математика 341-2008
.pdfПример 4. (Интегрирование дробно-рациональной функции). Найти интеграл
I= |
x5 |
2x4 x2 3 |
dx . |
|||||
(x 1) |
2 |
(x |
2 |
1) |
|
|||
|
|
|
|
Метод интегрирования дробно-рациональной функции заключается в разложении данной дроби на сумму многочлена и элементарных дробей и последующем интегрированием каждого слагаемого этого разложения. Рассмотрим эти два этапа решения на нашем примере.
Решение. 1). Подынтегральная функция имеет вид
f (x) P(x) , где P(x) и Q(x) суть многочлены степени 5 и 4,
Q(x)
соответственно:
P(x) =x5+2x4-x2+3; Q(x)= (x-1)2(x2+1).
Однако прежде чем искать разложение дроби f (x) P(x) на
Q(x)
сумму элементарных дробей, следует выделить из данной дроби целую часть (т.е. некоторый многочлен) и правильную дробь т.е. такую дробь, в которой степень числителя меньше степени знаменателя. С этой целью преобразуем знаменатель Q(x) = x4 - 2x3+ 2x 2- 2x +1, после чего разделим многочлен P(x) на многочлен Q(x). Таким образом, получим
f (x) |
P(x) |
=x+4 + |
6x3 7x2 7x 1 |
. |
(1) |
|||
Q(x) |
(x 1)2 |
(x2 1) |
|
|||||
|
|
|
|
Последняя дробь уже является правильной, поскольку степень числителя R(x)= 6x3-7x2+7x-1 меньше степени знаменателя. Многочлен Q(x) имеет корень x=1 кратности два, а также пару комплексно-сопряженных корней x=+i, x=-i поэтому разложение дроби R(x)/Q(x) следует искать в виде :
6x3 7x2 7x 1 |
= |
A |
|
B |
|
Cx D |
, |
(2) |
||||
(x 1)2 |
(x2 1) |
|
|
|
|
|
||||||
(x 1)2 |
x 1 |
x2 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
21
где числа А,В,С,D могут быть определены при помощи метода неопределенных коэффициентов. Приведем дроби, стоящие в правой части формулы (2) , к общему знаменателю:
|
6x3 7x2 7x 1 |
= |
|
|
|
||
|
(x 1)2 (x2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A(x3 1) B(x 1)(x2 |
1) (Cx D)(x 1) |
2 |
, |
(3) |
|||
|
(x 1)2 |
(x2 1) |
|
||||
|
|
|
|
после чего приравняем числители в тождестве (3):
6x3-7x2+7x-1 =A(x2+1)+B (x-1)(x2+1)+(Cx+D) (x-1)2.
Положив в тожестве (4) х =1, найдем А=5/2. Остальные коэффициенты разложения (2) можно определить, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной х в левой и правой частях тождества (4). В результате такого сравнения получим систему линейных уравнений относительно
неизвестных В,С, D следующего вида |
|
|
|
||||||||
х3 |
В + С= 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
х2 |
5/2- В- 2С +D =-7 |
|
|
|
|
|
|
||||
х1 |
B+C -2D =7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x0 |
5/2 -B +D = -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из этой системы последовательно находим |
|
||||||||||
D = -1/2; В =3; С = 3. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким образом, разложение (2) принимает вид: |
|
||||||||||
|
6x3 7x2 7x 1 |
= |
5 |
|
3 |
|
|
3x 1 / 2 |
, |
||
|
|
(x 1)2 (x2 1) |
|
|
|
|
|
||||
|
|
2(x 1)2 |
x 1 |
x2 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
откуда, возвращаясь к формуле (1), получаем новое выражение для подынтегральной функции, а именно:
f (x)= x+4 + |
5 |
|
3 |
|
|
3x 1 / 2 |
. |
(5) |
2(x 1)2 |
x 1 |
|
||||||
|
|
|
x2 1 |
|
22
2).После проделанных преобразований нахождение исходного интеграла сводится к нахождению суммы либо табличных интегралов, либо интегралов, легко приводящихся к табличным. Из формулы (5) последовательно получаем:
|
|
|
|
I= |
f(x)dx= |
xdx+ 4dx+ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
+5/2 |
|
dx |
3 |
dx |
|
|
|
|
3x 1 / 2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||
|
|
|
|
(x 1)2 |
x 1 |
|
x2 1 |
|
|
|||||||||||||
= |
|
x2 |
|
4x |
5 |
|
(x 1) 2 d (x 1) 3 |
|
d (x 1) |
|
|
3x 1 / 2 |
dx = |
|||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
x 1 |
|
x2 1 |
|||||||||||||
= |
|
x2 |
|
4x |
|
5 |
|
(x 1) 3ln(x 1) |
3x 1 / 2 |
dx |
|
|
(6) |
|||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
x |
2 |
1 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения последнего интеграла в формуле (6) проведем еще ряд несложных преобразований:
|
|
|
3x 1 / 2 |
dx |
|
|
3x |
dx |
|
1 |
|
|
|
|
dx |
= |
3 |
|
|
|
2xdx |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
1 |
x |
2 |
1 |
2 |
|
|
x |
2 |
1 |
2 |
|
x2 1 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
− |
1 |
|
|
dx |
|
|
3 |
ln(x2 1) |
1 |
arctgx c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
x |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Oкончательно получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
I= |
x2 |
|
4x |
|
|
5 |
|
|
|
|
3ln(x 1) |
3 |
ln(x2 |
1) |
|
1 |
arctgx C , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2(x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
где С - произвольная постоянная.
