имеет нормальный закон распределения определить, какое отклонение веса от среднего можно гарантировать с вероятностью 0,8.

13. Имеется партия из 20 электрических лампочек, средняя толщина спирали которых 0,1 мм, среднее квадратическое отклонение 0,01 мм. Если толщина спирали менее 0,07 мм, то при включении в сеть лампочка перегорает. Найти вероятность того, что при включении в сеть перегорит не менее двух лампочек.

14. Трамваи следуют по маршруту с интервалом движения 10 мин. На остановке в очередной трамвай вошли 5 человек. Найти вероятность того, что трое из них ожидали трамвай более 6 мин, если они подходили к остановке независимо друг от друга в случайные моменты времени.

15. Прибор состоит из 15 узлов, среднее время работы каждого 1500 ч. Считая, что время работы прибора подчинено показательному закону, найти вероятность того, что за 2000 часов откажет хотя бы один узел.

16. Вероятность того, что прибор не выдержит испытание равна 0,002. Найти вероятность того, что из 1000 приборов более одного не выдержат испытаний.

17. Прибор состоит из трех узлов. Среднее время работы первого 600 ч, второго 700 ч, третьего 500 ч. Считая, что время работы всех узлов подчиняется показательному закону, найти вероятность безотказной работы прибора в течение 1000 часов.

18. Вероятность брака при изготовлении ламп равна 0,01. Сколько надо заказать ламп, чтобы наивероятнейшее число стандартных ламп было 100?

19. Средний объем ампулы 2 . При измерении установлено, что отклонения объема, превышающие 0,1, встречаются в среднем 8 раз на 100 ампул. Считая, что объем ампул подчиняется по нормальному закону, найти среднее квадратическое отклонение.

20. Толщина листа металла, получаемого при прокатке, распределена по нормальному закону. Среднее квадратическое отклонение толщины от заданной равно 0,5 мм. При приемке допускается отклонение от нормы на 1 мм. Найти вероятность того, что пять взятых наугад листа будут стандартными.

21. Время безотказной работы трех приборов, измеряющих температуру в сталеплавильной печи, распределено по показательному закону. Интенсивность поломок . Какова вероятность того, что в течение 200 часов хотя бы один прибор будет работать?

22. По мишени сделано 30 выстрелов. Дисперсия числа попаданий равна 5,4. Найти вероятность того, что из 30 выстрелов будет 24 попадания.

23. Отклонение длины изготавливаемой детали от стандарта является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Считая, что математическое ожидание равно 50 см. и среднее квадратическое отклонение 0,2 см, определить, какую точность длины изделия можно гарантировать с вероятностью 0,9.

24. Средний объем ампулы 3 , среднее квадратическое отклонение 0,2. Считая, что объем ампул подчиняется нормальному закону распределения, найти вероятность того, что объем двух случайно выбранных ампул больше 3,1.

25. Автомат штампует шарики для подшипников. Средний диаметр шариков 5 мм, а среднее квадратическое отклонение 0,05 мм. Из партии изделий случайным образом отбирают 6 шариков. Считая, что диаметр шарика подчиняется нормальному закону, найти вероятность того, что размер хотя бы одного из них превысит 5,1 мм.

26. В электропечи установлено три термопара, каждая из которых показывает температуру с некоторой ошибкой, распределенной по нормальному закону с нулевым математическим ожидание и средним квадратическим отклонение 10°С. В момент когда две из трех термопар покажут температуру не ниже 600°С, печь автоматически отключается. Найти вероятность того, что печь отключается при температуре не превышающей 570°С.

27. Между двумя пунктами, отстоящими один от другого на 15 км, курсирует автобус с остановками по требования в любом месте. Известно, что в автобус вошли, а затем вышли из него два пассажира. Найти вероятность того, что оба пассажира войдут в автобус на расстоянии не более чем за 5 км. от начального пункта и выйдут меньше чем за 2 км. от конечного пункта, считая, что пассажир с одинаковой вероятность может войти и выйти из автобуса в любом месте.

28. В опытах Резерфорда радиоактивное вещество за время 8 с. испускало в среднем 3,5 альфа-частицы. Найти вероятность того, что за одну секунду это вещество испустит хотя бы одну альфа-частицу.

29. Производится стрельба двум снарядами по прямой дороге шириной 20 м. Прицеливание ведется по средней линии, среднее квадратическое отклонение точки попадания от средней линии составляет 12 м. Найти вероятность того, что хотя бы один заряд попадет в дорогу.

30. По мишени сделано 12 выстрелов. Дисперсия числа попаданий равна 3,6. Найти вероятность того, что из 12 выстрелов будет 8 попаданий.