математика 341-2008
.pdfд)
4.a)
в)
д)
5.a)
в)
д)
1
(x 2 2)4 x 2 dx;
x2 37 x3 dx;
x2e3xdx;
3 x 1dx;
6 x5
ex dx; e2 x 9
x arcsin xdx;
1
(x 1 1)3x 1 dx;
е)
б)
г)
е)
б)
г)
е)
sin 2 |
x |
cos2 |
x |
dx. |
|
|
|||
2 |
2 |
|
x 7
x2 x 1 dx;
9x 13
(x 2)2 (x2 1) dx;
sin4 (x / 2)dx.
x 3
x2 6x 10 dx;
6x 7
(x 3)2 (x2 2) dx;sin 2 x cos3 xdx.
6. a) |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx; |
б) |
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
dx; .. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x(4 ln |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x) |
|
|
|
4x2 4x 2 |
||||||||||||||||||||||
в) |
x2 cos 3xdx; |
г) |
|
|
|
12x 14 |
|
|
|
|
dx; |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
(x |
|
3) |
2 |
(x |
2 |
|
1) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
д) |
|
|
|
x 1 |
dx; |
|
|
е) (sin 3x cos 3x)3 dx. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
x |
3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. a) |
|
arctg2 3x |
dx; |
б) |
|
|
|
4x 3 |
|
|
dx; |
||||||||||||||||||||
2 |
|
x |
2 |
2x 6 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
в) |
arctgxdx; |
|
|
г) |
|
|
|
2x 4 |
|
|
|
|
|
dx; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
(x |
2 |
2x |
|
2) |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11
1
д) (6x 2 2)3 x 2 dx;
1 |
|
2 1 |
|
||
8. a) |
|
sin |
|
|
dx; |
x2 |
|
x |
в) x ln(x 1)dx;
д) x 2 1dx; x 2 1
9. a) ln tg 2x dx; cos2 2x
в) xarctgxdx;
д) x 1dx;
6 x5
10. a) cos(ln x) dx; x
е) sin5 xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
dx; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2 3x 2x2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
г) |
|
|
|
|
4x 4 |
|
|
|
|
|
|
dx; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x(x 1) (x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
4) |
|||||||||||||
е) sin3 |
x |
|
cos2 |
x |
|
|
|
dx. |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
б) |
|
|
x2 |
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x(x 1)(x |
2 |
|
1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
е) (sin 2x cos 2x)3 dx.
б) |
|
|
1 |
|
dx; |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
2 |
x x2 |
|||||
|
|
|
|
в)
д)
11. a)
в)
x2e2xdx; |
|
|
|
|
г) |
|
16x |
|
|
|
|
dx; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x(x 2)(x |
2 |
|
4) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx; е) |
sin 2 x cos2 xdx. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x 2( x 2 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
e3x |
dx; |
|
|
б) |
|
|
|
x 2 |
|
|
dx; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
e |
6 x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 2x x2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
arccos xdx; |
|
|
|
г) |
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
dx; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x(x |
2)(x |
2 |
|
1) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
д) |
|
x 1 |
1 |
dx; |
е) sin 4 x cos3 xdx. |
|
|
|
|||
|
|
x 1 |
1 |
|
12.a)
в)
д)
13.a)
в)
д)
sin(1 5x) 1
x ln2 xdx;
|
3 2x 3 |
2x 3 1dx; |
1 tg 5x dx; cos2 5x
x arccos xdx;
cos(1 5x) dx; |
|
|
б) |
x2 1 |
dx; |
|
|||||||
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
|
|
|
|
||
г) |
|
|
|
|
22x 12 |
dx; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(x |
2 |
3x)(x |
2 |
4) |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
е) cos5 (x / 2)dx. |
|
||||||||||||
б) |
|
11x 2 |
dx; |
|
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 x x |
|
|
|
|
|
|
||||||
г) |
|
|
|
|
11x 3 |
|
|
dx; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
(x |
2 |
3x)(x |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
dx; е) |
sin 4 xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 2( |