Замечание 1. В случае, когда заданная подынтегральная функция представляет собой правильную дробь, производить деление числителя на знаменатель не нужно, а следует сразу переходить к разложению этой дроби на сумму элементарных дробей.
Замечание 2. При разложении правильной дроби на сумму элементарных дробей с помощью метода неопределенных
23
коэффициентов необходимо иметь в виду следующее . Если многочлен, стоящий в знаменателе исходной дроби, имеет вещественный корень х0 кратности к 1, то этому корню должна отвечать ( в разложении на элементарные дроби ) группа членов, состоящая в точности из к слагаемых следующего вида:
Ak |
|
|
Ak 1 |
...+ |
A2 |
|
|
A1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ |
|
. |
|
(x x |
)k |
(x x )k 1 |
(x x |
)2 |
(x x ) |
||||
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
При этом не исключено, что после применения метода неопределенных коэффициентов какие-то из чисел Аi (i=1,2,...,k) могут оказаться равными нулю.
Пример 5. (Интегрирование иррациональных функций). Найти интеграл
dx
I 2x 1(1 32x 1) .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение. |
Легко видеть, что подстановка |
6 2x 1 z |
|||||||||||||
преобразует |
подынтегральное выражение |
к |
дробно- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
рациональному виду. В самом деле, если 6 |
|
2x 1 z , |
то 2x- |
||||||||||||
1=z6 , откуда dx=3z5dz, 3 |
|
|
z2 , 2 |
|
|
|
|||||||||
2x 1 |
2x 1 z3 |
. Поэто- |
|||||||||||||
му |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3z5dz |
|
= 3 |
z 2dz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z3 (z2 1) |
(z 2 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дальше можно применять уже известный метод интегрирования дробно-рациональных функций, однако в данном случае удобно применить следующий искусственный прием, который быстро приводит к цели:
3 |
z2dz |
= 3 |
(1 z2 ) 1 |
dz = 3 |
(1 |
1 |
)dz = |
|||||
(z2 1) |
(z2 1) |
|
(z2 1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
=3z − 3arctg z+C = 3 6 2x 1 - 3arctg 6 |
|
2x 1 +c. |
Пример 6. (Интегрирование тригонометрических функций). Найти интеграл
24
I= sin2x cos3xdx.
Решение. Выполним подстановку t=sinx , тогда dt=cosxdx , следовательно:
I=
=
|
sin2 x cos 2x cosx dx= sinx (1-sin2x) cosxdx= |
|
t2 (1-t2)dt = (t2-t4)dt= |
=t3/3 - t5/5 + c = 13 sin3x - 15 sin 5x +c.
Пример 7. Найти интеграл I = sin4xdx.
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение, применив формулу понижения порядка, известную из тригонометрии:
I= |
sin4x dx= |
(sin2x)2dx = |
1 |
|
(1-cos2x)2dx= |
|
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
(1-2 cos2x +cos22x)dx= |
|
|||
4 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
=14 (1-2cos2x + (1+cos4x)/2)dx =
=83 x- 14 sin2x + 321 sin4x +c.
Пример 8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=5− x2; y=x+3.
Решение. Сделаем чертеж (рис.1). Найдем абсциссы точек пересечения линий: y=5-x2 ,y=x+3. Для этого приравня-
ем правые части уравнений
5-x2=x+3.
Решая полученное уравнение, найдем
x1=-2, x2=1.
