- •Министерство образования Республики Беларусь
- •Чтение учебника
- •Зачеты и экзамены
- •2. Типовые программы курса «Высшая математика».
- •Тема 2. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Тема 3. Применение дифференциального исчисления для исследования функции и построения графиков
- •Тема 4. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии
- •Тема 5. Элементы высшей алгебры
- •Тема 6. Неопределенный интеграл
- •Тема 7. Определенный интеграл
- •Тема 8. Функции нескольких переменных
- •Тема 9. Интегральное исчисление функций нескольких переменных
- •Тема 10. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ду) и системы дифференциальных уравнений (сду)
- •Тема 11. Теория рядов
- •Тема 12. Теория вероятностей (тв) и математическая статистика (мс)
- •Тема 13. Уравнения математической физики
- •Тема 14. Элементы операционного исчисления
- •Основная литература
- •45. Математическое ожидание для дискретной и непрерывной случайной величины. Дисперсия и квадратическое отклонение, их свойства.
- •3.1. Правила оформления контрольных работ
- •Задание1.2
- •Задание1.3
- •Задание 1.4
- •Задание 1.5
- •Задание 1.6 Решить следующие задачи
- •Задание 1.7 Решить следующие задачи
- •Задание 1.8
- •К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 2
- •К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 3
- •4. Примеры решения задач контрольных работ
- •4.1. Решение типового варианта контрольной работы №1
- •4.2. Решение типового варианта контрольной работы n 2
- •4.3. Решение типового варианта контрольной работы n 3
- •Учебное издание
4. Примеры решения задач контрольных работ
4.1. Решение типового варианта контрольной работы №1
Задача 1.1. Дана система линейных неоднородных алгебраических уравнений
Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера-Капелли. С помощью элементарных преобразований расширенную матрицу приведем к трапециевидной форме
~ ~.
Следовательно, (числу неизвестных системы). Значит, исходная система совместна и имеет единственное решение.
а). По формулам Крамера: где
.
Находим .
б). С помощью обратной матрицы где- обратная матрица к,- столбец правых частей.
.
; ;;
; ;;
; ;.
Решение системы
,
т.е. .
в). Наша система эквивалентна
(прямой ход Гаусса совершен при нахождении рангов матриц и).
Тогда
Задача 1.2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений
С помощью элементарных преобразований матрицу приведем к трапециевидной форме
~ .
Следовательно, 2<3 и система имеет бесконечное множество решений, зависящих от 3-2=1 произвольной постоянной. Исходная система эквивалентна
Откуда .
Полагая (произвольной постоянной), имеем
, .
Задача 1.3. По координатам точек ,,найти:
а). Модуль вектора
;
.
б). Скалярное произведение векторов и.
.
в). Проекцию вектора на вектор.
.
г). Координаты точки , делящей отрезокв отношении 1:3;. Следовательно:
Задача 1.4. Даны векторы Необходимо:
а). Найти модуль векторного произведения .
=;
.
б). Проверить, будут ли коллинеарны или ортогональны два вектора и.
Условие коллинеарности двух векторов
Т.к. то вектораинеколлинеарны.
Условие ортогональности двух векторов
Т.к. то вектора неортогональны.
в). Вычислить смешанное произведение трех векторов
.
.
г). Проверить, будут ли компланарны три вектора
Вектора компланарны, если
Из пункта в) следовательно, эти векторы некомпланарны.
Задача 1.5. Даны четыре точки
Составить уравнения:
а). Плоскости
Уравнение плоскости по трем точкам имеет вид
, откуда .
б). Прямой
Уравнение прямой по двум точкам
откуда
в). Прямой , перпендикулярной к плоскости.
Из уравнения плоскости следует, что вектор||откуда уравнениеимеет вид
г). Прямой , параллельнойЗначит, вектори уравнение этой прямой имеет вид
д). Плоскости, проходящей через точку перпендикулярно к прямой
Векторперпендикулярен искомой плоскости.
Значит, - ее уравнение, которое приводится к виду
е). Вычислить - угла между прямойи плоскостью.
; ;
.
ж). Косинус угла между координатной плоскостью и плоскостью.
Вектор а вектор. Поэтому
.
Задача 1.6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ипараллельно прямой, проведенной через точкии
Найти вектор , перпендикулярный искомой плоскости. Векториследовательно, в качестве вектораможно взять
; ;
Тогда уравнение искомой плоскости которое приводится к виду
Задача 1.7. Найти уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых иперпендикулярно первой прямой. Найдем точку:
Вектор параллелен искомой прямой. Поэтому ее уравнение запишем каконо приводится к виду
Задача 1.8. Определить вид поверхности и построить ее.
а) . Приведем уравнение к каноническому виду
Получим уравнение однополостного гиперболоида, ось которого совпадает с полуоси эллипса в плоскости Y0Z равныиПостроим поверхность.
Z
Y
X
б)
Приведем уравнение к каноническому виду .
Это уравнение конуса второго порядка, ось которого совпадает с осью 0Z.
Z
Y
X