3. Формула полной вероятности и формула байеса

Если событие А может произойти только совместно с одним из событий , образующих полную группу событий (гипотез), то вероятность событияА определяется по формуле полной вероятности , (9) где- вероятность гипотезы;- условная вероятность событияА при этой гипотезе, . Вероятностьгипотезыпосле того, как появилось событиеА, определяется по формуле Байеса (10)

Пример 9. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных заводом №1, 20 деталей - заводом №2 и 18 деталей - заводом №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная заводом №1, - отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наугад деталь окажется отличного качества.

Решение. Пусть событие А={деталь отличного качества}. Рассмотрим гипотезы: ={деталь изготовлена заводом №1};= {деталь изготовлена заводом №2};={ деталь изготовлена заводом №3}. Вероятности этих гипотез:. Условные вероятности:. По формуле полной вероятности (9) приn=3 находим искомую вероятность .

Пример 10. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятность гарантийной работы кинескопа: 0,8; 0,95; 0,9 и 0,7 для первого, второго, третьего и четвертого соответственно. Найти вероятность того, что наудачу выбранный кинескоп будет работать в течение гарантийного срока.

Решение. Событие А={кинескоп проработает гарантийный срок}. Гипотезы ={выбранk-й кинескоп} (k=1,2,3,4). Эти гипотезы равновероятны, т.е. . Условные вероятности. По формуле полной вероятности (9) приn=4 находим искомую вероятность события А .

Пример 11. Самолет морской авиации производит бомбометание с малой высоты по кораблю противника. При попадании бомбы в надводную часть корабль гибнет с вероятностью 0,6, при попадании в подводную часть - с вероятностью 0,9. Вероятность попадания бомбы в надводную часть равна 0,6, в подводную - 0,4. Определить вероятность гибели корабля в результате бросания одной бомбы.

Решение. Событие А={гибель корабля}. Формулируем гипотезы: ={попадание бомбы в надводную часть корабля};={попадание бомбы в подводную часть корабля}. По условию вероятности гипотезы соответственно равны:. Условные вероятности событияА будут такими: . Тогда:

Пример 12. Счетчик регистрирует частицы 3 типов: А, В и С. Вероятности появления этих частиц: P(A)=0,2; P(B)=0,5; P(C)=0,3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями . Счетчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была частица типаВ.

Решение. Обозначим событие D={счетчик уловил частицу}. Гипотезы: ={появление частицы типаА}; ={появление частицы типаВ}; ={появление частицы типаС}. Вероятности гипотез: . Условные вероятности:. Искомую вероятностьопределим по формуле Байеса (10)

Пример 13. Сборщик получает 50% деталей завода №1, 30% - завода №2, 20% - завода №3. Вероятность того, что деталь завода №1 - отличного качества, равна 0,7; завода №2 - 0,8; завода №3 - 0,9. Наугад взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена заводом №1.

Решение. А={деталь отличного качества}. Гипотезы: ={деталь изготовлена заводом №k), k=1,2,3. Вероятности этих гипотез: . Условные вероятности:. Искомую вероятность определим по формуле Байеса.