Bоспользуемся формулой площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=y(x), x=a, x=b, y=0:
25
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
нашем |
случае |
площадь |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
фигуры можно получить как |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
разность площадей |
S1 |
и S2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
двух |
криволинейных |
трапе- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ций, |
ограниченных |
линиями |
||||
|
|
|
|
- 2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y=5−x2 |
и |
y=x+3, |
соответ- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Рис. 1. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ственно. В результате полу- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
чим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
S=S1−S2= |
|
(5-x2) dx − |
|
|
(x+3) dx= |
(2 −-x− |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
−x2) dx = (2x -x2/2- x3/3) |
1 2 = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= (2 -1/2 -1/3) - (- 4 -1/2+8/3) = 4,5 (кв.ед) |
|
|
|||||||||||||||||
Пример 9. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной |
||||||||||||||||||
линией |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=a sin 6 (a>0).
Решение. Для построения графика линии, заданной в
полярной системе координат |
( , |
) |
уравнением вида |
|
|
= ( ), |
необходимо вна- |
||
у |
чале установить при каких |
|||
|
значениях |
полярного угла |
||
|
|
выполняется |
неравен- |
|
х |
ство ( |
) 0 , обуслов- |
||
|
ленное тем, что полярный |
|||
O |
радиус , являясь расстоя- |
|||
|
|
|
|
|
|
нием от начала координат, |
|||
|
всегда неотрицателен. |
|||
Рис. 2 |
|
В |
нашем |
случае |
sin6 0, откуда |
|
|||
|
|
26
2 n 6 2 n+ |
или n/3 |
n/3+ /6 Здесь до- |
статочно ограничиться значениями |
n=0,1,2,3,4,5, т.к. при дру- |
гих значениях n с точностью до целого числа полных оборо-
тов полярного луча для |
будет получаться то же самое. |
|
Задаваясь значениями |
i (i=1,2...) и вычисляя соответству- |
|
ющие i= ( i) |
можно построить график линии (рис. 2) |
Ограниченная этим графиком фигура называется шестилепестковой розой. Отметим, что линия = a sin k является графиком k-лепестковой розы, первый лепесток которой со-
ответствует |
|
|
[0, /k]. В случае |
=a cosk , |
т.е. =a |
||||||
sink( + /2k) |
мы имеем дело с той же |
k-лепестковой ро- |
|||||||||
зой, только повернутой на угол /2k |
по часовой стрелке. Для |
||||||||||
нахождения |
площади |
|
фигуры, |
ограниченной |
линией |
||||||
= ( )и двумя лучами |
|
= , |
= |
, ( < ) |
исполь- |
||||||
зуется формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S= |
|
|
|
2( )d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В нашем случае достаточно вычислить площадь одного |
|||||||||||
лепестка (0 /6 |
) и ушестерить ее. Поэтому |
|
|||||||||
S=6 a2sin26 d = |
|
|
|
||||||||
/6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=3a2 |
(1-cos12 )/2d =3/2a2( -sin12 /12) |
= a2/4 |
|||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 10. Даны: функция z = х2 + ху + у 2 , точка |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
A(1,2), и вектор |
а = 2 i |
j . Требуется найти: 1) направление |
наибольшего возрастания функции z ( т.е. grad z ) в точке А и скорость ее изменения в этом направлении; 2) производную
функции z в точке А по направлению вектора а ; 3) экстремум функции z = f (x,y).
Решение. 1) Градиент функции z имеет вид
|
|
|
|
|
j . |
||||
grad z = = zx i + z y |
27
Вычислим частные производные в точке А. Имеем |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
z = 2х + у; |
|
z |
|
|
|
|
= 4; |
|
|
|
= 2у + х; |
|
|
|
|
z |
= 5. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
A |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Таким образом, |
grad z = 4 i + 5 j , |
|
а скорость изменения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
функции в этом направлении равна grad z = |
|
42 52 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
41. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) Производная по направлению вектора определяется по фор- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
муле |
z |
z |
cos z |
sin , где угол, образованный векто- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ром |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
осью |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОХ. |
|
Тогда |
||||||||||||||||||
|
cos |
ах |
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
2 |
|
a2 |
|
|
|
|
4 1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Используя значения производных в точке |
А, найденные ра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нее, получим |
|
|
z |
|
3 |
|
2 |
|
5 |
|
1 |
|
|
11 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3) Найдем точки возможного экстремума. Для этого ре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
шим систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z'x |
|
|
0, |
|
|
2x |
|
|
y 0, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 y 0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
z' y |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
решения которой |
|
|
x = 0, |
y = 0. Следовательно, точка |
O(0,0) – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точка возможного экстремума. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Далее, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z" |
|
|
2, |
|
|
|
|
|
|
|
z" |
|
|
1, |
|
|
z" |
|
2, |
|||||||||||||||
z" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
yy |
|
|
|||||
z" |
(z" )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
|
Так как |
3 0, z" |
2 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
xx |
|
yy |
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
O(0,0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xx |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
то в точке |
O(0,0) |
данная функция имеет минимум. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 11. |
|
|
Найти общее решение дифференциального- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнения |
|
у = tg x tgy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28
Решение. Полагая у |
|
= |
dy |
, получим |
dy |
= tg x tg y . |
|
dx |
dx |
Разделяя переменные, приходим к уравнению сtg у dy = tg x dx. Интегрируем:
|
сtg у dy= tg x dx, или ln |
|
sin y |
|
= – ln |
|
cos x |
|
+ln c. |
|
|
|
|
(Постоянная интегрирования обозначена ln c ). Отсюда находим sin y =c/cos x или sin y cos x =c - общее решение уравнения.
