- •Белорусский национальный технический университет
- •I Физические измерения и погрешности
- •2 Погрешности измерений
- •2.1 Истинное значение измеряемой величины
- •2.2 Обработка результатов прямого измерения
- •2.3 Отработка результатов косвенных измерений
- •2.3.1 Метод частных производных
- •2.3.2 Метод логарифмирования и дифференцирования
- •3 Общая схема обработки измерений
- •4 Графическое изображение результатов измерений
- •5 Проведение приближенных вычислений
- •6 Форма записи окончательного результата измерения
- •Изучение погрешностей измерений
- •Литература
2.1 Истинное значение измеряемой величины
Приведенные выше данные показывают, что, строго говоря, измерения истинного значения любой величины невозможно в принципе. Поэтому более корректный способ представления результата любого измерения состоит в том, что экспериментатор указывает свою наилучшую оценку измеряемой величины, а также интервал, в котором, как он уверен, она лежит. Таким образом, задача экспериментатора состоит в том, чтобы уменьшить влияние погрешностей за счет правильной техники измерений, сделать правильную наилучшую оценку результата измерения и величины погрешности этого результата.
Рассмотрим случай, когда систематические ошибки отсутствуют, а имеют место лишь случайные погрешности. Предположим, что нами произведено n измерений некоторой величины х, при этом получены n значений этой величины х1 х2 хi….хn. Округлим эти величины с учетом приборной ошибки и расположим в порядке возрастания. Определим в полученном множестве значений количество повторов (выпадений) отдельных результатов - ∆ni и вычислим вероятности их выпадения по формуле:
(2)
Полученные результаты также внесем в таблицу и построим на их основе график (рис.1) зависимости вероятности повторов отдельных результатов измерения от их величины - хi, т.е. функцию .
Pmax
хi
хв .
Рис. 1.
Из полученного рис.1 видно, что наиболее вероятным является некоторый результат хi= хв, которому соответствует максимальное значение вероятности выпадения Pmax.
Если этот результат (хв) принять за истинный (Хв = Хи), то абсолютную ошибку каждого измерения ∆хi, можно найти из выражения: ∆хi= хi,- хв и более того истинный результат измерения, очевидно, должен удовлетворять условию:
∆хi= хi,- хв=0 (3)
В этом можно убедиться, рассчитав абсолютные ошибки всех измерений, числа повторов каждой ошибки ∆n0 и вероятности выпадения ошибок
Кроме того, как следует из работ немецкого математика Г. Гаусса, все обсуждаемые выше закономерности наблюдаются на рис 2.
-∆x 0 +∆xi
Рис. 2.
Для повышения точности и снижения трудоемкости Гаусс предложил для нахождения истинного значения измеряемой величины использовать квадратичную функциональную зависимость вероятности ошибок в виде (4) изображенную на рис.3.
(4)
y
0 (∆хj)2
Рис.3.
Известно, что для нахождения экстремума функции необходимо приравнять нулю ее производную. Используем для этого новую функцию (4):
Возьмем производную от этой функции и приравняем её нулю.
(5)
После несложных преобразований получаем:
(6)
Таким образом, наиболее вероятным значением измеряемой величины является среднее арифметическое , получаемое от нескольких идентичных измерений. И этот же результат соответствует истинному значению многих измерений, представленных на Рис. 1.
2.2 Обработка результатов прямого измерения
Учитывая вышеизложенное, можно рекомендовать следующий алгоритм обработки результатов прямых измерений.
Из-за наличия погрешностей никогда не следует ограничиваться одиночным измерением, а всегда следует проводить несколько опытов желательно нечетное число (три, пять).
Определить наилучшее значение измеряемой величины х, как среднее арифметическое из всех результатов измерений: х1, х2 ... хi ... хn по формуле:
(7)
3. Вычислить случайную абсолютную ошибку каждого измерения по уравнению (3):
= Хi - Хи
а затем среднюю абсолютную погрешность:
(8)
Определить приборную погрешность, используя паспортные данные прибора или, при их отсутствии, принять за погрешность половину наименьшего деления шкалы стрелочного прибора или наименьший разряд цифрового прибора.
Сравнить приборную и среднюю абсолютную погрешность, выбрать большую из них, приняв за полную погрешность результаты измерения.
Окончательный результат можно представить в виде: Это означает, что истинное значение лежит в интервале . ???
Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность проведенных измерений. Например, абсолютная ошибка в 1 мм при измерении отрезков длиной 5 м и 5 мм в относительных единицах будет существенно разной. Поэтому кроме абсолютной ошибки используют и относительную погрешность
, (9)
В этом виде ε это безразмерная величина. Часто её выражают в процентах. Тогда вместо (9) запишем
(10)
В приведенном примере относительные ошибки составят 0,1% и 20%. Это, безусловно, большое различие, хотя абсолютная ошибка одинакова. Относительная ошибка дает больше информации о точности и позволяет сравнивать погрешности измерений разных величин.