x |
2 |
3 |
|
|||||||
|
|
|
x 2) |
|
14. a) x 3 x2 dx;
в) x3exdx;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) |
3 x |
x 1 |
dx; |
|||||
|
|
|
||||||
|
||||||||
|
|
|
6 x5 |
e( x 2 )
15. a) x3 dx;
в) (x 1) ln(x2 2x)dx;
1
д) x 1(1 6 x 1) dx;
б) |
|
|
|
|
|
x |
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7 |
5x x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
2x 6 |
|
|
|
|
|
dx; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(x |
2 |
2x |
3) |
2 |
(x |
2 |
|
1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
е) sin3 x cos2 xdx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
3x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
г) |
|
|
|
|
|
|
|
5x 15 |
|
|
|
|
dx; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(x |
2 |
2x |
3)(x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
4) |
|||||||||||||||||
е) (sin |
x |
cos |
x |
)3 dx. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
13
16. a) |
|
|
|
|
|
x2 |
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) |
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
xdx; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
д) |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
dx; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x ( |
|
|
x |
1) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
17. a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
x2 arcsin x |
|||||||||||||||||||||||
в) |
x3 sin(x2 )dx; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
д) |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
dx; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
2 |
3 |
|
|
x |
2 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
18. a) |
|
|
|
|
|
cos 7x |
|
|
|
|
|
dx; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(1 sin 7x) |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
в) |
x arcsin( x2 )dx; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
д) |
|
|
|
|
6 |
|
x 1 |
|
dx; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
19. a) |
|
|
|
x2 |
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) (x 1)ex 2 2x2dx;
д) x 1dx;
4 x3
14
1 x
б) 7 4x x2 dx;
5x 20
г) (x2 3x 4)(x2 1) dx;
е) cos4 xdx.
3x 1
б) 1 x x2 dx;
10x 40
г) (x2 3x 4)(x2 4) dx;
е) sin5 (x / 2)dx.
x 3
б) 3 4x 4x2 dx;
15x 25
г) x2 (x2 4x 5) dx;
е) sin3 x cos4 xdx.
б) |
|
7x 1 |
|
dx; |
||||
|
|
|
|
|
||||
6x |
2 |
x 1 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
г) |
|
|
|
x 2 |
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
||||
(x |
2 |
x)(x |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
2) |
е) cos4 (x / 2)dx.
20. a) |
arccos x x |
dx; |
б) |
|
|
|
x |
|
|
dx; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 7x 3x2 |
|
|
|
|
||||||||
в) |
x ln(x2 2)dx; |
г) |
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
dx; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
(x2 x)(x2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
д) |
|
|
|
x 1 |
dx; |
е) sin 2 |
|
x |
cos3 |
|
x |
dx. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x 1 |
1 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 2
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, уравнения которых заданы: а) в декартовой системе координат, б) в полярной системе координат. В обеих задачах сделать
чертеж |
|
|
|
1. |
а) у= х2; |
у= 2х+3; |
б) =a sin 2 . |
2. |
а) у = 2х2; |
у =х/2; |
б) =a cos . |
3. |
а) у = 4х - х2; |
у=х; |
б) =a cos 4 . |
4. 324. а) у = х2 -2х+1; у=-х+3; |
б) =a cos 2 . |
||||
5. |
а) у = х2; |
у=3х+4; |
б) =a (1- cos ). |
||
6. |
а) у = 4х - х2; |
у=х+2; |
б) =a cos 6 . |
||
|
а) у = х2/2+2; |
у = х2; |
|
|
|
7. |
б) =a cos2 |
||||
8. |
а) у = 2х - х2; |
у=-х; |
б) = sin 3 . |
||
9. |
а) у = 2х - х2; |
у=х-2; |
б) =2 sin 4 . |
||
10. |