Пример 12. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
(1+ х 2 )dy +ydx=0.
dy
Решение. Преобразуем уравнение к виду = –
у
|
dх |
|
. Интегрируя получим |
|
dy |
= – |
|
|
dx |
, или ln |
|
у |
|
= |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 x 2 |
у |
1 x2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= – |
arctg x + |
c. Общее |
решение |
можно |
|
записать |
в |
|
виде |
||||||||||
|
y |
ес arctgx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 13. Найти общее решение однородного |
диффе- |
||||||||||||||||
ренциального уравнения |
х у = х +2 у. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Решение. |
Однородное |
дифференциальное |
уравнение |
||||||||||||||
первого порядка можно привести к виду |
у |
|
= f |
( |
х |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
у ). Чтобы |
||||||||||||||||||
решить уравнение проводят замену |
y x u , где |
|
u(x) – новая |
неизвестная функция, после чего уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными.
|
Преобразуя |
исходное уравнение, получим у = |
х 2 y |
|
||||||||
|
х |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или |
у |
=1 |
2 х |
- однородное уравнение. Полагаем |
y x u , |
|||||||
|
||||||||||||
тогда |
у = u + x u . Уравнение запишется |
x u +u =1 |
+ 2u или |
u х = 1+ u. Решаем полученное уравнение с разделяющимися
29
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
du |
|
|
|
dx |
|||||||||||
переменными |
|
|
|
x |
=1 + u или |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
, интегрируем |
|||||||||||
|
dx |
1 u |
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
du |
= |
dx |
, получим ln |
|
1 u |
|
= ln |
|
x |
|
+ ln |
|
с |
|
. Откуда |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
u |
|
|||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1+u =cx |
или |
|
u= cx |
- 1. Возвращаясь к старому переменно- |
||||||||||||||||||||||
му у по формуле u= y |
x |
, получим обще решение у сх 2 х . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 14. Найти частное решение линейного диффе- |
ренциального уравнения первого порядка, удовлетворяющее начальному условию.
|
|
|
2 y |
3 |
||
|
|
|
|
= (х 1) , у (0) = 1. |
||
у |
− х 1 |
|||||
|
||||||
Решение. |
Решение уравнения ищем в виде произведе- |
ния двух функций y = u(x) v(x), вычисляя производную, полу-
чим |
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
= u (x)v(x) v (x)u(x) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
После подстановки в уравнение, запишем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2uv |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v v u |
|
|
|
|
== (х 1) |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х 1) = (х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v u(v |
|
|
1) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
Выберем функцию |
v(x) |
|
такой, чтобы выполнялось усло- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
вие |
v |
х 1 |
=0. Разделяя переменные в этом уравнении, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
находим |
|
dv |
|
2v |
или |
|
dv |
|
|
2dx |
|
. После интегрирования |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
х 1 |
|
|
х 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
обеих частей равенства, получим |
|
|
ln |
|
v |
|
|
= |
|
|
2 ln |
|
x 1 |
|
+ с, т.к. |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
достаточно найти хотя бы |
|
|
одно решение |
отличное от нуля, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то положим |
с = 0. |
Тогда |
|
|
v(x) |
= (х 1)2 . Подставляя найден- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
ное значение |
|
v(x) |
в исходное уравнение и учитывая, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
du |
|||||||||||
v |
|
|
|
|
=0, |
|
запишем |
u (х 1) |
|
|
= (х 1) |
|
|
или |
|
|
x 1, |
||||||||||||||||||||||||
|
х 1 |
|
|
|
|
|
|
dx |
30