а) у = х2; |
у=-2х+3; |
б) = sin 6 . |
15
|
11. |
а) у =- х2/2; |
|
|
у=х-3/2; |
|
б) |
=3 (1+ cos ). |
||||||||||||||||||||||||||||
|
12. |
а) у =4х2; |
|
|
у=-х; |
|
б) |
= |
|
1 |
|
+ sin . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
13. |
а) у =3х2-2; |
|
|
у = х2; |
|
б) |
= |
1 |
|
+ cos . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
а) у = х2-х-3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
14. |
|
|
у=х; |
|
б) |
=1+ |
|
|
|
|
2 cos . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
а) у = х2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
15. |
|
|
у=-3х+4; |
б) =1+ |
|
|
2 sin . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
16. |
а) у =2х2-1; |
|
|
у = х2; |
б) =a ( sin + cos ). |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
17. |
а) у = 4 - х2; |
|
|
у=2х+1; |
б) =a ( cos - sin ). |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
18 |
а) у = х2-2х-4; |
|
|
у=х; |
б) |
= |
|
|
3 |
|
+ cos . |
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
19 |
а) у = 3х - х2; |
|
у=2х; |
б) |
= |
|
|
|
2 |
|
|
+ sin . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
20 |
а) у = х2; |
|
у=-2х+3; |
б) |
=2 (1+ sin ). |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Задача 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Даны: функция z = f (x,y), точка А и вектор а . Требует- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ся |
найти: 1) |
направление наибольшего возрастания функ- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ции |
z (т.е. |
grad z) в |
|
точке А и |
скорость |
|
|
ее |
|
|
изменения в |
|||||||||||||||||||||||||
этом направлении; 2) |
производную функции |
|
|
|
|
|
z |
|
в точке А по |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
направлению вектора |
|
а ; 3) экстремум функции |
|
z = f (x,y). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z = х2 – у 2 + 2 xy – 4x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1. |
A(1,2), |
|
а = i +3 j . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z = 5 х2 – у 2 + 2 xy, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2. |
A(2,2), |
|
|
|
|
а = 3 i – 4 j . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
z = х2 + 2 xy – 4 x + 8 y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
3. |
A(3,1), |
|
|
|
|
|
|
а = 2 i – 4 j . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
z = х2 – у 2 + 2 xy – 2 x + 2 y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
4. |
A(1, –2), |
|
|
|
|
|
|
|
а = 3 i + 4 j . |
16
|
z = х2 |
– у 2 – 2 xy + 4x + 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
A(2, –1), |
|
а = 5 i – 12 j . |
||||||||||||||||||||||||||
|
z = 4 х2 |
|
у 2 + 4 x + 2 y + 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
+ |
A(2,3), |
|
|
а = i +2 j . |
||||||||||||||||||||||||
|
z = 5 х2 |
|
у 2 – 3 xy + 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
+ |
A(0,2), |
|
а = 4 i + 3 j . |
|||||||||||||||||||||||||
|
z = 4 х2 |
+ 9 у 2 – 4 x – 6 y + 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
A(–1, –1), |
|
а = 12 i +5 j . |
||||||||||||||||||||||||||
|
z = 2 х2 + 5 у 2 – 4 xy – 8 x + 6, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
A(3,2), |
а = i + j . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
z = 5 х2 + 5 у 2 + 8xy – 18x – 18 y, A(1,3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10. |
|
а = 2 i – j . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
z = 2 xy – 3 х2 – 3 у 2 + 4x + 4 y + 4, A(1,0), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
11. |
|
а = i – j . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
z = х2 – у 2 + 2xy + 4x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
12. |
A(4,1), |
|
а = 2 i +2 j . |
||||||||||||||||||||||||||
|
z = ху – х2 – 2 у 2 + x + 10 y, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
13. |
A(2,2), |
|
|
а = i +2 j . |
|||||||||||||||||||||||||
|
z = 3 х2 |
+ 3ху + у 2 – 6x – 2 y + 1 , A(4,3), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
14. |
|
|
|
а = 3 i – 4 j . |
|||||||||||||||||||||||||
|
z = х2 + |
у 2 + 3xy – x – 4y + 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
15. |
A(5,4), |
|
а = 3 i +5 j . |
||||||||||||||||||||||||||
|
z = х2 + |
у 2 – xy + x + y + 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
16. |
A(4,6), |
|
|
|
а = i +3 j . |
||||||||||||||||||||||||
|
z = х2 + 2ху – у 2 + 6x – 10 y + 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
17. |
A(2,1), |
|
|
|
а = 3 i +3 j . |
||||||||||||||||||||||||
|
z = 3 х2 |
+ 3 у 2 + 5 xy + x – y + 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
18. |
A(5,2), |
|
|
а = i + j . |
|||||||||||||||||||||||||
|
z = 4 – 5 х2 – у 2 – 4 xy – 4 x – 2 y, A(1,6), |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
19. |
|
|
а = 2 i + 6 j . |
||||||||||||||||||||||||||
|
z = 3ху – х2 – 3 у 2 – 6 x + 9y – 4, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
20. |
A(2,8), |
|
а = 2 i + 4 j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найти общее решение дифференциального уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||
первого порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
8x 5y |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
у |
5x 2 y ; |
|
|
11. |
у |
x tg x |
|
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
2 |
y |
2 |
|
0 ; |
|||||||||||||
|
|
|
y ln x 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. |
xy |
|
|
12. |
xy |
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
2 |
3х |
2 |
0 ; |
13. |
(x |
2 |
у |
2 |
) y |
|
|
2ху ; |
|
|||||||||||||||
4xуy y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4. |
xy |
|
y |
|
|
xy |
|
; |
|
14. |
|
|
|
y |
|
2x |
2 |
y |
2 |
; |
|||||||||||||
|
|
|
|
xy |
|
|
|
17
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
8y |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
xy |
|
x |
|
, |
15. у |
x2 |
|
|
x 12 ; |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
6. |
x |
2 |
|
|
|
хy 1 0 ; |
|
|
16. |
y |
|
2х у ; |
|
|
|||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
y |
y tgx cos x |
|
; |
17. |
(2x 1) y |
4x 2y ; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
8. |
xy |
|
y x cos x |
; |
|
18. |
|
|
|
y е |
x |
0 ; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xy |
|
|
|
|
2 |
|
||||||
9. |
|
|
|
|
1 x |
0 ; |
19. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x ; |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y |
|
1 x2 |
y |
|
1 x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
10. xy |
y х 1 0 ; |
20. |
|
|
x 1 |
(x 1) е . |
|||||||||||||||||||||||
|
y |
Задача 5
Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям.
1. |
у |
|
|
|
|
|
8у 16х |
2 |
2; |
у(0) 0; |
|
|
|
||||||||
|
|
2у |
|
|
|
у (0) 5. |
|||||||||||||||
2 |
у |
|
4у 3cos х; |
|
|
|
у(0) 1; |
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
у (0) |
|||||||||||||||
3. |
у |
|
|
|
2у 3е |
2х |
; |
|
у(0) 2; |
|
|
5. |
|||||||||
|
|
у |
|
|
|
|
|
у (0) |
|||||||||||||
4. |
у |
|
2у |
|
2х |
|
1; |
|
|
|
у(0) 1; |
|
|
1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
у (0) |
|||||||||||||
5. |
у |
|
2у |
|
у 2х 4; |
у(0) 1; |
|
|
1. |
||||||||||||
|
|
|
|
у (0) |
|||||||||||||||||
6. |
у |
|
4у 4sin 2х; |
|
|
|
у(0) 2; |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
у (0) 7. |
|||||||||||||||
7. |
у |
|
у |
|
|
3cos х sin x; |
у(0) 0; |
|
|
1. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
у (0) |
||||||||||||||||
8. |
у |
|
|
|
6у |
6х |
2 |
4х 3; |
ó(0) 3; |
|
|
5. |
|||||||||
|
|
у |
|
|
|
у (0) |
|||||||||||||||
9. |
у |
|
|
|
|
|
|
3х |
; |
|
|
|
|
|
у(0) 2; |
|
|
4. |
|||
|
|
3у |
|
3е |
|
|
|
|
|
|
|
у (0) |
|||||||||
10. |
у |
|
4у |
|
5у |
5х |
4; |
у(0) 0; |
|
|
3. |
||||||||||
|
|
|
|
у (0) |
|||||||||||||||||
11. |
у |
|
|
|
2у cos х 3sin x; |
у(0) 1; |
|
|
2. |
||||||||||||
|
|
у |
|
|
у (0) |
||||||||||||||||
12. |
у |
|
4 у (3х 1)е |
х |
; |
у(0) 0; |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
у (0) -4. |
|||||||||||||||||
13. |
у |
|
у 6sin 2х; |
|
|
|
|
у( ) -1; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
у ( ) -4. |
|||||||||||||||
14. |
у |
|
5у |
|
10х 3; |
|
|
у(0) 2; |
|
|
4. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
у (0) |
18
15. |
у |
|
у |
|
|
2у 1 2х; |
у(0) 3; |
|
5. |
|||||||||||
|
|
|
|
у (0) |
||||||||||||||||
16. |
у |
|
2у |
|
6х |
2 |
6х |
2; |
у(0) 1; |
|
1. |
|||||||||
|
|
|
|
|
у (0) |
|||||||||||||||
17. |
|
|
|
|
|
3у 8е |
х |
; |
|
|
у(0) 2; |
|
|
0. |
||||||
у |
|
|
4у |
|
|
|
|
|
у (0) |
|
||||||||||
18. |
у |
|
16у 7 cos 3х; |
|
|
у(0) 1; |
|
|
4 |
|||||||||||
|
|
|
|
у (0) |
||||||||||||||||
19. |
|
|
|
|
|
9у 2е |
3х |
; |
у(0) 1; |
|
|
-3. |
||||||||
у |
|
|
6 у |
|
|
|
|
|
у (0) |
|||||||||||
20. |
у |
|
2у |
|
у х 2; |
|
|
у(0) 1; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
у (0) 2. |
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2
Пример 1.(Интегрирование с помощью замены перемен-
ной.)
Найти неопределенный интеграл x e x 2 dx .
Решение. |
Сделаем замену |
|
переменной x2 t , тогда |
||||||||||||||
2x dx dt, |
x dx |
1 dt. |
Подставляя в подынтегральное выра- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
жение, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x e |
x |
2 |
1 |
e |
t |
1 |
|
t |
|
|
|
1 |
x2 |
c. |
|||
|
dx |
|
|
|
dt |
|
e |
|
c 2 e |
|
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||
Пример 2. Найти интеграл |
|
|
x 2 |
|
|
dx . |
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2x 5 |
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, выделив в числителе производную знаменателя. Для этого числи-
тель представим в виде x 2 (2x 2) 12 1. Тогда
|
|
|
x 2 |
|
dx |
1 |
|
|
2(x 1) |
dx |
|
|
1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
2 |
2x |
5 |
2 |
x |
2 |
2x 5 |
x |
2 |
2x 5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В первом интеграле сделаем замену переменной
19
x2 2x 5 t , 2(x 1)dx dt . Получим |
|
|
|
||||||||||||||
1 |
|
|
2(x 1) |
dx |
1 |
|
1 |
dt |
1 |
ln t |
1 |
ln x |
2 |
2x 5 |
c . |
||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
x |
2 |
2x 5 |
2 |
t |
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для вычисления второго интеграла выделим в знаменателе полный квадрат
x 2 2x 5 x 2 2x 1 4 (x 1)2 22
|
|
1 |
|
|
dx |
1 |
|
|
d (x 1) |
1 |
|
x 1 |
C. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 arctg |
|
|
|
||||||
(x |
1) |
2 |
4 |
(x 1) |
2 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||
Окончательно получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x 2 |
|
dx 1 ln( x2 |
2x 5) 1 arctg |
x 1 |
C. |
||||||||
x 2 |
|
|
|
|
||||||||||||
2x 5 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Пример 3. (Интегрирование по частям). Найти неопределенный интеграл
I = x2cosxdx
Решение. Полагаем u=x2; dv=cosxdx, v=sinx, du=2xdx..
В силу формулы интегрирования по частям udv=uv - vdu,
имеем
I =х2sinx - sinx 2xdx.
Применяя к последнему интегралу еще раз формулу интегри-
рования по частям, получим (теперь уже |
u=x, dv=sinxdx) |
||
I =x2sinx -2 (-x cosx + |
cosxdx) = x2 sinx+2x cosx - 2 sinx +c. |
||
Замечание. В интегралах вида |
xm ln x dx; |
xm arctgx |
|
dx за функцию u(x) |
следует принимать ln x , |
arctg x со- |
|
ответственно. |
|
|
|
20